le singolarità di prima, seconda e terza specie, Slide di Matematica

Scarica le singolarità di prima, seconda e terza specie e più Slide in PDF di Matematica solo su Docsity! PUNTI SINGOLARI FUNZIONI CONTINUE Una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio 𝐷, con 𝑥0 appartenente al dominio e suo punto di accumulazione (𝑥0  𝐷 ∩ 𝐷′), è continua in 𝒙𝟎 se Esempio: consideriamo la funzione lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 = 𝑓 1 = 2 Tale funzione è continua in 𝑥0 = 1. • esiste finito lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 e • 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎). IL LIMITE E L’IMMAGINE In generale, il comportamento della funzione nel punto 𝑥0, descritto da 𝑓(𝑥0), e quello vicino a 𝑥0, descritto da lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 , sono indipendenti. Può essere: ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝓁 finito e 𝓁 = 𝑓(𝑥0) (funzione continua in 𝑥0); ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝓁 finito ma 𝓁 ≠ 𝑓(𝑥0) (discontinuità eliminabile in 𝑥0); ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝓁 finito ma 𝑓(𝑥0) non esiste perché 𝑥0 ∉ 𝐷 (singolarità eliminabile in 𝑥0); ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 non esiste o infinito, quindi diverso da 𝑓(𝑥0) se esiste (singolarità o discontinuità non eliminabile in 𝑥0). SINGOLARITÀ DI I SPECIE Una funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) di dominio 𝐷 ha una singolarità di I specie in 𝑥0  𝐷′ se per 𝒙 che tende a 𝒙𝟎 il limite destro e quello sinistro di 𝒇(𝒙) sono entrambi finiti ma diversi tra loro: Se 𝑥0  𝐷 ∩ 𝐷′ viene chiamato punto di discontinuità di I specie. lim 𝑥⟶𝑥0 − 𝑓(𝑥) = 𝓁1 ≠ lim 𝑥⟶𝑥0 + 𝑓(𝑥) = 𝓁2 𝓁1, 𝓁2ℝ La distanza 𝓁2 − 𝓁1 si dice salto. SINGOLARITÀ DI II SPECIE Una funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) di dominio 𝐷 ha una singolarità di II specie in 𝑥0  𝐷′ se per 𝒙 che tende a 𝒙𝟎 almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di 𝒇(𝒙) è infinito o non esiste. Nel caso di limite infinito c’è asintoto verticale. Se 𝑥0  𝐷 ∩ 𝐷′ viene chiamato punto di discontinuità di II specie.