Scarica Lezione 19: Prodotto Hermitiano e Ortogonalità e Ortonormalità in Spazi Vettoriali e più Appunti in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! Lezione 19 V iun'imA )_ leto J Um ojiez'e ) +: VaV_V e) une of I forte pa otelu:" e CV PV Fimete Um @ Lor 3 Ù Vv cd o) “ Ho 14 Ne io ’ @1o cal: a due 2000) ele . = i Vf eleL Va} e FP drm EL VI | 4 Ve 4, Mt +4 Ud paz Vive prodotto hermitiano/interno Dati u, v 2 Cn diciamo prodotto hermitiano o prodotto interno di u e v il numero: (u|v) := uHv. • (v1 + v2|u) = (v1|u) + (v2|u); • (v|u1 + u2) = (v|u1) + (v|u2); • (↵v|u) = ↵(v|u); • (v|↵u) = ↵(v|u); • (v|u) = (u|v); • (v|v) è un numero reale 0; (v|v) = 0 se e solo se v = 0. Diciamo lunghezza di u 2 Cn il numero kuk = p (u|u) = p uHu. 2 prodotto hermitiano/interno Dati u,v € C” diciamo prodotto hermitiano o prodotto interno di a (2-3( E] VE): = 5) (-e vi fica cazzo 21-:3€ (uv) := uv. e (vi + v2|u) = (vi]u) + Vu i vjui ; u2) = (v|u1) + (v]u2); (@ #) 6] 1): (E11A): cafas 1 9 If +aid 3036414 è ‘ prodotto hermitiano/interno Dati u,v € C” diciamo prodotto hermitiano o prodotto interno di u e v il numero: TE (valu); v|u) + (v]u2); Me) 5 (ur (ut): (ut) (fi tli])o ce LD e & + e È LL ortogonalità e ortonormalità (a) Due vettori u e v sono detti ortogonali se e solo se (u|v) = 0. (b) Un insieme di vettori è detto ortogonale se e solo se è formato da vettori a due a due ortogonali. (c) Dato un vettore u 6= 0, diciamo suo normalizzato il vettore v = ukuk . (d) Un insieme di vettori è detto ortonormale se e solo se è ortogonale e kvk = 1 per ogni vettore v dell’insieme. 3 " il :L . al lui vi = Il Il I = sto - e = o ortogonalità e ortonormalità (a) Due vettori u e v sono detti ortogonali se e solo se (u|v) = 0. (b) Un insieme di vettori è detto ortogonale se e solo se è formato da vettori a due a due ortogonali. (c) Dato un vettore u 6= 0, diciamo suo normalizzato il vettore v = ukuk . (d) Un insieme di vettori è detto ortonormale se e solo se è ortogonale e kvk = 1 per ogni vettore v dell’insieme. 3 { re , va , 4 , I } è ortogonale se e solo se ogni copia di mani distinti è ortogonale : ( vilv;) = o ti# j ortogonalità e ortonormalità (a) Due vettori u e v sono detti ortogonali se e solo se (u|v) = 0. (b) Un insieme di vettori è detto ortogonale se e solo se è formato da vettori a due a due ortogonali. (c) Dato un vettore u 6= 0, diciamo suo normalizzato il vettore v = ukuk . (d) Un insieme di vettori è detto ortonormale se e solo se è ortogonale e kvk = 1 per ogni vettore v dell’insieme. 3 S? := {v 2 Cn : (v|s) = 0 8s 2 S} = {v 2 Cn : (s|v) = 0 8s 2 S}. (i) S? è un sottospazio; (ii) S1 ✓ S2 implica S?2 ✓ S?1 . (iii) S? =< S >?. Sia V un sottospazio vettoriale di Cn e B = {u1; . . . ;uq} una sua base ordinata ortonormale. Per ogni vettore v 2 V, si ha v = (u1|v)u1 + · · ·+ (uq|v)uq e quindi tB(v) = h (u1|v) (u2|v) · · · (uq|v) iT . 4 se ✓ = ¢ " . se 4 ' , s =L t.li:1 } 5 = tre ¢? ivi I = a = ti Il} " l'÷!!;) io - Il = a- in -air off! ftp:// : interista !!!!!/ , +f, = a 4 -4,:0 Ri 2 3 A A 83 - 0 1 -1 9 0 9 2 { -t1 0 00 0 Mar dI |9 PP FIS TY PA 18915 L1 0 1 992 ° . È i 9 fai? olgllolla la 14 9 I 3 ° e o * |< | 21 \9 da =4 30; 9 di - 4 4 I + È È ( lt o) LI Oz -t 9 9 1 4 + È ssplb] 23 1) {ref aut V: im si Et : st Le 5 | z S? := {v 2 Cn : (v|s) = 0 8s 2 S} = {v 2 Cn : (s|v) = 0 8s 2 S}. (i) S? è un sottospazio; (ii) S1 ✓ S2 implica S?2 ✓ S?1 . (iii) S? =< S >?. Sia V un sottospazio vettoriale di Cn e B = {u1; . . . ;uq} una sua base ordinata ortonormale. Per ogni vettore v 2 V, si ha v = (u1|v)u1 + · · ·+ (uq|v)uq e quindi tB(v) = h (u1|v) (u2|v) · · · (uq|v) iT . 4
