Lezione 2: Vettori e Scalari - Prof. Buzzi, Slide di Fisica

Scarica Lezione 2: Vettori e Scalari - Prof. Buzzi e più Slide in PDF di Fisica solo su Docsity! Lezione 2 Vettori e scalari 2.1 Grandezze scalari e grandezze vettoriali In Fisica, esistono grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze scalari sono grandezze definite solo ed esclusivamente da un numero. Il tempo e la massa sono due tipiche grandezze di questo tipo; infatti: 12 kg descrive in modo univoco una massa di 12 chilogrammi, 10 secondi descrive in modo univoco un intervallo di tempo di 10 secondi. Lo spostamento e la forza sono, invece, due grandezze vettoriali in quanto non è sufficiente un numero per definirle univocamente. Se mi sposto di 10 metri, non ho definito in modo univoco il mio spostamento in quanto la mia posizione finale potrebbe trovarsi su un qualsiasi punto di una ipotetica circonferenza in cui il centro è rappresentato dalla mia posizione iniziale e il raggio ha una lunghezza di 10 metri. Per definire in modo completo uno spostamento si deve indicare non soltanto di quanto ma anche in quale direzione ci si sposta. In altre parole, si deve dare una direzione e un verso allo spostamento. Una grandezza vettoriale è una grandezza fisica determinata da una lunghezza, da una direzione e da un verso. Nella tabella seguente sono riportate alcune delle grandezze scalari e vettoriali più utilizzate: Grandezze scalari Grandezze vettoriali Distanza Spostamento Velocità Peso Massa Forza Pressione Quantità di moto Energia Accelerazione Temperatura Corrente elettrica Tabella 1 — Le grandezze scalari e vettoriali più usate. Per rappresentare le grandezze vettoriali si utilizzano i vettori. Un vettore è rappresentato da una freccia: — La lunghezza della freccia rappresenta il modulo del vettore. — La direzione della freccia rappresenta la direzione del vettore. — Il verso della freccia rappresenta il verso del vettore. — L’estremo iniziale della freccia è detto coda del vettore ed è il punto di applicazione del vettore. Metodo punta-coda Per sommare due vettori con questo metodo si trasla il secondo vettore parallelamente a se stesso fino a far coincidere la sua coda con la punta del primo vettore. Il vettore risultante avrà la coda coincidente con quella del primo vettore e la punta coincidente con quella del secondo vettore. - R v Figura 2 — Vettore somma con il metodo punta-coda. Metodo del parallelogramma Per sommare due vettori con questo metodo si trasla il secondo vettore parallelamente a se stesso fino a far coincidere la sua coda con la coda del primo vettore. Poi si costruisce il parallelogramma avente come basi questi due vettori. Il vettore risultante è rappresentato dalla diagonale maggiore del parallelogramma così costruito. Vi Figura 3 — Vettore somma con il metodo del parallelogramma. Modulo del vettore somma Il modulo del vettore somma A dei due vettori si ottiene applicando la formula: IRI=Vvi +4, +2v, v, cosù EsemPIO Dati due vettori aventi moduli v, = 5 e v, = 8 e che formano un angolo è = 60°, calcoliamo il modulo del vettore somma dei due vettori. | vettori dati hanno, rispettivamente, modulo |v]=5 e |v,| = 8. Poiché i due vettori formano un angolo è = 60°, si ha: IRI= 53 +87+2:5:8 0660" = /25+64+80.-L = /129=11,36 2.2.2 Somma di vettori: casi particolari 1. Somma di vettori aventi stessa direzione e stesso verso In questo caso, il vettore risultante ha: — stessa direzione dei vettori componenti; — stesso verso dei vettori componenti; — lunghezza pari alla somma delle lunghezze dei vettori componenti. In questo caso, essendo i due vettori perpendicolari, il parallelogramma è rappresentato dal rettangolo in figura. Per calcolare la lunghezza del vettore risultante basterà applicare il teorema di Pitagora ottenendo così: IATETA Per calcolare la direzione del vettore possiamo sfruttare le leggi della triigonometria: lato opposto _ lv,| tand = Tato adiacente — lv, | 2.3 Vettori componenti Abbiamo visto che, dati due vettori perpendicolari tra loro, è possibile calcolarne la somma; analogamente, dato un qualsiasi vettore è possibile calcolarne le componenti perpendicolari. yi Figura 5 — Componenti di un vettore. Sfruttando le regole della trigonometria si ha: Vx= VR COS® vy= vr seno ESEMPI 1. Un’automobile percorre 100 km in linea retta verso Nord - Est e forma un angolo di 45° con la direzione Sud - Nord. Calcoliamo di quanto si è allontanata nella direzione Nord. Per sapere quanto l'automobile si è allontanata nella direzione Nord, si sceglie l’asse x nella direzione Est e l'asse y nella direzione Nord. Partendo dall'origine si traccia un vettore rappresentante lo spostamento dell'automobile che forma un angolo di 45° con l'asse y (che rappresenta la direzione Nord) e che giace nel primo quadrante del riferimento. Detto d tale vettore, allora la distanza percorsa nella direzione Nord è d, Figura 6 — Spostamento dell'automobile. 2.4 Differenza di vettori Per definire la differenza di due vettori dobbiamo introdurre il concetto di vettore opposto. Dato un vettore V, il suo vettore opposto, ©. è un vettore che ha: la stessa lunghezza di V. la stessa direzione di Vi. il verso opposto di Vi. Quindi, possiamo immaginare la differenza di due vettori come la somma del primo vettore con l'opposto del secondo vettore e cioè: D=v.-v,=v, + (-v.) Figura 8 — Differenza di vettori. 2.5 Prodotto di un vettore per uno scalare I 7, per uno scalare k è un vettore avente: | prodotto di un vettore — stessa direzione del vettore Vi. — verso determinato dal segno di k (se k > 0 stesso verso del verso di Vi. se k< 0 verso contrario a 1) — lunghezza pari al prodotto k TA dove con il simbolo DA si intende la lunghezza del vettore V. 2.6 Prodotto tra vettori Esistono due tipi di prodotto tra vettori: — il prodotto scalare che genera una grandezza scalare; — il prodotto vettoriale che genera una grandezza vettoriale. V 2 <l Figura 9 — Prodotto tra vettori. 2.6.1 Prodotto scalare Dati due vettori IA e V., che formano tra loro un angolo 6, il prodotto scalare tra i due vettori è uno scalare definito dall'espressione: V.V.=v v, così 1 2 12 2.7 | vettori tridimensionali Per analizzare delle grandezze fisiche in un sistema tridimensionale, occorre introdurre un sistema di TieRs riferimento come quello in figura di cui ono i versori degli assi, diretti come i tre assi coordinati. Figura 11 — Sistema di riferimento tridimensionale. Se V#0, chiamiamo normalizzazione di V il passaggio a Y = Y/ | Iv |, ossia al versore diretto come V. Le componenti del versore U ottenuto normalizzando: U=0,0,U) vengono dette anche coseni direttori di Y in quanto sono date dal coseno degli angoli che V forma con i tre assi coordinati. «2 AV + a+... + . . x sui Una somma del tipo “1: 22. av, (con a numeri reali e v, vettori) è detta combinazione lineare dei vettori VaVy i V. Evidentemente, ogni vettore può essere espresso (in modo unico) come aa 7 combinazione lineare di !/£ £.