Lezione di logica semplificata, Dispense di Logica

Scarica Lezione di logica semplificata e più Dispense in PDF di Logica solo su Docsity! Logica * Lezione 11, 9-3-15 Annuncio • Non si terrà la lezione di Lunedì 16 Marzo Ricerca di tutte le situazioni: esempio • Consideriamo: (P & Q), (P v  Q) • ci sono due situazioni (identificate attraverso lettere enunciative e lettere enunciative negate) • (1) sono veri sia "P" che "Q" ed è vero " P" • (2) sono veri sia "P" che "Q" ed è vero "  Q" (IMPOSSIBILE!) • (NB: A rigore ci vogliono le virgolette, ma spesso le evitiamo per brevità) • Procedendo in questo modo costruiamo un albero rovesciato. Quando ci sono due opzioni, costruiamo due rami distinti Proviamo ... • Illustriamo il metodo con un esempio. • Seguiremo delle regole meccaniche riassunte nella tavola 3.2 a p. 90. • NB: E' opportuno numerare tutte le righe che via via si vanno aggiungendo. NON lo faremo in questo primo esempio. Esercizio risolto 3.25 Costruire un albero di refutazione per stabilire se la forma seguente è valida: P  Q, P  Q |– P A questo punto notiamo che entrambi i cammini così ottenuti contengono formule fra loro inconsistenti: il primo contiene ‘P’ e ‘P’; il secondo ‘Q’ e ‘Q’. Questo vuol dire che possiamo chiudere anche questi due cammini con una ‘X’: Soluzione (3 di 3) Questo è l’albero completo. Dal momento che il tentativo di refutazione fallisce lungo tutti i cammini, la forma argomentativa originale è valida. Il metodo degli alberi di refutazione (i) • Per verificare la validità di una forma argomentativa mediante gli alberi di refutazione, si comincia formando una lista composta dalle sue premesse e dalla negazione della sua conclusione. • Si procede mediante 10 regole (tavola 3.2, p. 90) (controllando di volta in volta quale di queste è applicabile) sino a ottenere soltanto lettere enunciative o negazioni di lettere enunciative oppure la X che indica contraddizione e chiude un cammino. Il metodo definito precisamente (ii) • Le 10 regole (v. p. 90): • Negazione Negazione negata • Congiunzione Congiunzione negata • Disgiunzione Disgiunzione negata • Condizionale Condizionale negato • Bicondizionale Bicondizionale negato • "Negazione" ci permette di chiudere un cammino quando c'è una contraddizione. Si deve sempre tentare di applicarla non appena abbiano ricavato una fbf della forma ̴  • Le altre regole corrispondono a nove possibili tipi di fbf complessa che possiamo trovarci di fronte e ci permettono di estendere l'albero con formule più semplici. Esempio • P → Q,  Q |– P P → Q  Q P / \ P Q • Ipotesi 1: Q è falso, P è falso, [quindi (P → Q) è vero] • Ipotesi 2: Q è falso, P è falso, Q è falso X • La prima ipotesi è coerente e quindi costituisce un controesempio alla validità dell'argomentazione Logica * Lezioni 12-13, 10/3/2015 verifica dello statuto logico di una singola fbf  con alberi di refutazione • Il libro può confondere perché non presenta i passi della procedura con un ordine univoco. • Consideriamo ̴  e applichiamo il metodo degli alberi. SI possono verificare 2 casi: • Caso 1. Tutti i cammini si chiudono. Allora ̴  è inconsistente. Quindi  è tautologica, perché negando una tautologia otteniamo sempre un'inconsistenza. • Caso 2. Rimangono dei cammini aperti; il che vuol dire che negando  non otteniamo inconsistenza, e quindi  NON è tautologia. Rimane da verificare se  è inconsistente o contingente. CONT... 3.33 (cont.) • Per verificare se (Q → (P & P)) è inconsistente o contingente, costruiamo un albero per essa stessa. (Q → (P & P)) Q (P & P) / \ P   P P • Rimangono dei cammini aperti (caso 2a; in questo particolare caso tutti i cammini sono aperti): la fbf è contingente Esercizio risolto 3.29 Costruire un albero di refutazione per stabilire se la forma seguente è valida: P → Q |– P  Q Soluzione La regola della disgiunzione negata si applica alla riga 2 per ottenere le righe 3 e 4. Il cammino aperto nell’albero terminato indica che la forma è invalida e che ogni situazione in cui sia ‘P’ che ‘Q’ sono false è un controesempio. Cap. 4 - Il calcolo proposizionale • Nota sull'uso della parola "calcolo" • Verranno usate le regole riassunte nella tabella 4.2 a p. 118 condizionale, congiunzione e disgiunzione • Abbiamo visto la regola di eliminazione del condizionale (MP). Quella di introduzione è più complicata e la vedremo in seguito • abbiamo visto le regole di eliminazione e introduzione della congiunzione. • Adesso passiamo alle regole sulla disgiunzione Intro della disgiunzione • Per la regola di introduzione della disgiunzione guardiamo insieme dal libro l'esercizio 4.6, p. 97 Eliminazione della disgiunzione • Idea di fondo: Se ho P v Q e posso derivare R sia da P che da Q, allora posso asserire R • Vediamo la regola all'opera nel prossimo esempio