limiti sintesi discorsiva con illustrazioni, Schemi e mappe concettuali di Matematica

Scarica limiti sintesi discorsiva con illustrazioni e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity! I limiti Numeri reali e retta r Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali e la retta orientata r. Infatti è possibile associare ad un sottoinsieme dei numeri reali R , un sottoinsieme della retta r. Intervalli Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta(intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso , se include i suoi estremi; aperto se i suoi estremi non ne fanno parte. Gli intervalli limitati Gli intervalli limitati corrispondono a segmenti della retta reale aventi estremi a e b e lunghezza b - a, che viene detta ampiezza dell'intervallo. I valori b - a/2 e b+a/2 sono rispettivamente il raggio e il centro dell'intervallo. Gli intervalli illimitati Gli intervalli illimitati corrispondono a semirette della retta reale che hanno origine in a. a sarà uno dei due estremi, l’altro sarà -ထ e +ထ, che non sono numeri reali e quindi sono esclusi dall’intervallo . Gli intorni Intorno completo Dato un numero reale xo, si chiama intorno completo di xo un qualunque intervallo aperto contenente Xo: I(xo) = ]xo-δ ; x0 + δ[ con - δ e + δ numeri reali positivi. Se - δ e + δ corrispondono allo stesso valore, si parla di intorno circolare. Dato un numero reale x0 e un numero reale positivo δ, si chiama intorno circolare di xo, l’intervallo aperto di raggio δ e di centro Xo. Intorno di destra e intorno di sinistra Dato un numero δ∈ R+ : -l’intorno destro di x0 è ]x0; x0 + δ[; -l’ intorno sinistro di x0 è ]x0 – δ; x0[ Intorni di infinito Dati a e b∈ R, chiamiamo: -intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente: I(-∞) =]-∞;a[ -intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente: I(+ ∞) = ]b; + ∞[ Si definisce inoltre l’ intorno di infinito l'unione tra un intorno di - ∞ e un intorno di +∞. Punti isolati Sia x0 un numero reale appartenente a un sottoinsieme A di R. Si dice che xo è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di xo che non contiene altri elementi di A diversi da xo. Punti di accumulazione Si dice che il numero reale xo è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di xo contiene infiniti punti di A. ∀M>0∃ I(x0): f(x)>M ,∀x∈I(x0) Limite per x che tende a x0 = -∞ ∀M>0∃ I(x0): f(x)<-M ,∀x∈I(x0) Limiti con valori finiti limite per x che tende a più infinito = 𝓵 dove 𝓵 è un numero finito Man mano che la x cresce i punti del grafico avranno un’ordinanza che si avvicina sempre di più a 𝓵. ∀ε>0∃ c>o :𝓵-ε <f(x)<𝓵+ε,∀x>c limite per x che tende a meno infinito = 𝓵 ∀ε>0∃ c>o : 𝓵-ε <f(x)<𝓵+ε,∀x<-c Limite per x che tende a x0 = 𝓵 Ve>O 3 I(xO): Le <f(x)< tte, WxEI(x0) Asintoto orizzontale funzione potenza con esponente dispari funzione radice con indice pari funzione radice con indice dispari funzione esponenziale con base >1 funzione esponenziale con 0<base<1 funzione logaritmo con base >1 funzione logaritmo con 0<base<1 FORMA INDETERMINATA +∞–∞ Per risolvere una forma indeterminata dei limiti del tipo più infinito meno infinito(+∞–∞) usiamo la gerarchia degli infiniti. Nella forma più infinito meno infinito (+∞-∞) ci sono due infinito di segno opposto che si sommano. I passaggi da seguire sono: 1)sostituire il +/-∞ al posto della x: 2)davanti alla forma indeterminata Il principale metodo utilizzato per risolvere tale forma è il raccoglimento a fattor comune 3) raccogliere il termine di grado più alto 4) vedere se tra i termini all’interno della parentesi, c’è qualcuno che tende a 0 5) il risultato sarà +/-∞, per il teorema del limite del prodotto FORMA INDETERMINATA ∞/∞ Si verifica una forma indeterminata del tipo infinito su infinito quando troviamo un rapporto tra infiniti. I passaggi da seguire sono: 1)sostituire il +/-∞ al posto della x: 2)davanti alla forma indeterminata Il principale metodo utilizzato per risolvere tale forma è il raccoglimento a fattor comune 3) raccogliere il termine di grado più alto sia al numeratore che al denominatore, che sarà “l’infinito più alto” nella gerarchia degli infiniti 4) vedere se tra i termini all’interno della parentesi, c’è qualcuno che tende a 0 5) semplifichiamo la frazione moltiplicando i termini all’interno della parentesi con quelli all’esterno Numeratore > denominatore Se l’infinito alfa, ovvero quello che si trova al numeratore, è più forte sulla scala degli infiniti rispetto all’infinito beta (denominatore) allora il risultato è infinito. Numeratore = denominatore Quando i due infiniti maggiori che si trovano al numeratore e al denominatore si trovano sulla stessa posizione nella scala degli infiniti (α =β), allora resta il rapporto tra i coefficienti a e b. Numeratore <denominatore Nella situazione in cui è l’infinito beta (denominatore) a prevalere sul infinito alfa(numeratore) il risultato tende a zero. FORMA INDETERMINATA 0/0 La forma indeterminata 0/0 (zero su zero) si ha nei limiti quando al tendere della x verso una certa quantità (finita oppure infinita) la funzione tende ad un rapporto tra due zeri. ottenendo un rapporto tra zeri, scomponiamo il numeratore è il denominatore, seguendo la formula a(x-x1)(x-x2) Sostituendo la x nei polinomi composti, otterremo il risultato del limite della funzione.