Logica e insiemi, Appunti di Analisi Matematica I

Scarica Logica e insiemi e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! logica -proposizione:assets che ha sense definize VERSO FALSD - commettivongunzie [p, 9: proposizioni7,N:negazione P TP /Pere VF VF FV FU - implicazione:condizionenecessariamanonsufficiente p9p=9 OSSERVAZIONE: Pat happlestessoV V V UF F FV V FF sarannoil (p =q)n(q =p) =px=> q Insiemi N.B. Q =A · P, a interi · 9F0 IN:naturali · p, a seno complime 10 E:interi 0,2 3 eat MCD P,9 =1 ④:razionali Fa - 52 R:zeali Irazionali irrazionali) Numeri irrazionali RE Q -> Dimostrazione per assurdo: 2Q V2 =1 p =r.q 9 p 2 =292 L - pazi pazi N.B. Sepe q p =pazi Smo entrambip =2k -> 4k=292 pari, essinon -possono essere COMPRIMI q =paziS C.V.d. Teoria degliinsimi INSIEME:collezione dielementi (A,B, C) XA ↓xappartiene all'insieme A A =(x/p(x)) A =B ==ogni elemento diA appartiene a e viceversa A=Bx=ACB1BCA contenuto Sottoinsieme:A=(x=A =x-B) · ogniinsieme èsettsinsieme dise stesso:ACA ===xeA =x-AV . l'unico insieme che non possiede elementi è l'insieme vuoto: ↓ èsottoinsieme di tuttigliinsiemiOCA Operazionicon gliinsiemi A UNIONE:AUB =(X/XeAUxBY X t AUBl=>XtAVXEB B INTERSEZIONE:AnB =(X/x-Anx BY X -AB=>XtA1XtB COMPLEMENTARE: A=(x/xxA) DIFF. INSIEMISTICA:AB =(X/xt A1 xB) PROPRIETA'=Se ACB => AnB =AAUA =A ArA =P ACB = >AUB =B ANA =A ACAUBeBCAUB AUD =A A1D =0 - commutativa - distributiva - associativa ↓ ↓ ↓ AUB =BUA An(BUC) =(AB)UC An(Bnc) =(AnB)nc AMB =B1A Au(B1C) =(A UB) nC AU(BUC) =(AUB)UC legge di de Morgani (AUB)=A'l B' CA1B" =AUB" Insieme delle parti P(A) =(x/xcA) A =(1,2,3) S insieme delle parti diA P(A) =(A;;1;2;3;1 -2;2 -3;3 -1) N.B. Se A han elementiP(A) =2"elementi Numeli combinatori (B) =s 01M ERVIVAENTI OSSERVAZIONE:(Y) =m(n - -) (m -2) ... (m -k+)(k)! k!(x)! N.B. 0! =1 m! =gruppi che posso creare din oggetti (COMBINAZIONE) ↑) =quauti gruppidi Kelementiposso mare nell'insieme m (PERMUTAZIONE) OSSERVAZIONE: (P) =(x) =xs:= mix (4) =1 =(n) TEOREMA:binomio diNewton (4) =n(n) (a+b)* =(r) abr (3) =(ri) +(*7 Insieme R éun campo R èordinato R ècompleto (copre tutta laretta deinumeri) Inon esiste intervallo④édauso inIR: sepundo 2 numeri reali Xxz 7rE/ Xrexe disolimumulirrazionale Principio diArchimede. Per qualsiasinumero arcoun numero piùalto mar Prodotto cartesiano - preudo 2 insiemiX, Y& Si definisce XxX, l'insieme dituttel coppie vidimate((x,y)(x-X,yY) Se RcXXY Si dice che Ré una relazione diX in Y Funzione Si dice chef éuna funzione diX in Y se éunarelazione diX in Y/ pez ogni xin X esiste no e solo un y inY/(X,y) tf Notazione fix-X X =dom(f) f(x) =immagine dimediantef, X- x ==f(x) =y I =evator (f) kx -X,7!y -y/f(x) =y A y CIASCUN ELEMENTO DEL DOMINID Deve essete ASSOCIATOIUNO ED UN SOL ELEMENTD ↳ = DEL CODOMINIO - · AcX Si definisce l'immagine diAf(t) =(f(x)/X-A)cy =(y -y/5x 21:f(x) =y) TUTTI GLI ELEMENTI O Y SOND[ IMMAGINE DEGLI ELEMENTI DIA I · BCY Si definisce la controimmagine diBf(B) =(x -A/f(x) +B) =(x -X/7y -B:f(x) =y) TUTTI GLI ELEMENTI DELI IDOMINID LACUI IMMAGINE APPARTIENE AB Funzione segue Funzione Parteintera INTERD + GRANDE CHe NON SUPERAX ⑧anali F. Funzione mantissa M(x) =x- (x) * EF . . . fix- Y iniettiva, sidefinisce fI la funzione inversa dif, la funzione didominio f(x) e codom. Xche per y ef(x) he per valore quell' unico * EF elemento x =x pic any=f(x), f(y) =x 1) Funzione iniettiva se XFy=>f(x) +fly) 2) funzione suriettiva se f: X-Y/f(x) =y 3) Funzione biettiva =>f(x) èiniettivaèsuziettiva Campolizione difautimi fix=Y (gef)(x) =g(f(x)) f(x)cE g: z - W golfoh) = (gofloh gof fog (ingenerale) #EF. fixeY AcX Ha cistratto ad A, élafunzione che ha per dominio te per codominioY inX haper valore comunque f(x) # Ff:X-R l'estremo superior spf(t) =supf(x) x tX f: x- IRl'estremo inferiore inff(x) =inff(x) xX #EF. fix- R f è crescente se e solo se coppia di valorinel dominiocon XIX2 risulta f(x)=f(x2) -> é decrescente se e solo se coppia di valorinel dominiocon XIX2 risulta f(x)If(x2) N.B. se la funzione è strettamenteexescentes decrescenteallowarf èINIETTIVA I no viceversa dimostrazione:prendo a valorixe x2 HFx2 -(X1x x2) V(x2< x1) supponiamo che X1X2 é f èmonotona strettamentecrescente =>f(x)<f(x2)=> f(x) +f(x2) OSSERVAZIONE:f: X- Ybiettiva XAsYEX x - fN)- fx) xy Funzione pari Funzione dispazi f(-x) =f(x) kx -domf f(x) =- f(x) kx -> domf ↳e successioni 1) successime dell'1 2) successione I comm=1 an I=> 1R 1- 1 1 - 1 1 - 1 0 -> Go 2 - 1 2- 1 - 01 2-> a2 3)successione (-1)"4) successione con m=1 3 -> a3 8 -1 1 - 1 1- 2 2 - 1 2 - E Definizione formale Si dice (am]neycouverge al con lei(nim auf se e solo se FEzo, INtIN/tm>Na=> lan-eles Ian as as an infasedinauseae N.B. -liman=m-> SUCCESSIONECONVERGENTEREGOLARI -lim am = IO -> SUCCESSIONE DIVERGENTEm- c * EF La successione (an]nei si dice che diverge a +a (in an = +a) se e solo se MER 7weR/Amcr => an> M dame M (se(an) diverge a -c) Teorema dell'unicita' del limite: Se illimite esisteallonaeunico ② Hp:limPane, lim ane Ts: l=l1 dimostrazione ① Dato a7 N, Ne /mzN =lan-les Scelgo N =max(N;N2}② Dato 2 7N, N2/kmNz=lam-fl Notiamo che Il-le) = 1l+an-an-h1 Il-Melane+lang=>Il-le2=> Il-bl = e l =b C.V.d. Algebra deilimiti Siano (an),(bm} successioni/liman=s, imbate come,e- Alloza: 1) si(an +bn) =l Dimostrazione 1) infatti Date Ex UN,N2/m> N1 = lam-les 2 Min (an bn) =l.ls Date 220 FN,Nz/fma N2 => /bn-h/e ③ him kan=lim au=K Scelgo N=max {N;N2}n +C Iman:I con ans el=0 Fr>N lan-l) +(bm -h) e a lan +bn - (l +h)(k|am -l) +1bm -lie - an+bn = l+l1 Teorema deicarabiniezi Hp:an =bm=cm Fr T: lim br=e lim an=l-lim em n+ e n+ c dimostrazione Fax 7 N, N2 N/Xm>N2=lan-1) SalgoN =max(N;Ne}Fr>N2 => 1cm - 11 e 3 I Fr-N, si arca ossia lan-le= -scan-leE l-Ecamelte => l-e<brel+E (cm - leg =) -Excn- 125 l- Ex cn = l+E Monotonia # F(am) è monotona crescente se fa,no, and and Analogamentein vezione stretta #EF(bm) èmonotona decrescentese tr> no, andante Teorema (an) successione monotona allora una saza'couvergente oppure divergente I particolare se ècrescente il lins -and, se édecrescente in(and dimostrazione · Poniamo (an) crescente e limitate. Posto l=Sup(am)=+cs. Ysco, Jan /l-3=am. D'altra partean and En> no ossia l-scano e am ·Supponiamo (and crescentoed illimitato, ilsup[an)= tos. Fissatoun reale ed abitzaris allow Jano/anoc Fn> no. Quindisiccome anand si arcaama e ↓ cise' lim an= + es Nes TeoremadiBolzawa Waiestrass Ognisuccessione limitata ammetteuna sottosuccessione convergente OSSERVAZIONE: LIMITe eSISTe successione limitata successione crescente Eeen =() +(meiN sep, ed inf Intes en CONVERGENTE Alloza limitatezza e monotonia famosi che ent Lee 23 e2,71 en ={4+ few =(m)in- )(- )...-) is = k=1 ↓ min-e)(m? ... (m - M+ ( -n)( - )...( -) Forma sull'unicitadel limite Supp. f(x) =l, himg(x) =h coml = xe, l, leR Allove possiamo trovare intomidi leot l rispettivamente /I(1) 1[(41) =0 Hp: esistono [CxO) e I"(x) / Xxt [(xo), xx =f(x0) -> I'l), aualogamente *x- [(x), X fx =f(x) -["(e) Allora sisalgono xxo/x-> ['xes I"(rol con laproprietàcheIle) * C.V.d. l =l1 Continuita to - domf, f li dice continua into =pez T3x 76x0/fx- demf, Ix-x08 =If(x) -1125 VI(f(x0) 5 I(x0)/Xx-[(0)=> f(x) -> Isf(x0) eivef è definito inun intorno di to, allone equivale a dize:lim f(x)=ffo x-A # F.fi definitainun I(xo) escluso eventualmente Xo. Se esiste tim Hx=e conR, se f è definita inXS, ma in fiore oppose o non idefinitor in to, allo sidice che to éun punto didiscontinuitaeliminabilepezf 1) f(xo) existe, ma fixele 2) f non èdefinita into, ma inf(x) =b 0 es. f(x) =sextfiumane,definita . - (1 =m - (0) I f(x) cometo discontinuita maimsex =1 E f(x) comxe -> eliminabile incom x=o infl) come &Iprolungamentodif Limitelaterale f(x0)A-- Min-f(x)=e + f(x)=f(x) l---I- EF Siaf definitoinun intosuo meno dito ITxo),b tranne eventualmenteo. Si definisce limite XO latecale destro:i f(x)=l se e solo se Velemento e domf se preudianne un elementoin [(x0) 1(x0) =f(x) -> Ig(e) Analogamenteperlin f(x)e Discontinuita' I' specie fi definita in un ICxo), traum eventualmente xo, se li-f(x)+ f(x), si dice che io éun punto didiscontinuitadi1specie OSSERVAZIONE:f èdefinita inICO)_con to -IR, traume eventualmente inXo, d lim f(x) =e con -1R==>esistono entrambi limiti *-XD cio - se esistenza laterali lim f(x) = l=eintf(x) e coincidonogazauli 17 del limite, non continuita OSSERVAZIONE:fé definita into 1f é continua inxe=> esiste if(x) =f(x) Discontinuità especie Un puntodidiscontinuita si dice di 2specie se almeno o illimite destro o illimitesinutro tendono ad infinito o non esistono Funzionielementari · POLINOMI (ax+anx +ao · RAZIONALI (i) . TRIGONDMETRICHe · eSPANENZIAL Limitinotevoli dimostrazione:I senxl=1 lim senx = 0 ↓ x+ +0 -1Sex11 -> divido per X Analogamente con x1 - c, *= sext 21 - quandox lim senx =0 Wd d Teozera delx+ -cX confronto ⑧ COROLLARI8: supptEsautenti,imitate, conce. Allora Fx- [Cos 1 xe dimostrazione: Sing(x) =0=(g(x)) =0 0 =(fx.g(x)) =(f(x)).(g(x))=((g(x)) Xx=[xxx))(x) -> OSSERVAZIONE: . +0 +3 = +c Se stRR oppore S =tas . - x +3 = - x se S-> R oppose s = - c ·3 =I se s -1R - (0) Teoema Sepp. I Min f(x)=ecomxe, l-RR sup. g definiteinI(e)1(1)/ i) SeltR, gécontinua come ii) se l =+a (appare l=- 0) existe gli g(y) (finitoppure infinito), allow existeil i (90f)(x) =Mimg(y) -Inoth Mi g(f(x) =g[f(] COROLLARIO:Iècontinua into, se g e continua inyo CSe g idefinita inIlyos), allone got ècontinua into in (gof(x) =g[Mf(x)] Limitinotevoli him=loga lin logan + x) =1 x-I X la lim ex-1=loge = 1 lim loge(1+x) = 1 x+D X x -0 X Teorema disostituzione Sei f(x)=e, ltTR e g edefiniteinI(e)(e)/ 1) Se l -R e g ècontinua in l 2) Se l =Ic se Imgrys, allora Ilie (90f(x) -ti gry), e se in1 consideriamo l-IR, esisteun ICx0) (x) /f(x)+C FxEx ed Ing(y) OSSERVAZIONE: f:IR- continua in te eine"inf(x)=f(xo) e inthe 2. x- xDliman=xo, allone lim flan)=f(x) n- e n+ +co dimostrazione:Sia Ifx) dobbiamo dimostrareche I Nim IN/Xn>N si ava f(au) - [f(xs) .per 1. esiste Irxe)/tx -Irx0) =f(x) -> If(x) basterebbe considerare X=an e coll per 2. I NeA/AmcN, allone au -> I(x0) I frau) -> [f(x0) OSSERVAZIONE:lim an=e se lim g(au)=in IiM- C Siauo an ebe due successioni / lim an=lim bu=e ma/m g(aulting(bu) alarene non puòesistere illimitedi I quandoe OSSERVAZIONE:f, g definiteinIco trame eventualmente (to) e che Ihimf(x) ex-to fis in(x0),siahx) =f(x), a ben definito inun Istos (fe x- XS per continuitàdell'esponenzialita' sara' uguale a elimg(x) log f(x) Teorema deglizeri Sia continua inun intervallo chiuso e limitato [a;b), se accade f(al.f(b)<s, allowe esiste f(0) in(a;b), cis7 x0 f(a,b) f(x) =e Se finoltre èstrettamentemonotmor nell'intervallo Zajb]=> lo e i l'unico dell'intervallo dimostrazione 1 f(b)-- Supp. f(alzeef(b), poniamo a =do eb:boe consideriamo co-alb I Calcolicaof(co): Per tricotomia se froo-e, allone x =co, invece se frooks poniamo a=as e b1=co. Consideriauw wete' sinistra dell'intervallo Zar;b. fial4" todo b Inverse frco)poniamo an =coe bo=be, considerando [a1;b1] N.B. [a1;b1] - [a;b] N. B. Spp. Che M-R, da dimostrare Ielemento in [a;b)/f(c) =M, M puo essere auche = +c infatti consideriamo an =(X- [a;b)/f(x) =M -con me 1). an dunque Xn= imfan, ipsteri dicontinuitagarantisce che f(x)=M - I se accessefieri cositiene i, Helmeracusante limitata ate allone (in) èconvergente e supp. {n) che converge a c, c + [a;b) flect() f(C):Me dunque flC=M Allora c èun punto dimassimo Spp. M = + os, siconsidera an=(X-[aib] f(x) >m), In=infan, zagionando similmente"al case precedentee f(x) 1m, per XmeN f(xn) -m- +c] CONTRADAZIONE!! df(d) - R numero reale? Is vedi libro pag. 175 C + [aib) Confronto locale xo -TR +, g definite in[cxos1[xe) g(x)te, XEto studiamo lim f(x) = 1 +exg(x) · Se SEIR, allora si dicache f=8g per xexo es.418)f) =0g() xeo M 1-sx = ·Se ltIR(0) allona si dico fig per x-xo fé dello stesso ordine digrandezza di g es.4,8x]1-cosxx xe · Se l=1 si dicache frug xexs SIMBOLI DI LANDAU: f èequivalente a g S es. f(x) =senx 0,vo g(x) =x I senex him sext 'dl =1dl=0 ·Se l=e allow indizaf(x) =0(g) x-xe f è trascurabileispettoag Ies.f(x) =senx senx =ox in sexe g(x) =x ·Se i ) = co accade che li ==e allow g(x)=of(x) con xo Proposizione:se xexe Ee areciproco non frg =fg I èvero OSSERVAZIONE:SefIg x-e to lim f(x) = 1 èequivalentea tim tege=, aia freg quando treto *-x0g(x) Proposizione:fNg =>f =g + 09 per xexo distrazione: sixht-goscia(hix+9,date chefugin tweete x-xog(x) g(x) Dunque h() =0g(x) per x+te, ma f(x) =h(x) +g(x) e percial f(x) =g(x) +egc.v.d. OSSERVAZIONE: · seXfe eR, e(f)= of, X0() =ef) conxexe . Ioget f() =c ciseinun ID fi limitata, ossia ·(imf(x) =f(x)=f(x),- f(x) =0x=f(x) - f(x) =0() pexxx x= *-XS f(x) =f(x) +0(1) ↓proprietalocale in un punto . lim +=him xn-m = 0 quando n>m, dunque x =0(XM) x30 50 XM x4O eS. lin=limx =e, perciox= e/N) per xe Analogamentein Im = s quando nem, dunque x=0( xe a Algebra degli e piccoli:supp. X- o 0(xn) +0(xn) =0(Xn) 0(xM) +0(xM) =0 (XP) conp=min (m;m) 0(x) =e (XM) FATIR= y(x).0(xm) =0(xn) sey elimitata inun [10 +m.0(xr) =0(xn+m) o(xm).0(x) =0(xm +m) [o(x)] * = 0 (xnk) Limitimotevoli senxwx xeo, senx =x+0(x) -COSXIX X-O, 1-SAN log(1+ x)x x- , log(1 + x) =x +0X ex-1Nx x -0, ex- 1 =x +0x (1+x)*- 1NxX X-, (1 +x)=1 +2x +0(ax) =1+2x+0(x)