Spazi degli eventi e probabilità: definizioni e teoremi, Slide di Statistica

Scarica Spazi degli eventi e probabilità: definizioni e teoremi e più Slide in PDF di Statistica solo su Docsity! Spazio degli eventi Esperimenti e spazio degli eventi Dato un qualsiasi esperimento, reale o concettuale, si dice: I spazio degli eventi, indicato con , un qualsiasi insieme (che nel nostro caso supporremo …nito)i cui elementi !i , detti eventi elementari, siano in corrispondenza biunivoca con i possibili esiti dell’esperimento; I evento, un qualsiasi sottoinsieme A di ; I che l’evento A si è veri…cato se il risultato di un esperimento è un elemento di A  ; I evento certo l’evento ; I evento impossibile l’evento ;. De…nizione di eventi incompatibili Due eventi A1   e A2   si dicono incompatibili (o disgiunti) se A1 \A2 D ; Esempio Rispetto all’esperimento “lancio di un dado” stabilire quali coppie di eventi sono mutuamente escludentesi: I A1 D“in un lancio esce un numero divisibile per 3” I A2 D“in un lancio esce un numero pari” I A3 D“in un lancio esce un numero dispari” I A4 D“in un lancio esce un numero primo”. Esempio Descrivere l’insieme di tutti gli eventi relativi agli esperimenti “lancio di una moneta”e “lancio di un dado”. Probabilità De…nizione di probabilità (1) La nozione di probabilità è un concetto primitivo. Seguiremo un approccio assiomatico (pur con qualche imprecisione): si parte da un insieme di assiomi che de…niscono l’oggetto trattato solo da un punto di vista matematico, …ssando soltanto le relazioni matematiche a cui esso obbedisce, senza alcun riferimento ad un suo contenuto sostanziale. De…nizione di probabilità (2) La probabilità su uno spazio degli eventi  è una funzione P : 5./! R che gode delle seguenti proprietà: 1. P .E/  0 8E 2 5./ 2. P ./ D 1 3. se Ei \ Ej D ; per i 6D j allora P n[ iD1 Ei ! D nX iD1 P .Ei/ . La terna .,5./ ,P/ si dice spazio di probabilità. De…nizione classica Dato un esperimento ed un evento E tra quelli possibili, se m è il numero dei possibili risultati, supposti equiprobabili, che danno luogo all’evento E ed n è il numero di tutti i possibili risultati dell’esperimento, allora P .E/ D m n . Problemi: giochi truccati,  in…nito, tautologia De…nizione frequentista Dato un esperimento ripetibile, indichiamo con frn .E/ il numero di volte che l’evento E si è veri…cato in una serie di n esperimenti. Allora P .E/ D lim n!C1 frn .E/ n . Problemi: il limite non è ben de…nito, non tutti gli esperimenti sono ripetibili De…nizione soggettivista Dato un esperimento, la probabilità di un evento E è la somma che un individuo coerente è disposto a scommettere in un gioco equo nel quale al veri…carsi di E egli riceve dal banco un importo unitario. Problemi: il soggetto valuta in base al ragionamento e/o all’esperienza Principio delle probabilità totali Se A1   e A2   sono due eventi disgiunti (A1 \A2 D ;) allora: P .A1 [A2/ D P .A1/CP .A2/ . Esempio Considerato l’esperimento “lancio due volte di una moneta regolare”determinare la probabilità dell’evento E D“in un lancio esce almeno una testa”. Soluzione: per il principio delle probabilità totali P .E/ D 1 4 C 1 4 C 1 4 D 3 4 . Esempio Considerato l’esperimento “lancio di un dado regolare due volte”determinare: I la probabilità (evento A) che la somma dei punteggi sia 8; I la probabilità che la somma dei punteggi sia 8 sapendo che al primo lancio è uscito un numero pari (evento B). Esempio Data un’urna contenente 5 palline bianche e 7 palline gialle, si determini la probabilità che in due estrazioni con reintroduzione si ottenga sempre una pallina gialla. Esempio (sol.) Indicando con A l’evento “alla prima estrazione esce una pallina gialla”e con B l’evento “alla seconda estrazione esce una pallina gialla”, dato che: 1) P .A/ D P .B/ D 7 12 I 2) gli eventi sono stocasticamente indipendenti, ricaviamo che P .A\B/ D P .A/
P .B/ D  7 12 2 . Due osservazioni 1. La incompatibilità è una proprietà intrinseca degli eventi, l’indipendenza dipende dalla loro probabilità 2. L’indipendenza fra tre eventi richiede l’indipendenza a due a due; ugual discorso per più di tre eventi. Esempio Considerato l’esperimento “lancio due volte di una moneta regolare”determinare la probabilità dell’evento E D“in un lancio esce almeno una testa”. Soluzione: per il principio delle probabilità totali P .E/ D 1 4 C 1 4 C 1 4 D 3 4 . Esempio Considerato l’esperimento “lancio di un dado regolare due volte”determinare: I la probabilità (evento A) che la somma dei punteggi sia 8; I la probabilità che la somma dei punteggi sia 8 sapendo che al primo lancio è uscito un numero pari (evento B). Variabili aleatorie Esempio Dato l’esperimento lancio di due dadi, sullo spazio degli eventi  si possono de…nire le seguenti v.a.: 1. X=somma dei punteggi dei due dadi 2. Y Ddi¤erenza in valore assoluto dei due punteggi 3. Z Dvalore minimo dei due punteggi. Problema Data una v.a. sullo spazio di probabilità .,5./ ,P/ come calcolare la probabilità che X assuma un dato valore o un valore appartenente ad un insieme A? Variabili aleatorie degeneri De…nizione. Una v.a.d. X si dice variabile aleatoria degenere se per ogni evento elementare assume una unica determinazione: X .!/ D x0 8! 2  . Proprietà della funzione di probabilità Valgono le seguenti proprietà: 1. pX .xi/  0I 2. X xi2supp.X / pX .xi/ D 1. A volte, per semplicità si pone pX .xi/ D pi Funzione di ripartizione De…nizione. Assegnata una v.a.d. X , si dice funzione di ripartizione di X la funzione FX : R ! R de…nita da FX .x/ D P .X  x/ o, in termini della sua funzione di probabilità FX .x/ D X xix pX .xi/ . Esempio I Determinare la distribuzione di probabilità della v.a. X che rappresenta la somma dei punteggi nell’esperimento del lancio di due dadi a tre facce. I Rappresentare gra…camente la funzione di probabilità e funzione di ripartizione di X . Funzioni di una v.a. Data una v.a.d. reale X se g : R ! R è una funzione allora anche Y D g .X / è una v.a.d. La funzione di ripartizione di Y può essere espressa a partire dalla funzione di ripartizione di X : FY .y/ D P .Y  y/ D P .g .X /  y/ Esempio Se g .x/ D 2x C 1, determinare la funzione di ripartizione della v.a.d. Y D g .X / ipotizzando che X D 8<: 1 21/3 2/3 Esempio Svolgere lo stesso esercizio nel caso in cui g .x/ D x2. Valore atteso Si de…nisce valore atteso di una v.a.d. X la seguente quantità: E [X ] D 6 xi2supp.X / xipi Proprietà del valore atteso Per ogni X ,Y v.a.d. e per ogni , 2 R E [ X C Y ] D E [X ]C E [Y ] Spesso si usa il simbolo X D E [X ] Varianza Si de…nisce varianza di una v.a.d. X la seguente quantità: var [X ] D E h X E [X ]
2i D 6 xi2supp.X / .xi E [X ]/2pi Spesso si usa il simbolo  2X D var [X ] . Si noti che si ha sempre  2X  0 e  2 X D 0 se e solo se X è degenere. X D q var [X ] viene detta deviazione standard. Coe¢ ciente di correlazione Date due v.a.d. non degeneri X ed Y si de…nisce coe¢ ciente di correlazione tra X ed Y la seguente quantità: Spesso si usa il simbolo XY D XY XY . Si noti che I 1  XY  1 I se XY D XY allora si dice che X ed Y sono perfettamente correlate negativamente. I se XY D XY allora si dice che X ed Y sono perfettamente correlate positivamente Proprietà della varianza Per ogni v.a.d. X risulta: I  2X D E  X 2  E [X ]
2 I  2XCY D  2 X C  2 Y C 2XY I  2aCbX D b 2 2X