Scarica Mappa di sintesi sul parallelismo e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity! PARALLELISMORelazione tra rette Si dicono parallele 2 rette che innanzitutto appartengono allo stesso piano (ossia sono complanari) e non hanno alcun punto in comune oppure coincidono e in tal caso hanno tutti i punti in comune. Rette parallele e distinte Relazione di parallelismo: Il parallelismo tra rette è una relazione di equivalenza, infatti gode della: 1. Proprietà riflessiva (DEFINIZIONE) 2. Proprietà simmetrica 3. Proprietà transitiva (2° corollario del post. delle parallele) Tale relazione suddivide le rette del piano in una partizione formata da classi di equivalenza tali che ciascuna individua una direzione (rette parallele hanno la stessa direzione) Rette parallele e coincidenti ( prop. Riflessiva) 𝑎 ∥ 𝑏 𝑎 ≡ 𝑏 DIREZIONE La direzione sul piano come anche nello spazio è la classe di equivalenza costituita da tutte le rette parallele ad una stessa retta (per le proprietà R,S, e T sono tutte parallele tra di loro), la retta ne costituisce la rappresentante. In altre parole è l’insieme costituito dalle rette accomunate dalla proprietà di essere tutte parallele alla stessa retta e pertanto tra di loro. OSSERVAZIONE: Sono infinite le possibili direzioni del piano, ciò nonostante le principali sono: Obliqua crescente * ascendente Obliqua decrescente * discendente Verticale Orizzontale Postulato delle parallele Per un punto esterno ad una retta passa una e una sola parallela alla retta data. Questo assioma postula l’Esistenza e l’Univocità della parallela passante per il punto alla retta. Si chiama fascio improprio l’insieme di tutte le infinite rette parallele ad una retta data. N.B. P 1° TEOREMA IMMEDIATO Due rette parallele ad una terza retta sono parallele tra di loro. (pr. Transitiva del parallelismo) 2° TEOREMA IMMEDIATO Una retta che interseca una retta di un fascio improprio di rette parallele deve necessariamente intersecare le altre. Se 2 rette, a e b, tagliate da una trasversale , c, formano una coppia di angolo Alterni Interni Congruenti, si dimostra che le 2 rette sono parallele. Si estende anche a quelli esterni. Se 2 rette, a e b, tagliate da una trasversale , c, formano una coppia di angoli Corrispondenti Congruenti, si dimostra che le 2 rette sono parallele Se 2 rette a e b, tagliate da una trasversale c, formano una coppia di angoli Coniugati Interni Supplementari, si dimostra che le 2 rette sono parallele. Si estende anche a quelli esterni. I COROLLARI 1. TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO 2. 2. LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI A UN TRIANGOLO E’ SEMPRE UN ANGOLO PIATTO. 3. SE DUE TRIANGOLI HANNO DUE ANGOLI CONGRUENTI, ALLORA ANCHE IL 3° ANGOLO E’ CONGRUENTE. 4. 2° CRITERIO GENERALIZZATO. 5. LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO CONVESSO E’ DATA DA (N-2) ANGOLI PIATTI. 6. LA SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI DI UN POLIGONO CONVESSO E’ SEMPRE DUE ANGOLI PIATTI. 7. LE RETTE PERPENDICOLARI A UNA STESSA RETTA SONO PARALLELE. 8. DATE DUE RETTE PARALLELE, LA PERPENDICOLARE AD UNA DELLE DUE RETTE E’ PERPENDICOLARE ANCHE ALL’ALTRA. 9. LE PARALLELE A DUE RETTE INCIDENTI, SONO A LORO VOLTA INCIDENTI. 10. LE PERPENDICOLARI A DUE RETTE INCIDENTI NEL PUNTO P SONO A LORO VOLTA INCIDENTI. 11. ANGOLI CON LARI PARALLELI E CONCORDI OPPURE PARALLELI E DISCORDI SONO CONGRUENTI. ANGOLI CON I LATI PARALLELI DI CUI DUE CONCORDI E GLI ALTRI DUE DISCORDI SONO, INVECE, SUPPLEMENTARI. STRISCIA DI PIANO Si chiama striscia di piano la parte di piano racchiuso tra due rette parallele comprese le rette stesse. ANGOLO DI DUE RETTE NELLO SPAZIO Date due rette a e b nello spazio tra loro sghembe, per angoli formati dalle due rette a’ e b’ rispettivamente parallele ad a e b a partire da un qualsiasi punto P nello spazio. b’ a’ * Si tratta di C.N.S
