Proprietà di spazi vettoriali: sottospazi e generatori - Prof. Delizia, Appunti di Matematica Discreta

Scarica Proprietà di spazi vettoriali: sottospazi e generatori - Prof. Delizia e più Appunti in PDF di Matematica Discreta solo su Docsity! 40. SPAZI VETTORIALI Sta (kit) uu eouwipo, 2 Ala NE iN. Adoro "= | (aa an) i die k] = My (09. Tu Mim (Ck) alGiamo delielo uno Anuwue, 2 Ro cheltuaa (Han (Kk)) +) è vu quppo abel'avo. Tuolhei Voaek, Ylarar an) e Mk), alliauo defiuito — x (a....1am) = (AA... dv). Da ma du pi gli oRvucni Us (2... ,au) € K* aonouuo detti veloni com m Coupoeub, gL Quiudi aMWliamo defuilo vue Anmua he velo 2 LU ‘prodollo ha uno aclor £ uu vele. Lo ctultluo (ik, +) 2 uu queppo apoliauo. L'olourulo meuho 3 0 (0]0,..,0) ek", dello nelioae mulo. Pei ou vete us (a, .-:an) € k", L'opposlo di u 2 J vello ua (a, ur Am). Tuothe valgsuo o Aepuenti propre‘: d. us & Vus kE“ (+) u = nu+ fu Vafek, Muek" (uv) = QUu+ov Voek Vuvek" (cp) u = (pu) Va, Ge ky Hue k" lo diwosheriame di quel propmeke! 2 ovvia cogiorovdo component pei coupnzule 20l dba La propmeta! dele opengiozi iu k. (2 ISTE Sta daV Sk", VO Ai dice uno Aperto vebbicalo "com Mm covponenti Aul como Kde Asuo verficole Le oepueuti due colui : (1) uve Vv Yume Vv (oe VE stilo è (%+)) (2) que V; Yoek, Yue V Kc 2 uus Sposo vettoriale | (Spano retonate Upriemo. co u componeul aul cono K). 10} è wo sporo neliza@ (Sass vertono qllo) Sta KS R. AQona Va 7 (4,0) ‘acri R° £ ruto Speto veiorralo cm 2 co |ouzubi del Coupo R, rutsivuedo he 50) e R° Se e Va souo Sos veloriali cm U Coupoes dallo Ateno coaujo ko ( ossa Un Ve £ k*), se Ve Vi di dive de Va £ vu solospero adi Va Ovucmeule) se VE uuo sparo vettoriale com vm Cou|joreut aul compo k, a VV è Aolocpeto di K", 104 2 teu soltospotro di V. Tubi. OSLCAVANOUE, . Ogui Spero velonzale Codicue O. Tulolti Yue Vv, U piodolo xue V He k, Pu vs0 ) Ous Dev. Pu divoshor che V 2 wu Solospao di K*, devo provone che V verifica Le duo coda dodee diurne di colo sparo. \eul:clhiawo Lo cadviane (4). Stavo v,wWevV, doliamo pian che v+ewe V Siccome Vv weV, oricfouo Scolori 0%, 0%, 3 Au (Par fer.) (ua € K doi che V = KU + 0% Ut + du La W = fa Ut fr Und + oa Alora VA = 0% Ud Ur --- 4 i Ugg È Preciiy -- + fu du = (ca Uat Ba ut (1 Uu,t be dj. + + (Ct Ut fu uu) n 2 C+ fn), + Cont fio) a0+...+ Gruct Pra) Hu D D D k k k Quudi vi w £ coubdiuavie Liu dei veli Uan Uni Udi 2 perteuto va we V. Ve ficluawo Lo cotone (2). Gia ve V, e xa ack. Ama oristano Ut n ul toli che VU = a UtUUt + Vul. AMoro QU = 0 (Musa tizà + UU) = n = (A) U+ (one Pon 0479) Ut e LD e 4 A k k î quiud xv è coubiuariare Lion dei veli Unnler rum | 2 Auupue AVE V. TEOREMA . Siauo Udi, ta & RK". 0020 QiugemeVAi Aut Lo coubiuogaii Qnear di Us iti, uu 2 piu' piccrlo sollospieso di k* contereu i velo U,, Uz, .., U, Niwocheume = Pelo divostovme doll itendvua pecedeule alliuuo visto che V è uu polbspeto di ik, e che Corteno i vello Ut, i Um. Pa diwoshev clu VI dd piè ficasto ta i Sollosposi di KR count Ue, Uzi ---) La, ìsogue protone che 2 WE uu solosneso di kr" che comlieuo Uru, .-. Ugg ao VE W. Sia W uu Solospewo di KR co U,, uz; tu Ul Sicanwe W è uu Sollospomo; per 0a [popaete! (2) Vuvizt i Viu LIT A Ma VU MU) i) a Ugg E W Tuolh ber Le ropaele (1a) e lo anche a Ur A UU + Vul, GW) Vauro, eek Quiuou VE W. L'rucgone di tulle 20 cnulivosni Luar cei VEMDAI Uni Uri.) Um «A dice Sollosparo quuralo dei Velod Uni, Uwe e A deuole CH Atulorto <U,z to; Ud. Pi V tene pececbeudo, SU Uni a Uaò e d più picerto solospeso di Ik" che coeno è tei Ut. Um Sia k uu couvtpo; 2 sta me N, Siamo £, (40-30) La = (074401 .-,0)... Li = ((0,014;0 --10) t ‘ , Lu = (0) --:)0) 4) vetba dik". o TL solfospeso La, Lar i) Ku È l'iusiome di tulle Lo coubiuadioni Liuseari di £,,2,, ORTA. vi) En, Kai) Ru 7 2 j UL +9 Ly. +0 Ly : Ù,%,,.,0%6k} e 1 (&110-.,0)+ (0,4,0,.,0) Vr. +00. 0,0) Wa 1 - 060 6k] 2 { (11, u) %m) : 0%, 93 Xn € ki = ke Sia VC kKk" uo Spavo veblonia@: . Se Ud U LOMO velbu di K% tell: Chl CH tue Vi Mara si die che è velo qu situ) Costtuiccno un user 1 veli 2a, 24)... di qeuerabni di SI TL vele uullo z uu cusicuie di geuesatzi difendo © I cesteino Qiuegne (XI) La couLo ULUCa vlustae gene wa Di = (ou on ---) n) ja, quudi =... 0. Velo ce usi Ano LQueonueed puctipeucdou i divo Muzanuzuk dipendenti. Proposte . le Usi. Una E VvVek smo vello, Qiucarucesto Nuobipevdel alloro Upg ie) Uiegi Uitar n Ur. SOO vettori Luo nente nudi pende) Vis di, DiwosheWove, Ru armundo, Mano La ii Liri n La LRuoomwueule dipendenti alloe erstup. Scolari Uov tuti uulli Xi; a) Xin] Ciagi n Ma € K toli cho DS MURA Ma Ut Cir tlrag tt ll Ha ana DE Walt Mia Uta + O Ud Mis Uta et Lu Qu E uua combiuore Loueoe di Tutti è vela Urra Uu uguale al vel nullo, ou scolo uo tulli uulli. E questo £ &4iundo perch ì vela {un uu Ano Qcenvuute tuotrpeuovut peu ipotesi. Tu valo di que ke propo tace , usi collo tico di cu dureee di velo Livenmende ruodperuetou le È aucoe Qnueanuzuk dudl'ipen toute. ite oppuugudo tu veloe a vu duriezuo di vetri Linconueu pilipeructontti , Li iuvicono obteuuto pohebbe uni erme (wu Lacan uk duolì pooleute. Tu) (40), (0/1) to Livon tuolizerioloutt. | Se appiuugo L vene (412), Lrasienie 1040), (0,4), (42)! e Liwocnucuke Pieno. Tufett O= 4(409+ 2 (04) 4 (42). vat duuene di veli Qiusorwendke rudipesdarb suu & VE ai dice iudemoe dì Goa Dive rolifendionlo asosriate a due Vi è vele Un Um UV uo Riucan ue dipendere. Stauo Ual VE. Sì die che ui vele ve V lipende Qiucenweule doi vela Uni cer Yu 0 YU E CUL; se Ud, omnia a VEL coubiumiae Quero dei vel Ra ii Ur. + (as di) Ugg to È (0; "os ) Lu, Quiudi u £ combìuavne Livare di Putas o isi Misa —) Ut 0208 Ur E Usa Hicar Misgi cr Mu? € duupue ui dipevole Diueanuceule dei riuiavenb vello di X) arsuado pe L'èpotea. (molano.. Mu iureme di ver che conteugo il veline uuelo 2° Ae ne liwepn eso dipendente. biwwosio sone Tulotti 0 dipeudo Liuoanmeule doi ruwanzuli. Tu vini dl lowma neceoleute ) ae Ue iau e VEK Aguo vello Liveanuzele rudipendeuli) dolo vev RL iusieue Tu, vi è Lucanieule iudtipendorte Ae L Aslo A vg Usi] Udo 0 siquilico che desco a dovane uu ius Live ance hdipendeute che Coukeo |\nopriawiendo Ur jjUu Ae 2 466 de Usi, Uan? E VI Quaudì 124, £y) E une base di ki delta bio natale di KM. i | Tuvew Lo spono rullo 10} ha enue base P BE E SE (a#tb+e; h-ld; c+d; a) = a(4,0,0, 4) 4 b(2:4:0,0)+c (40140) +d(01-214,0), Quiuoli 7 (401014), (2,4,0)9)) (4,040), (0) 22) di I 2 uu duneme di gorematni di V. Gia VEk! uno ero vebimialer e riauo Ke (Qu, Ar 1--7Aam) Ua = (21, d2) 32m) t Uuy = (Qua, Ama, 73) 2un) mu vettori di V. loshuiauo Le wuahice A che Lo por digle i vet Usi Uzi -.; Ul Qi Qua on Qin Q21 Arr ua dry A 3 ‘ € Ma, “ Ck) f Ama Qar --.- Qu Ouriamuente 0 <aIelA)< LIU iunu). Ci diwuoche che il ruro rente Qeollpeuotout ha Ue ti, Uw emstorannelt) Tuotte, de nle(A)= E, Lo wohice A |ossnedi ue Solounttie quedinie Be Mi (k) co IBL#O. (e uu posteoe mino uni uulli di mole >). TIT veli cmd Yyipudonb aste aigle di B coshhuscouo uu Sobloiuewe Liurantueero noli hewcdode di Tua Uw} di orvue . ULIANO. vido che (0/49); (010,d £ eu dee di © | qumalni dello speso veliniale 0 Vela): aber e RI 1° Cortuicio Le iMetdeei TONY BRNO oa e Mae Ri Qecouee Ie(A) = 27 è Auo velini. tuo Lean niserk ° Iudijeudout r 2 fuiuoli costituiscono tuta tas di V. Quriudli di) E 0 E uu duriziue di quuoradni del9o Spatro © veltowale V={(a+lb+ci b-2d; cada) 'a;bicide R 0 Corliizo Lol web A 00 AN o se(izzo)e My CR) i 0 1040 Ti E oa 404 | Ukliatcuoo dda degli ozleli davo ccnl Ue lh). Certouzule LUMI LG © Senoa ({9]2190, alza Srecome (19440 alelaazi TI È LOA]:O Piscitte I&| = — [769] 2-2]91]+1]19]=-300 Quiudì ak(A4)=L. AYna Ba vuo bee di V, quiudi drulMi=4. ho seg che Ve RE Gra VE k“ uo quo velniale) e Ma Tu du us ricono di quenolni di V. Dopo aver cortuilo Lo uoltico A aneuk coue agle è velbal Wii Yu, dL UA) zu alUona i Veli souo Qiuemuuzile ruoli peroleuti e Quiuol conbtuiseno UL bare di Vv Ce rusece VUc(A) = t< wa) Lo tuohico A |joredo uu vive um mulo di die E) e lo cdigle che comicpoudouo a tele reiune Adetenmiuormo uu sotto usiezuo di UL, Lu di vela Lawanutendte ruoli pece È . Si pia. ce questo sPHousizme GucoR vu iuteme di qeuecodoni di V, e quiad z uuo bar Sia Ve | (a+b+e, bike, axub, ade): asbiceZ) Ci ento (cuci!) che V 2 UU cottoSpezo osi (Ze). Vogliauio determi vane ULLQ loan di V. Coiviuzano a hora vu russo di quanalai dl V. (arbtc, b+lei a+) a+be)# a (40144) + (44,40) + c(44,0,4). Miscihece () Cin in solbsiano di V eu Proviamo cle LUI = 40) ve Uh collosiero di OE) perchè per L' osservazione precodonde Ow= £(0v) e contovciele o, e U peclà Vi i nu Sollocpero di V, quud Oy € L(U). cio = LC), wu, = fl). Alloro W+W, = L(uN+A (va) e PO E PM) Tavve, AL0UIO cere b Priamo Esicke ve U, tolo o w=f(v) Adone gua x f(v) = {(uv) e PU). î Duuque {vi è È uu solospaso di W. Gi) Sia Wa uu tobbyjoro di Wi e ovicwo ele {! (un) = V6V : plu)ermÌ 2 uu Solbyqaro di \V. presti remfntun) pace {(0) £0, e W poche Ua è uu folbiposo di W Ciauo Va va e PW), e |rliauo cl Grtrerfamiua Si Le {(v), (2) EWA Cicero Un È vu sollospazio, {(ul+f(W)etd. Cioe £ L Li ueoro, Lv + f(U2) 7 L(u1+1,)eW da cui Vl E 2° (Wi). Gao Mentre. Pira che euurertet(k) i La Plu)e Ly. Siccoruo wa uu solo leso, af(v) cW. Quoue fl 2 Luaw, o Sv) = Leu) eV. Le coque che NY E Po (1). Quiudi D' (MW) a ua solospormo di Vv Giano NVlk" e WE k shon vellonali culo steno como XK) 2 ata È: VS W uu' appfricovme luize. l'iusgeome di vettori cientpi=] ve V : Pl) = Oy € V aucto di f. Teoreua. © Ciano VERY a UE K" Apoy veltorali cul compo ki e dia di VW ue appliconze Niueie. Agora keil) £ uu sottoseao di V. Dimoshoasme Pu L'ostenvasce, (07) = 04) quiudi ve Kale). Ciano (MvaTETRA lt), e proviamo che Mae Kelf) Cicepure Va: Va E ke (L), ci ha Ly) = Pu) = Ly. TLuolhe f(u+%) = flv) f (12) = Out Ow = Oy, Ada cui Virvi e Ko (L). \tawo neh, ve kel), € poviauo ce (ve Kate) Ciconue ve hu) u he Sv) = Ow. Tuolhe x la fou) = af()= ad = Ow, quiudi av e ke (L) (ugduiamo Ve R*, we, fi RP? —s R3 (0 > (ati 0, -6) Abbia uo. dimuoshalo prua che {a un ajpRicomoce Riucoie. TR vuolo di { E (can) I vela) e R? 1 Pv) = Og = (00) 0)} = llabe R2: (a+b00,-6) = (00,9) } = = (ave? Leto i = } (0,0), = Don} Quiudi Kkal) 2 W aolosporo nudo di R2 AQora ker(t) lo coue base d, € quiudi he dimenziome 0. n Ù Da dieiuiarue è Tu lf) = ] Plan) @oe 224. Ga Ri: VW Liwcaw. Ru Aetoruuone Lu) occore \nocedew el uiodo cepuerdle: (4) Sceglie una base di V (2) applicone { a belli i vettori di quecda bas * ) N iusgemo ottenuto 2 cupe uu iusieme di qeueratoni di Lu (2). (3) scavendo i cel di questo luscwme di alri coue Uiglo iu uo uabhice € colwteudane èU aupo olfeno quiuoli una ba di Lul(L). Comvderiaruo Le lar nalunole di Pi, cio Ly (40); L= (014): Califiavio L (49) =. (40,0) f(t00) = (40:-3) Quiuoli } (41010), (4,0;-0) 5 cobtuiscro uu iuricuuo di quali di Tull): Ru hovaw una bare di Tull) devo colcatore è aeupo dee vali qgD Quoslo vrabice lo teo soloruatieo quadrohe di mdw 2 (iu vede) con Aeteruivoule #0; guiudi he Qua erdte duolijortoub, duuque uo bas di Lu (1) 2 popo } (4,09), (40,-0)5. Tu portentai Auu (T(2)) = 2 Duque L'appliconae L ni È cuaieiti va. Tentwua dello divsusinme Giano VERI, WEKW, P: VS uu! applicavoue Quemo. Asa : ei (kes(0)) + di (Tul0)) = di (v) (senso diuosheve I)