matematica finanziaria 1°anno CLEMI, Schemi e mappe concettuali di Matematica Finanziaria

Scarica matematica finanziaria 1°anno CLEMI e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity! MATEMATICA FINANZIARIA OPERAZIONE FINANZIARIA Qualsiasi operazione che dia luogo allo scambio di importi monetari nel tempo. OPERAZIONE INVERSA: SPOSTO INDIETRO NEL TEMPO LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE Funzione: M= f(c,t) CRITERI DA SODDISFARE: 1. F(C,t) deve essere definita ∀C≥0 ∀t≥0 Studio C.E. => dominio 2. F(o,t) = 0  Montante 3. F(C,0) = C  Se la durata è uguale a 0, il montante equivale al capitale iniziale 4. 0 ≤ C1 < C2 f(C1, t) < f(C2, t)  Investo un capitale C1 minore di C2, con parità di durata 5. t1 < t2 f(C, t1) ≤ f(C,t2)  stesso capitale, ma tempo minore = Maggiore guadagno in t2 (o uguale) 6. f (C,t) = C * f(t)  il montante è proporzionale al capitale impiegato 3 PROPRIETÀ CHE DEFINISCONO IL FATTORE DI MONTANTE: a. M=C*f(t)  F(t) definita per t≥0 t∈(0,T) b. C*f(0)=1 c. T1<t2 F(t1) ≤ f(t2)  Crescente o costante = NON DECRESCENTE Se f è derivabile: f’(t)≥0 Capitale impiegato Durata impiego Funzione con 1 variabile INTENSITÀ DI SCONTO/INTERESSE INTENSITÀ DI INTERESSE: tassod ' interesse lunghezza del periodo acui si riferisce → f ( t+∆ t )−f (t) ∆ t∗f (t ) INTENSITÀ DI SCONTO: f (t+∆ t )−f (t) f (t+∆ t )∗∆ t INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE lim ∆t →0 f ( t+∆ t )−f (t) f ( t )∗∆ t = f ' (t ) f (t) → ln( ln ( f ( t ) )) INTENSITÀ ISTANTANEA DI SCONTO lim ∆t →0 f ( t+∆ t )−f (t) f (t+∆ t )∗∆ t = f ' (t ) f (t) → ln( ln ( f ( t ) )) INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE=INTENSITÀ ISTANTANEA DI SCONTO => FORZA DI INTERESSE  HA UN VALORE DIVERSO A SECONDA DEI REGIMI Rapporto incrementale FORZA DI INTERESSE REGIME 1: REGIME DEGLI INTERESSI SEMPLICI f (t )=1+i∗t INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE = f '( t) f ( t) = i 1+i∗t REGIME 2: REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA f (t )= (1+i )t f ' ( t) f ( t) =ln (1+i) REGIME 3: REGIME A INTERESSI ANTICIPATI f (t )= 1 1−d∗t f ' ( t) f ( t) = d 1−d∗t 1. REGIME A INTERESSI SEMPLICI 2. REGIME A CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA f (t )=(1+i) Di tanto cresce Df, cresce f a cui lo vado ad apportare. 3. REGIME A INTERESSI ANTICIPATI Intensità istantanea cresce al crescere di t. 2- 2°caso: tra diverse scale di capitale. 1∗ip∗p=1+iq∗q P,q= numero di volte che il tasso viene pagato nell’anno. i1= 1 anno i2= semestrale i3= quadrimestrale i4= trimestrale i12= mensile EQUIVALENZA TRA TASSI DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA (1+i∗p )p=(1+ i∗q )q EQUIVALENZA TRA DIVERSI REGIMI Tra capitalizzazione semplice e capitalizzazione composta: (1+is∗t )= (1+ic )t TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE K VOLTE ALL’ANNO jK →ik= J∗k k se avessi J2 => J2/2=i2 e servisse i4:  Trovo i2= J2/2  Faccio equazione tra assi in capitalizzazione composta: (1+i2 )2=(1+ i4 )4 Negli esercizi: - Si ha il tasso o la giusta periodicità - Si ha un tasso i4, ma serve i2 Si usa ik e non jk  Jk serve solo per trovare ik  Equivalenza tra tassi in capitalizzazione composta (1+i2 )2=(1+ i4 )4 - Ho J4 e serve i2 i 4= J 4 4 (1+i2 )2=(1+ i4 )4 - Si ha J2 i2= J 2 2 TAN E TAEG TAN => tasso di rendimento dell’operazione senza considerare spese e oneri accessori. TAEG => tiene conto di tutte le spese e gli oneri accessori. Tasso Annuo Nominale Tasso Annuo Effettivo Globale REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSI ANTICIPATI CARATTERISTICHE: interesse e sconto sono direttamente proporzionali al capitale finale e alla durata secondo un fattore di proporzionalità che è il tasso di sconto (d). D=I=Ct−C 0 D=Ct∗d∗t Co=Ct−D=Ct−(Ct∗d∗t )=Ct∗(1−d∗t) Ct= C0 1−d∗t f (t )= 1 1−d∗t Cap. finale Tasso sconto i due V.A. rimangono identici: la rendita rimane quella. RENDITA PERPETUA Quando si valuta un immobile. MONTANTE RENDITA POSTICIPATA - Rata costante; - Temporaneo; - Periodo; - Immediato. MONTANTE RENDITA ANTICIPATA R=(1+ i)∗sn¬i sn¬i: è interpretabile come il montante di una rendita posticipata/anticipata unitaria. RELAZIONE sn¬i E an¬ i a= V.A. s=montante COSTITUZIONE DI UN CAPITALE Il problema è inverso: conosco M e voglio sapere qual è la RATA COSTANTE che mi consente di costruire il capitale S ad un’epoca futura T. Il Cs da costruire è il M della rendita. Esempio: voglio avere 100.000$ tra 4 anni (=48 mesi) 1. Se la rata è POSTICIPATA 100.000=R∗s48¬ 1%=1% Ricavo la rata con la formula del montante. R=100.000∗1 s48¬1% 2. Se la rata è ANTICIPATA R anticipata = R posticipata R∗s̈n¬i=100.000 sn¬i∗(1+i) R ANT= R POST (1+i) δn]i= è la R costante posticipata/anticipata che serve a costruire un capitale unitario dopo n versamenti al tasso i. δ=sigma δ n¬i= i (1+i)n−1 δn]i è una funzione decrescente del tasso i. FONDO DI COSTITUZIONE: qual è il montante delle rate versate fino all’epoca t (intermedia tra 0/ e il versamento dell’ultima rata. Il fondo in t (=k intera/=k intera + f. frazione) RIMBORSO DI UN PRESTITO TIPOLOGIA 1. RIMBORSO GLOBALE FINALE (solo alla fine: poco utilizzata) 2. RIMBORSO FINALE GLOBALE DEL CAPITALE PAGAMENTO INTERESSI PERIODICO 3. AMMORTAMENTO DEBITO RESIDUO Das È KE Co;ma] QUOTA INTERESSE T:5.% 0 kz=m RATA Ra {E k€ [o;ma] S4T ksm QUOTA DI FONDO Q = 5 e S. d VALORE DEL FONDO IN K Fxs Q- Sa; Ss. Sali Saj ESERCIZIO 1 Compila un piano di ammortamento americano di un prestito di 15.000 euro durata 6 anni, tasso di remunerazione dell'6%, e di costituzione del 5,5% S = 45.000 as js Si5% K| O vk Ik Rx DK Q Fk D- f5 = 45.00 0 » n 15.000 ||2.177,68 x 0 1|3.077,68] sogoolì | 900,00]] 15.000 ||2.177,58 23.077,58 200,00 900,00|| 15.000 || 2.177,58 313.077,68] sog0ofì 900,00]] 15.000 ||2.177,68 4|3077,68] so0,00] sogoof| 15.000 [12.177,58 513.077,68] s00,00f) 900,00]] 15.000 ||2.177,58 6|3.077,58| soo.goll 15.900,00) - ||2.17768 | 45.0 54I 5 45.300 Q-: SS = - 45.000 _ 955 data Sass 4 055 na hi VE Q4T = 242,68 + 900 = 3.034,68 Infine calcolo i valori del fondo ai tempi k K Vk Ik Rk DK Q Fk o l 15.00) 2.177,68 L Far LS 1 3.077,68 900,00 900,00 15.000 2.177,68. | 2.177,68 2 3.077,58 900,00 900,00 15000 2.177,68 | 447514 Faiz Q = 2ana 68 3 3.077,68 900,00 900,00 15.000 2.177,68 6.898,96 4 3.077,68 900,00 900,00 15.009 2.177,68 9.456,08 Fas a Fr 5 3.077,68 900,00 900,00 15.000 2.177,68 12.153,85 Mpss 6 3.077,68 900,00 15.300,00 2.177,68. |15.000,00 Fr: Q- 4,055 -4 0058 4 F 2 . 4,055 -4 a — 0055 n 2 LOSS A £ 4 4ISAA 6.898,69 AMMORTAMENTO FRANCESE Il primo calcolo significativo riguarda dunque la RATA. Nel piano di ammortamento francese le rate formano una rendita a rata costante (per definizione) immediata e posticipata. Siccome agiamo nel regime composto utilizzeremo la formula per il calcolo della rata in una rendita immediata e posticipata. Dividiamo cioè la rata per il fattore attualizzante “a figurato n al tasso i”. Il secondo calcolo riguarda il DEBITO RESIDUO. In ogni istante il debito residuo di un piano di ammortamento riflette l’attualizzazione delle future rate. Poiché all’epoca k ci restano ancora da pagare n-k rate, per calcolare il debito residuo in tale epoca attualizziamo queste rate. Moltiplichiamo cioè l’importo della rata per il fattore “a figurato (n-k) al tasso i” QUOTA CAPITALE NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE Le QUOTE CAPITALI di un ammortamento francese seguono una progressione geometrica con ragione (1+i). Ora senza entrare in angusti dettagli di calcolo o di ragionamento enunciamo questa semplice formula per calcolare una generica quota capitale Ck. Per farlo moltiplichiamo la rata per il fattore unitario di attualizzazione v elevato alla (n-k+1). Questo fattore unitario di attualizzazione v è pari a (1+i)^(-1). Debito residuo (-C) ed estinto (+C) variano in progressione aritmetica di ragione Ek=k∗C Dk=S−k∗C I e R decrescono in progressione aritmetica di ragione -i*C I k+1=I k−i∗C CRITERI DI SCELTA DI INVESTIMENTI 1. Operazione finanziaria; 2. Saldo contabile; 3. Tempo di recupero; 4. REA (risultato economico attualizzato); 5. TIR (tasso interno di rendimento) 1. OPERAZIONE FINANZIARIA È una coppia di vettori (scadenze, capitali) - I capitali possono essere sia positivi che negativi che nulli; - Ci deve essere almeno un costo Ci<0 e un ricavo Cj>0 - Le alternative devono avere la stessa durata e lo stesso investimento iniziale 2. SALDO CONTABILE Somma di tutti i costi e i ricavi fino all’epoca t. 3. PAYBACK Tempo necessario, affinché i ricavi eguaglino/superino i costi. Si sceglie l’investimento con tempo di recupero minore. Criterio che esprime il grado di liquidità dell’investimento. 4. REA Il Risultato Economico Attualizzato (R.E.A.) è un importante criterio di scelta che aiuta a scegliere tra due o più progetti di investimento o finanziamento. Consiste nel calcolare il valore attuale di due o più alternative ad un determinato tasso di interesse. Nell’ipotesi in cui dobbiamo scegliere tra due alternative di investimento attualizziamo i flussi di cassa di questi investimenti e scegliamo il progetto che presenta un REA maggiore. Rappresentiamo la situazione sulla linea del tempo per avere le idee più chiare di quello che sta succedendo: CALCOLI Ora procediamo al calcolo del T.I.R. che chiameremo per comodità semplicemente i. Imponiamo per prima cosa il R.E.A. uguale a zero. Ora facciamo la seguente sostituzione: A questo punto l’equazione diventa: Se dividiamo tutto per 100 e riordiniamo il polinomio di sinistra dalla y di grado maggiore otteniamo la seguente equazione di secondo grado: Applichiamo la formula risolutiva evitando di considerare la soluzione negativa. Ora ricostituiamo la y con il fattore di attualizzazione unitario (1+i)^-1 Per ricavare il T.I.R. eleviamo entrambi i termini alla (-1) e dopo di che sottraiamo 1. Abbiamo ottenuto un T.I.R. del 6,394%. Se dovessimo a disposizione un secondo progetto con T.I.R. dell’8% opteremo per intraprendere quest’ultimo in quanto caratterizzato da un tasso di rendimento maggiore. Nel caso in cui il secondo investimento avesse un T.I.R. minore del 6,394% ad esempio il 5%, saremmo portati a scartarlo in favore del primo progetto.