Scarica Matematica finanziaria Pegaso e più Prove d'esame in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity! UNIVERSITA’ TELEMATICA PEGASO MATEMATICA FINANZIARIA SECS-S/06 6 CFU DOMANDE E RISPOSTE: (a/b)(c/d): =(ac)/(bd) 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+ : …1/(1-1/2) Affinché un portafoglio composto da un attivo x e un passivo y sia immunizzato al tempo zero, è necessario che sia: V(0, x) = V(0, y) e D(0, x) = D(0, y) Al crescere del tasso i, indicare come si comporta il tempo di raddoppio di un capitale: Diminuisce Al fine di realizzare un arbitraggio, la funzione valore a pronti deve seguire necessariamente una legge: Inusuale nella letteratura finanziaria Buoni del Tesoro Poliennali (BTP) Italia: Hanno durata di 4 anni ed interessi maggiori o uguali al tasso di inflazione. Le cedole sono pagate semestralmente e calcolate sul capitare rivalutato in base al tasso di inflazione. Comunque presi tre istanti successivi t,T,s, la funzione valore a termine v(t,T,s): v(t,T,s)=1 Comunque presi tre istanti successivi t,T,s una legge finanziaria scindibile ha la rispettiva funzione valore v: Tale che v(t,T,s)=v(T,s) [manca la t minuscola (indipendente da t)] Con riferimento ad un contratto a pronti descritto dalla funzione v(t,s), l’intensità di rendimento a scadenza h è: – log(v(t,s))/(s – t) Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: Indipendente dalla variabile t Condizione necessaria e sufficiente affinchè una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: indipendente da t; Confrontando una legge a capitalizzazione composta, la struttura per scadenza prevede i seguenti tassi annui: 11%, 12%, 13%. Consideriamo la funzione di utilità che ad ogni importo associa la radice quadrata. In tal caso l'utilità attesa del gioco di San Pietroburgo (con prima vincita possibile pari a 2) è pari a: 2.4142 Consideriamo la funzione z=exp(2x+y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a zero: Per ogni valore di x e y. Consideriamo la funzione z=exp(x+y). La relativa matrice hessiana ha componenti: Tutte pari tra loro. Consideriamo la funzione z=exp(x+y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a: Zero. Consideriamo la funzione z=xexp(y). La relativa matrice hessiana ha componenti sulla diagonale principale: Pari rispettivamente a 0 e xexp(y). Consideriamo la funzione z=xy+exp(x-1)+exp(y-1). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a zero se: X=y=1. Consideriamo la funzione z=xy+exp(y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a: -1. Consideriamo la serie di termine generale a(1)+a(2)+ +a(n); essa è … convergente se: Il limite L della radice n-esima di a(n) è minore di 1 Consideriamo la seguente op. finanziaria X =(x,y), t=(1,2); sia V(X,0) il suo valore all’istante 0 e sia v(a,b) il fattore di sconto tra gli istanti generici a e b. La linearità della funzione valore ci assicura che: V(X,0 )=xv(0.1)+yv(0.2) Consideriamo la seguente operazione finanziaria X =(x,y), t=(1,3); la duration all’istante 1 è paria a: 1 Consideriamo l’operazione finanziaria (aleatoria) V=(2,4,8,16,32,…) p=(2,4,8,16,32,..) L’utilità attesa dall’operazione, in base ad una funzione logaritmica u(V)=log(V), è pari a: 2 log(2) Consideriamo tre titoli a cedola nulla aventi valori pari, rispettivamente, a (90, 8, 35) e scadenze pari, rispettivamente, a (1, 2, 3), a partire da oggi. Inoltre essi garantiscano gli importi pari, rispettivamente, a (100, 10, 50) euro. Confrontando una legge a capitalizzazione composta, la struttura per scadenza prevede i seguenti tassi annui: 11%, 12%, 13% Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi dello stesso grado: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : Al rapporto dei due coefficienti di grado massimo Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di grado maggiore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A + infinito oppure – infinito Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di grado minore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A zero Consideriamo una successione di termine n-esimo a_n, convergente verso un numero a positivo. Allora esisterà un indice k tale che : Se n>k a_n > 0 Consideriamo un'obbligazione acquistata alla pari (ossia tale che il prezzo sia pari al valore di rimborso); in tal caso il tasso interno di rendimento è pari: Al tasso cedolare Consideriamo un’obbligazione acquistata al prezzo C pari al valore di rimborso, con n cedole annue pari a C, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione: un dato è sovrabbondante): C/P Consideriamo un’obbligazione acquistata al prezzo P pari al valore di rimborso con n cedole annue pari a I, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione: un dato è sovrabbondante): I/P; Consideriamo un'obbligazione acquistata al prezzo pari al valore di rimborso R e, inoltre, con n cedole annue, ciascuna di un importo pari a C. In tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione che un dato è sovrabbondante): C/R; pari a: (4,8,6,6) (1,2,3,4); [(3,8,6,9) (1,2,3,5);]? Data l’operazione finanziaria X=(-13,8,7,10), t = (0,1,2,3): Ha sicuramente uno dei suoi tassi internidi rendimento che è nullo Data una funzione f definita in un sottoinsieme X di R e, detti x e y due punti di X, il rapporto incrementale R(x,y) è pari a: (f(y)-f(x))/(y-x) Data una funzione f definita in un sottoinsieme X di R e, detti x e y due punti di X, la sua derivata (in x) è pari: Al limite di R(x,y) al tendere di x a y Data una funzione f definita su un insieme X e sia z un punto di accumulazione per X. Diremo che il limite per x tendente a z di f(x) è pari ad L se : Per ogni intorno J di L esiste un intorno I di z tale che, per ogni x (tranne al più z) appartenente a I, f(x) apparterrà a J Data una funzione f definita su un insieme X e un punto z di accumulazione per X. Diremo che f è continua in z se : F(z) è pari al limite di f per x tendente a z Data una funzione f differenziabile, se s(x,p)= f(x) - f(p) - grad f(p)(x - p), si ha che il limite di s(x,p)/|xp|, per x tendente a p, è pari a: 0. Data una funzione f(x) definita in un sottoinsieme X di R, a valori reali non negativi, l'integrale di f è pari: All'area della regione compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di f(x) Data una legge finanziaria a tre variabili con funzione valore v(t,T,s), l’intensità di rendimento a scadenza è pari a: –log(v(t,T,s))/(s - T); Data una legge di capitale c(t)=Exp 80,5t) dove in generale exp(x) indica il numero e elevato a x) l’intensità istantanea di interesse dopo 3 anni è pari a 0.5 Data una matrice quadrata A (nxn), diremo che il numero b è un autovalore di A se: Esiste un vettore v (nx1) tale che Av=bv. Data una rendita perpetua unitaria anticipata al tasso i, in un regime a capitalizzazione composta, il valore attuale è dato da: (1+i)/i; Data una rendita posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta del 2%, il relativo valore attuale è pari a: 89.826 (8.983?) Data una rendita posticipata perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 0.045% il valore attuale è pari a: 22.22 oppure 1/0.04 Data una rendita posticipata perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 10% il valore attuale è pari a: 10 oppure 1/0.10 Data una rendita unitaria anticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 9.1622 Data una rendita unitaria anticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il montante è pari a: 11.1687 Data una rendita unitaria anticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso generico i, il valore attuale è pari a: (1+ i)/ i Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore è pari a: 8.1358 Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 8.9826 Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il montante è pari a: 10.9497 Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni in un regime a capitale composto al tasso del 2% il montante è pari a: 109.497. Data una rendita unitaria posticipata di 12 anni, in un regime a capitalizz. Comp. al tasso del 2%, il relativo valore attuale è pari a: 10.57534 Data una rendita unitaria posticipata di 13 anni, in un regime a capitalizz. Comp. al tasso del 2%, il relativo valore attuale è pari a: 11.34837 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 45.2865 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 0.045%, il valore attuale è paria a: 22.22 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 1.6%, il valore attuale è pari a: 62.5; Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso generico i, il valore attuale è pari a: 1/ i Data una rendita unitaria posticipata perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 2% il valore attuale è pari a: 50 oppure 1/0.02 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 3%, il valore attuale: 33,33 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 4,7%, il valore attuale è paria a: 21.28 Data un'operazione con valore facciale C, cedola I e durata pari a n anni, la duration è pari a: D(0,I)(V(0,I)/V(0,x)) + nCv(0,n)/V(0,x) Data un'operazione finanziaria che prevede un flusso di n capitali costanti a scadenze annue, valutata secondo una legge esponenziale al tasso anno i, il limite della duration al tendere di n all'infinito è: (1+i)/i Data un’operazione fin. la scadenza media finanziaria (duration) è pari: alla media pesata delle durate delle singole operazioni componenti, con pesi proporz ai valori attuali delle operazioni componenti Data un'operazione finanziaria, la vita a scadenza è pari alla differenza tra: L'ultima scadenza e l'istante di valutazione Data un'operazione fin. la vita a scadenza, la scadenza media aritmetica e la duration, in generale, coincidono se essa: prevede una sola scadenza Data un'operazione fin. se l'istante di valutazione è zero, la scadenza media (aritmetica) è pari alla: media pesata delle scadenze, con pesi proporzionali agli importi relativi alle scadenze Data un'operazione finanziaria valutata (all'istante zero) in funzione dell'intensità istantanea, la convexity è anche data: Alla duration di secondo ordine Data un'operazione finanziaria valutata (all'istante zero) in funzione dell'intensità istantanea, la convessità relativa è anche data: Dall'opposto del rapporto tra la duration del secondo ordine e la duration Data un'operazione finanziaria valutata in funzione dell'intensità istantanea, la variazione relativa è definita come: V'/V Data un'operazione finanziaria valutata in funzione dell'intensità istantanea, la convexity è definita come: V''/V Data un'operazione finanziaria valutata in funzione dell'intensità istantanea, la convessità relativa è definita come: V''/V' Data un'operazione finanziaria x valutata (all'istante zero) in funzione dell'intensità istantanea, la variazione relativa è anche data da: 1/D(0, x). Data un'operazione finanziaria x valutata (all'istante zero) in funzione dell'intensità istantanea, la variazione relativa è anche data da: – D(0, x) ? Data un'operazione finanziaria, la duration del secondo ordine è pari: Alla media pesata dei quadrati delle durate delle singole operazioni componenti, con pesi proporzionali ai valori attuali delle operazioni componenti Data un'operazione finanziaria, la scadenza media finanziaria (duration) è pari alla media: Pesata delle durate delle singole operazioni componenti, con pesi proporzionali ai valori attuali delle operazioni componenti Data un'operazione finanziaria, la vita a scadenza è pari alla differenza tra: L'ultima scadenza e l'istante di valutazione Data un'operazione finanziaria, la vita a scadenza, la scadenza media aritmetica e la duration, in generale, coincidono se essa: Prevede una sola scadenza Data un'operazione finanziaria, se l'istante di valutazione è zero, la scadenza media (aritmetica) è pari alla media: Pesata delle scadenze, con pesi proporzionali agli importi relativi alle scadenze Date due istanti di valutazione differenti t e t', le duration di una stessa operazione finanziaria x sono legate dalla relazione (ammesso che la legge finanziaria sottostante sia scindibile): D(t', x) = D(t, x) + t – t' Date due operazioni di investimento R, e S, il criterio del tasso interno di rendimento dice che R è preferibile ad S se: R ha un tasso interno di rendimento maggiore Date due successioni a_n e b_n convergenti rispettivamente ad a e b. La successione a_n +b_n convergerà a: A+b Date due successioni a_n e b_n convergenti rispettivamente ad a e b. La successione a_nb_n convergerà a: Ab Dati due eventi disgiunti, A e B, la probabilità dell'evento unione è pari a: P(A) + P(B) Dati due investimenti, un operatore che utilizza il criterio media varianza preferisce: Quello con rendimento medio maggiore e varianza minore Dato l'operazione finanziaria (aleatoria)V = (1, 2) p = (1/2, 1/2), l'equivalente certo, secondo la funzione di utilità logaritmica, è pari a: 1.4142 Dato un sottoinsieme X dei numeri reali, un punto è di accumulazione o di aderenza (per X) se: Se in ogni suo intorno cade almeno un punto di X Diremo che il limite per x tendente a più infinito di f(x) è pari a più infinito se : Per ogni M > 0 esiste un numero N tale che, se x > N, allora f(x) > M Due flussi finanziari x (attivo) e y (passivo) si dicono immunizzati se: Hanno stesso valore attuale, stessa duration ed inoltre la convexity di x è maggiore della convexity di y; Exp(3)=: 1+3+9/2+27/3!+… Generalmente nel ramo danni, il rischio, a cui vanno incontro le compagnie, è: Maggiore di quello corrispondente del ramo vita Generalmente, per trovare il tasso interno di rendimento i: Bisogna risolvere un'equazione polinomiale la cui incognita è v = 1/(1+i) Generalmente, per trovare il tasso interno di rendimento i: Il tasso che rende equa un'operazione finanziaria [?] Generalmente, quando si valuta un contratto derivato, si utilizza una funzione valore relativa ad una legge: Esponenziale Gli arbitraggi sono operazioni di compravendita: Con profitto sicuro, non rischiose Gli assi cartesiani sono: Due rette perpendicolari Gli interessi si pagano solo sul capitale effettivamente prelevato e non su quello a disposizione I contratti assicurativi, se non accade l'evento assicurato, hanno rendimento: Negativo I mercati dei capitali trattano strumenti finanziari di durata: Superiore a 12 mesi I mercati over the counter sono: Non regolamentati I mercati privati sono diffusi: Nei paesi anglosassoni I mercati secondari trattano: Titoli già in circolazione I numeri interi si indicano con la lettera: Z I numeri interi: Possono essere anche negativi I prestiti revolving: Prevedono la messa a disposizione di una certa somma (su una carta di credito) che può essere prelevata (intera o in parte) a discrezione del debitore. Gli interessi si pagano solo sul capitale effettivamente prelevato e non su quello a disposizione I prestiti revolving: prevedono la messa a disposizione di una certa somma (su una carta di credito) che può essere prelevata (intera o in parte) a discrezione del debitore. I prezzi delle azioni sono stabiliti: Dalla legge della domanda e dell'offerta I primi tre termini, dello sviluppo in serie della funzione exp(x+y), sono: 1+x+y. Il debito residuo D(k) , all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = (1+i)D(k−1) − R(k), dove R(k) indica la rata pagata all'istante k Il debito residuo D(k) , all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = (1+i)D(k−1) − (1+i)R(k−1), dove R(k) indica la quota capitale pagata all'istante k Il debito residuo D(k), all'istante k, in un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = D(k−1) − C, dove C indica la quota capitale Il determinante di una matrice quadrata, avente due righe identiche è: 00 [0] Il determinante di una matrice quadrata, avente una riga nulla, è: 0 Il determinante di una matrice quadrata: è una somma di più termini: ognuno è il prodotto di elementi in modo che ne siano presi uno per ogni riga e per ogni colonna Il determinante di una matrice triangolare è: Pari al prodotto degli elementi diagonali Il dominio della funzione f(x,y)=1/(x+y) è: L'insieme dei punti del piano privati della retta x=-y. Il dominio della funzione f(x,y)=log(xy) è: L'insieme dei punti del piano appartenenti al primo e al terzo quadrante, privati delle rette x=0 e y=0. Il grafico della funzione esponenziale con base strettamente compresa tra 0 ed 1: Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione logaritmo: Presenta un andamento che dipende dalla base (del logaritmo). Il grafico della funzione potenza con esponente a (0 <a <1 ): Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione potenza con esponente dispari: Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione potenza con esponente pari: È simmetrico rispetto all'asse delle ordinate Il grafico della funzione potenza con esponente strettamente negativo: Presenta un andamento strettamente decrescente Il leasing è un contratto che, in cambio del pagamento di un canone periodico: Consente, di avere la disponibilità di un bene e di esercitare, al termine del contratto, un'opzione di acquisto del bene stesso per una cifra pattuita, inferiore al valore di mercato del bene Il limite, al tendere di x a 1, della funzione f(x) = 3x+4 è: 7 Il limite, al tendere di x a zero, della funzione f(x) = (log(1+x))/x è: 1 Il mercato dei capitali è caratterizzato dal fatto che in esso: Vengono trattati titoli di durata superiore ai 12 mesi; Il montante m(t,s) (t < s) è uguale: Al prodotto dei montanti a termine relativi ai singoli periodi unitari Il numero di Nepero è pari al limite, per n tendente a più infinito, di: 1+1/n elevato ad n Il numero di Nepero è pari alla somma: 1+1/2!+1/3!+1/4!+… Il prodotto della matrice A per la matrice identica I è pari a: A. Il rateo di un'obbligazione è: L'interesse maturato su una cedola in maturazione che non è ancora scaduta Il rendimento di un'obbligazione dipende: Dal tasso di interesse e dal prezzo di acquisto Il rischio di credito: è assente in tutti i mercati finanziari ideali Il risultato del confronto di operazioni mediante il criterio del valore attuale netto: Dipende dal tasso di valutazione scelto Il sistema 4x+2y=4, 2x+y=6: È impossibile Il sistema x+y=4, 2x+y=6: Ha per soluzione x=2, y=2 Il TAEG ( Tasso Annuo Effettivo Globale): è una misura del costo complessivo del finanziamento. Il TAEG è comprensivo di eventuali oneri accessori, quali spese di istruttoria, e spese assicurative, che sono a carico del cliente Il tasso interno di rendimento esiste ed è unico: Se il vettore dei pagamenti presenta una sola variazione di segni Il tasso interno di rendimento NON è (indicare l'affermazione sbagliata): Il tasso medio di crescita dei flussi attivi di un'operazione finanziaria Il termine n esimo di una serie è: Pari alla somma dei primi n termini di una data successione Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 6.1%; l’intensita istantanea di interesse corrispondente e: log(1.061) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizz. comp. al tasso del 6.9%; l’intensità istantanea di interesse corrispondente è pari: 0.06672363 Investo 1 euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7,1%; l’intensità istantanea di interesse corrispondente è pari: log(1.071) Investo 1 Euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7,9%: l’intensità istantanea di interesse corrispondente è: log(1.079) 1+i La condizione da imporre sulle derivate parziali seconde di una funzione f, di due variabili x e y, per avere un massimo è: La derivata seconda di f rispetto ad x deve essere negativa e il determinante dell'hessiano positivo. La convenxity della funzione valore (se quest'ultima è espressa da una legge esp. in funzione dell'intensità istantanea), è definita come: il rapporto tra la derivata seconda della funz. valore e la funzione stessa La derivata della funzione f(x)=xxx è pari a: 3xx La derivata di una funzione f(x) costante è pari a: 0 La derivata parziale della funzione exp(x)log(y) rispetto ad x è pari a: Log(y)exp(x). La derivata parziale della funzione log(x+y) rispetto ad x è pari a: 1/(x+y). La derivata parziale della funzione xlog(y) rispetto ad y è pari a: X/y. La derivata seconda della funzione y=x(x-1)è pari a: 2 La derivata terza della funzione y=3exp(x) è pari a: 3exp(x) La derivata terza della funzione y=exp(x-1) è pari a: Exp(x-1) La duration coincide con la scadenza media aritmetica se: il fattore di sconto è pari ad uno La duration di secondo ordine è una misura di: Dispersione La duration di un portafoglio, valutato all’istante 0 (quindi le scadenze coincidono con le vite a scadenza) è: T La duration di una rendita a rata costante R è: Indipendente dal valore di R; La duration di una rendita, valutata ad un tasso di interesse pari a zero è: Pari alla scadenza media aritmetica; La franchigia è sempre: Minore rispetto al massimale La funzione di risarcimento, in un contratto con franchigia, è: Crescente rispetto al danno La funzione esponenziale con esponente frazionario n/m è pari: Alla radice m-esima della funzione potenza con esponente n La funzione potenza con esponente pari a - 0.5: Assume valori reali solo su numeri positivi La funzione potenza con esponente pari ad 1/2: Assume valori reali solo su numeri positivi La funzione v(t,T,s) deve essere tale che: v(t,T,T) =1 La funzione valore a pronti abbia le seguenti caratteristiche: v(1,4) = 0.1, v(1,6) = 0.2; una delle operazioni seguenti compone una strategia di arbitraggio consiste in: Acquisto, in t =1 del TCN unitario con scadenza all’istante 4 La funzione valore a pronti v(t, s) deve essere tale che: v(t, t) = 1 La funzione valore a termine v(t,T,s) deve essere tale che: v(T,T,s) = v(T,s) La legge dello sconto commerciale afferma che, se k è una costante positiva: v(t,s) = 1 – k(s – t) La legge di capitalizzazione esponenziale è molto usata perché: Le principali grandezze finanziarie, ricavate a partire da essa, assumono una forma relativamente semplice La legge esponenziale: È scindibile ed uniforme La legge v(t,s) = exp(0.5(s× s – t× t)) ha intensità istantanea di interesse pari a: S La matrice hessiana di una funzione ha per elementi: Le derivate parziali seconde della funzione La molteplicità algebrica è sempre: Maggiore o uguale a quella geometrica. La norma del vettore (2, 2, 1) è: 3. La norma di un punto è sempre: Maggiore o uguale a zero. La prima quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i; è pari: Al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento); La probabilità di un evento può essere definita come: Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili La proprietà di indipendenza dall'importo può essere rappresentata dall'identità: V(t,x) = xv(t,s) La proprietà di uniformità nel tempo afferma che: t ≤ T ≤ s => v(t + a,T +a, s+a) = v(t,T , s) La quota capitale all'istante (n − 1), in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti), di durata pari ad n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: Alla rata La quota capitale all'istante 0, in un piano di ammortamento (a rate annue anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: Al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) La quota capitale all'istante 1, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, si può anche esprimere come: Il prodotto tra la rata e il fattore di sconto relativo ad una durata pari a quella dell'ammortamento diminuita di un anno La quota capitale all'istante 1, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) La quota capitale all'istante 1, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, si può anche esprimere come: il prodotto tra la rata e il fattore di sconto relativo ad una durata pari a quella dell'ammortamento LA QUOTA CAPITALE ALL'ISTANTE 1, IN UN PIANO DI AMMORTAMENTO (A RATE ANNUE COSTANTI POSTICIPATE) IN UN REGIME A CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA AL TASSO ANNUO I, È PARI: al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) La quota capitale C(k), all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: C(k) = D(k−1) − D(k), dove D(k) indica il debito residuo all'istante k La quota capitale C(k), all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: C(k) = D(k) − D(k+1), dove D(k) indica il debito residuo all'istante k La quota capitale C, in un piano di ammortamento rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: C = D(0)/n, dove D(k) indica il debito residuo all'istante k e n è il numero di anni pari alla durata dell'ammortamento La quota capitale finale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al prodotto della rata per il fattore di sconto 1/(1+i) La quota capitale, al k-esimo anno, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, all'istante k è pari: Al prodotto del fattore montante (1+i) per la quota capitale dell'anno precedente La quota capitale, al k-esimo anno, in un piano di ammortamento (a rate annue anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, all'istante k è pari: Al prodotto del fattore montante (1+i) per la quota capitale dell'anno precedente La quota capitale, in una determinata scadenza in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta è uguale: Al rapporto tra la quota capitale dell’anno precedente ed il fattore di sconto; La quota capitale in una determinata scadenza in un piano di ammortamento a rate annue costanti posticipate, in un regime a capitalizzazione composta è uguale: al prodotto del fattore di sconto per la quota capitale dell’anno precedente La quota capitale in una determinata scadenza in un piano di ammortamento a rate annue costanti posticipate in un regime a capitalizzazione composta è uguale: alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’anno successivo (D(k)-D(k+1) La quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: crescente nel tempo La quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: Crescente nel tempo La quota interessi, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: decrescente nel tempo La quota interessi, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: Decrescente nel tempo La rata, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: Al rapporto tra il debito iniziale e il valore attuale di una rendita unitaria anticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) La rata, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al rapporto tra il debito iniziale e il valore attuale di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell\'ammortamento) La scritta ]a, b[ indica l'insieme dei numeri: Strettamente maggiori di a e strettamente minori di b La serie di termine generale 1/exp(1)+2/exp(2)+ +n/exp(n) è: … Convergente La serie di termine generale 1-1/2+1/3-1/4+1/5 è: … Condizionatamente convergente La struttura per scadenza implicita, comporta che (t < s): I(t,s − 1,s) =v(t,s − 1)/ v(t,s) – 1 La struttura per scadenza implicita, comporta, per la funzione valore, che (t < s): V(t,s − 1,s) = v(t,s) /v(t,s − 1) La successione di termine generale (n+1)/n tende a: 1 La successione di termine generale (n+3)/n tende a: 1 La successione di termine generale 1/n tende a: 0 La teoria della preferenza per la liquidità afferma che: Il mercato richiede un compenso (premio di liquidità) per la detenzione di titoli con scadenza più lunga, giudicati più rischiosi Lanciamo una moneta. Se esce testa (la relativa probabilità è 0.5) intaschiamo 2 euro, se esce croce intaschiamo 0 euro. Il valore atteso della vincita è pari a: 1 Lanciamo una moneta. Se esce testa (la relativa probabilità è 0.5) intaschiamo 2 euro, se esce croce intaschiamo 0 euro. La varianza della vincita è pari a: 1 L'area della regione compresa tra l'asse x e la curva y = x, tra l'origine e la retta x=3, è pari a: 4.5 L'assicurazione RC professionale protegge l'assicurato contro: Gli eventuali errori (accidentali) commessi durante l'attività lavorativa Le assicurazioni contro i danni in genere hanno durata: Annuale Le obbligazioni: Sono soggette al rischio di credito L’equivalente certo è: La vincita certa avente utilità pari all’utilità attesa dalla lotteria; L'insieme Q dei numeri razionali è formato da: Tutte le coppie del tipo a/b, con a e b numeri interi (b diverso da zero) L’intensità istantanea di interesse, relativa allo legge v(t,s) = 1 − k(s − t), è: K/(1 − k(s − t)) L'integrale della funzione f(x)=(x+5)/(x+1)) è pari a: X + 4log|x+1| L'integrale della funzione f(x)=1/((x+1)(x+2)) è pari a: Log|x+1|-log|x+2| L'integrale indefinito della funzione f(x)=1/x è pari a: Log(x) L'integrale indefinito della funzione f(x)=exp(a+x) è pari a: Exp(a+x) L'integrale indefinito della funzione f(x)=exp(ax) è pari a: Exp(ax)/a L'integrale indefinito della funzione f(x)=log(x) è pari a: Xlog(x)-x L'integrale indefinito della funzione f(x)=log(x)/x è pari a: Log(x)log(x)/2 L'integrale indefinito della funzione f(x)=xexp(x) è pari a: Xexp(x)-exp(x) L'integrale indefinito di f'(x) g(x) è pari a: F(x)g(x) meno l'integrale di f(x)g'(x) L'intensità istantanea di interesse, relativa alla legge v(t,s) = 1 − K(s − t), è: K/(1 − K(s − t)). L'interesse rappresenta: Un guadagno per chi ha prestato un certo capitale L'inversa B di una matrice A è una matrice tale che: AB=BA=I, dove I è la matrice identica. L'inversa di una matrice A è pari: Alla trasposta della matrice dei cofattori divisa per il determinante di A. L'ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine afferma che: t ≤ T ≤ s => v(t,T) v(t,T,s) = v(t,s) L'ipotesi della preferenza per la liquidità implica che: I titoli di durata più lunga siano considerati i più rischiosi; Lo sconto è anche detto: Interesse anticipato Lo sviluppo in serie di f(x)=exp(2x) arrestato ai primi due termini è: 1+2x Lo sviluppo in serie di f(x)=xexp(x) arrestato ai primi due termini è: X+xx Log(1)=: 0 L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, –2, –2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente equa: Se l'intensità istantanea di interesse è pari a zero L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, 2, 2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente non equa: Per qualunque valore dell'intensità istantanea L'operazione finanziaria x = (‒ 4, ‒ 6, 10), t= (1, 2, 3): Ha sicuramente uno dei suoi tassi interni di rendimento che è nullo L'operazione finanziaria x = (4, 6, 10), t= (1, 2, 3): Ha tassi interni di rendimento immaginari L’operazione finanziaria x=(13,8,10,7) t= (0 1 2 3): ha sicuramente uno dei suoi tassi di rendimento interno che è nullo L'ultima quota capitale versata dal debitore in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari: Al rapporto tra la rata ed il fattore montante oppure al prodotto tra la rata e il fattore di sconto (rata x fattore di sconto) L’ultima quota capitale non nulla in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti), di durata pari ad n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: Alla rata; Nel caso di contratti a termine (tre variabili), l’intensità di rendimento a scadenza h(t,T,s) è (t < T < s): – log(v(t,T,s))/(s – T) Nel caso di contratti a termine (tre variabili), l’intensità di rendimento a scadenza h(t,T,s) è: (t –log(v(t,T,s))/(s – T). Nel caso l'operazione finanziaria sia un finanziamento, il tasso interno di rendimento: E’ interpretabile come un tasso di costo Nel software R, il comando per trovare un autovettore di A è: >eigen(A). Nell’ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termime, la proprietà si scindibilità può essere espressa anche come: t ≤ T ≤ s => v(t,T,s) = v(T,s) Nella legge di capitalizzazione semplice, indicare che caratteristica ha l'incremento del capitale: Dipende dal capitale iniziale, dal tasso scelto e dal tempo Nell'assicurazione di annualità, un individuo: Si assicura affinché, in caso di decesso, la compagnia assicurativa si impegni a corrispondere le rimanenti rate di un certo debito Per applicare il criterio del rapporto ad una serie bisogna assicurarsi che: La successione originaria abbia termini tutti positivi da un certo indice in poi Per calcolare l'area del grafico sotteso da una funzione tra i punti a e b bisogna: Trovare una funzione F la cui derivata è f e poi calcolare la differenza F(b) F( a ) Per evitare arbitraggi non rischiosi, la funzione valore a pronti v(t,s) deve essere: Decrescente rispetto alla scadenza s Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. Il fattore montante, relativo a questa operazione è: S/C Presto un capitale pari a X e mi viene restituita una cifra Y; il tasso di interesse, relativo a questa operazione e: (Y-X)/X Presto un capitale pari ad a e mi viene restituita una cifra b. Il tasso di interesse, relativo a questa operazione, è: (b-a)/a; segmento di scadenze, ma sono disposti ad uscire da questo “habitat preferito" se i titoli di un altro segmento offrono un adeguato rendimento aggiuntivo Si consideri la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4; l'intensità istantanea di interesse corrispondente su base semestrale è pari a: 0.2 Si dice che a è un punto di minimo relativo per f: A -> R se: Esiste un intorno I di a, tale che per ogni x appartenente ad A ed I, f (x) è maggiore o uguale ad f(a). Si dice che un autovalore b* della matrice A ha molteplicità algebrica a se il polinomio caratteristico det (A: Può essere diviso per (b. Sia A la matrice dei coefficienti delle incognite di un sistema lineare. Se Det(A)=0 il sistema: È indeterminato o impossibile Sia f una funzione ad n variabili definita in un insieme I. Sia p un punto interno ad I e supponiamo che f sia continua assieme alle sue derivate prime e seconde in un intorno di p e che in tale punto si annulli il gradiente. Sia infine H la matrice hessiana di f in p. Si ha allora: Se gli autovalori di H sono tutti (strettamente) positivi, p è un punto di minimo relativo Sia f(x) una funzione continua in [a,b]: sia F(t) la relativa funzione integrale: per ogni i in [a,b], si ha: F'(t)=f(t) Sia f: A -> R una funzione dotata di derivate parziali prime in ogni punto di A. Sia a un punto interno ad A; sia inoltre a estremante per f. Allora possiamo dedurre che: Grad f(a)=0. Sia V(t,T,x) = valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l’importo x in s. Se fosse V(t,T,x): Di cui il primo e l'ultimo sarebbero nulli Sia V(t,T,x) = valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l’importo x in s. Se fosse V(t,T,x) < xv(t,T,s) (t < T < s), la strategia di arbitraggio genererebbe un flusso di importi: Di cui il primo e l'ultimo sarebbero nulli Sia V(t,T,x) il valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l’importo x in s. Se fosse V(t,T,x) < xv(t,T,s) (t < T < s), una delle operazioni che compone la strategia di arbitraggio è: Vendita in t (allo scoperto), per consegna in T, di x unità del TCN unitario con scadenza in s Siano t l'istante di acquisto del titolo, t +1 l\'istante di rimborso o di rivendita del titolo v il valore di rimborso del titolo e p il prezzo di acquisto del titolo. Il rendimento è: (v(t +1) − p(t))/p(t) Storicamente, la scoperta dei numeri reali si deve: A Pitagora Supponendo nota C(t + 1), la quota capitale C(t) nell’anno precedente, in un piano di ammort (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta (al tasso i), è uguale a: C(t + 1)/(1 + i) Supponiamo che il valore attuale di un titolo X sia minore del valore di una combinazione lineare di TCN aventi le stesse scadenze degli importi relativi ad X. In tal caso, per compiere un arbitraggio, una delle operazioni consiste in: Acquistare un titolo che garantisce il flusso di importi X Supponiamo che una funzione abbia derivate parziali in un intorno I del punto p e che queste siano continue in p. Allora sicuramente la funzione è: Differenziabile. Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a quote capitali costanti posticipate al tasso annuo i . Il numero minimo di annualità, in maniera che, però, la rata non superi una certa cifra R*, è: S/(R* ‒ iS) Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a quote capitali costanti posticipate per un certo numero di annualità n. Il tasso di interesse (annuo) massimo, in maniera che, però, la rata non superi una certa cifra R*, è: (R* ‒ S/n)/S Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a quote capitali costanti posticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, in maniera che, però, la rata non superi una certa cifra R*, è: S/(R* - iS). Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a rate annue (eque) costanti posticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R*, è: log((R*−Si)/R*)/log(1/(1+i)) Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a rate annue (eque) costanti anticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R*, è: Log((R*−Si/(1+i))/R*)/log(1/(1+i)) Teoria dei mercati segmentati (Culbertson, 1957) afferma che: Gli investitori scelgono di detenere titoli appartenenti ad un segmento dell'asse delle scadenze, senza tenere conto dei prezzi degli altri titoli Tra gli organi di vigilanza delle compagnie assicurative non c'è: La SNAI Tra le funzioni omogenee (di grado maggiore di zero) c'è: La funzione lineare. Tra le leggi finanziarie scindibili annoveriamo: La legge esponenziale Tutti gli operatori di un marcato finanziario ideale sono necessariamente: Massimizzatori del profitto Un arbitraggio è: Un’operazione di compra-vendita non rischiosa che garantisce un profitto positivo; Un contratto derivato è: Un contratto scritto su un bene sottostante Un contratto forward stipulato in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t <T) pari a: V(t,T)(S(T) – K) Un contratto forward stipulato in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t V(t,T)(S(T) – K). Un esempio di arbitraggio è: X=(1,3,4) t=(1,2,4) Un esempio di funzione di sconto v(t,s) è uniforme, è dato da v(t,s)=: = 1/exp(s – t) Un funzionale lineare F è una funzione che ad ogni vettore numerico v associa un numero reale tale che per ogni vettore numerico v, w: F(v + w) = F(v ) + F(w). Un mercato Over the Counter (otc): è caratterizzato dall’assenza di uno specifico regolamento Un paese l'anno scorso ha realizzato un PIL pari a 200 miliardi di euro. Quest'anno il PIL è stato pari a 160 miliardi. Possiamo dire che il tasso di crescita è: Negativo Una funzione continua in un insieme chiuso e limitato: E' dotata di minimo e massimo. Una funzione di sconto v(t,s) è uniforme se: Dipende solo da s – t Una funzione è: Una corrispondenza che ad ogni numero (appartenente ad un opportuno sottoinsieme dei numeri reali) associa uno ed un solo numero reale Una funzione f, definita su un sottoinsieme X dei numeri reali, viene detta continua in un punto x se : Per ogni intorno J di f(x) esiste un intorno I di x tale che, se x appartiene a I, allora f(x) appartiene a J. Una funzione, definita in un intervallo I di R, è detta differenziabile in un punto p se: Esiste una costante A (dipendente da p), tale che il limite, per x tendente a p, di (f(x)-f(p)-A(p)(x-p) ) / |x-p| è pari a 0 Una legge finanziaria è scindibile se, indicato con v il rispettivo fattore di sconto, comunque presi gli istanti: si ha v(a,c)= v(ab)v(bc) Una legge finanziaria è scindibile, se, indicato con v il rispettivo valore attuale: Per ogni istante a, b, c, con a < b < c, si ha v(a,c)=v(a,b)v(b,c) Una matrice di nxm elementi è: Una tabella formata da n righe: in ogni riga ci sono m numeri Una matrice è detta quadrata se: Il numero di righe è pari al numero di colonne Una misura m di un piano (cartesiano) è: Una funzione che ad ogni sottoinsieme associa un numero non negativo Una rendita è un operazione finanziaria: In cui tutti gli importi sono positivi Una serie alternante: Converge se il termine n-esimo, della successione generante, tende a 0 Una serie è assolutamente convergente se: La serie dei valori assoluti della successione generante è convergente Una successione di termine generale a_n tende ad L se : Per ogni ϵ > 0 esiste un indice k tale che, se n > k, allora | a_n – L | < ε Un'operazione finanziaria è equa se: Il suo valore in un determinato istante è nullo Un’operazione finanziaria può essere rappresentata: con 2 vettori aventi lo stesso numero di elementi Un'operazione finanziaria si rappresenta con: Due vettori della stessa grandezza Un’opzione call è un contratto finanziario tale che: Concede al possessore la facoltà di acquistare un determinato bene; Un'opzione call, stipulata in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t <T): maggiore o pari a max (v(t,T)(S(T) – K),0). Un'opzione call, stipulata in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0< t <T): Max(v(t,T)(S(T) – K),0) Un’opzione put è un contratto finanziario tale che: concede al possessore la facoltà di cedere un determinato bene Valutare una rendita posticipata unitaria di n anni frazionata in k unità all'anno: Equivale a valutare una rendita posticipata di nk rate di importo pari a 1/k Vogliamo rimborsare un capitale prestato P con un piano a rate annue interesse corrispondente è: Log((X- Pi/ (1+i))/X/Log.1/(1+i)) Vogliamo rimborsare un capitale prestato P con un piano a rate annue (eque) costanti anticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra X, è: Log((X- Pi/(1+i))/X)/Log(1/(1+i)); MATEMATICA FINANZIARIA: 1) Condizione necessaria e sufficiente affinchè una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: A. indipendente da s; B. indipendente da t – s; C. indipendente da t; D. indipendente da t+s; 2) Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante t. La sua duration, riferita all’istante T è: A. t -T; B. T - t; C. (T – t)/2; D. T; 3) Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante T. La sua duration, riferita all’istante t, è: A. t-T; B. T-t; C. (T-t)/2; D. T; 4) Consideriamo un'obbligazione acquistata al prezzo pari al valore di rimborso R e, inoltre, con n cedole annue, ciascuna di un importo pari a C. In tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione che un dato è sovrabbondante): A. n/R; B. R/C; C. n/C; D. C/R; 5) Consideriamo un’obbligazione acquistata al prezzo P pari al valore di rimborso con n cedole annue pari a I, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione: un dato è sovrabbondante): A. P/I; B. n/P; C. ni; D. I/P; 6) Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V=(1,3),p=(0.5,0.5), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a: A. V=(1,4) p=(1/2, 1/2); B. V=(3,1) p=(3/4, 1/4); C. V=(3,1) p=(4/5, 1/5); D. V=(1,3) p=(3/4, 1/4); 7) Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V=(6,2), p=(0.5,0.5), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a: A. V=(2,10) p=(1/2, 1/2); B. V=(2,6) p=(3/4, 1/4); C. V=(6,2) p=(5/6, 1/6); D. V=(6,2) p=(3/4, 1/4); 8) Data l’operazione finanziaria X=(2,4,6), t=(1,2,3) e l’operazione Y=(1,4,9) t=(1,2,5), l’operazione somma S è pari a: A. (4,8,12) (1,2,4); B. (4,8,12) (1,2,3); 25) In un piano di ammortamento a rate anticipate in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, la quota capitale C(k) al generico istante k, è pari: A. Alla differenza tra il debito relativo a k+1 e il debito in k; B. Alla somma tra il debito relativo all’istante k+1 e il debito in k; C. Al debito relativo all’istante k+1; D. Alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’istante k+1; 26) In un piano di ammortamento composto da n rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta a tasso annuo i; la relativa quota capitale è pari: A. Alla rata; B. Al rapporto tra il debito iniziale ed n; C. Al rapporto tra il rata iniziale ed n; D. Al prodotto tra il debito iniziale ed n; 27) In un piano di ammortamento, a rate annue (eque) costanti posticipate al tasso annuo i, di una somma prestata P, il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R* è: A. Log(1 – Pi/R*)/Log(1+i); B. Log(i – P/R*)/Log(1+i); C. Log(1 - Pi/R*)/log(1/(1+i)) ; D. Log(R* – Pi)/Log(1/(1+i)); 28) In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario affinché il mio debito venga raddoppiato è: A. Log(2)/(1+i); B. Log(2)+log(1+i); C. (1+i)/log(2); D. Log(2)/log(1+i); 29) In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 10%, presto un capitale pari a 2500euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, è: A. 3002,5; B. 3025; C. 10000; D. 3000; 30) In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 15% prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario affinche il mio debito venga raddoppiato e: A. log(2)/log(1.15) B. 1/0,15 ovvero piu di 6 anni 1/i=1/0,15=6,666 C. log(2)/1.15 D. 1.15/log(2) 31) In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 37%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: A. log(2)/1.37; B. log(2)/log(1.37); C. 1.37/log(2); D. 1/0.37; 32) In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 5%, presto un capitale pari a 1000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, è: A. 10000; B. 1100; C. 1102.5; D. 53010.4; 33) Investo un capitale all’istante t=20; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: A. All’istante t=21; B. All’istante t=22; C. Al tendere di t all’infinito; D. All’istante t=20.5; 34) Investo un capitale all’istante t=360; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all’istante t=361 A. All’istante t=362; B. All’istante t=361; C. All’istante t=362.5; D. Al tendere di t all’infinito; 35) Investo un capitale all’istante t=50, le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: A. All’istante t=50.5; B. All’istante t=51; C. All’istante t=52; D. Al tendere di t all’infinito; 36) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 0.91%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: A. log(1.091); B. 1+log(1.91); C. log(1.0091); D. 1/log(1.0091); 37) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 6.1%; l’intensita istantanea di interesse corrispondente e: A. log(1.061) B. log(1.61) C. 1/log(1.061) D. 1+log(1.61) 38) L’equivalente certo è: A. Il valore minimo della vincita di una lotteria; B. L’unica vincita certa di valore pari all’unità attesa dalla lotteria; C. La vincita certa avente utilità pari all’utilità attesa dalla lotteria; D. Il valore medio della vincita di una lotteria; 39) L'ipotesi della preferenza per la liquidità implica che: A. I titoli di durata più lunga siano considerati i più rischiosi; B. Il mercato ammetta la presenza di operazioni di arbitraggio; C. Nel mercato non sia possibile la presenza di operazioni di arbitraggio; D. I titoli di durata più breve siano considerati i più rischiosi; 40) L'ultima quota capitale versata dal debitore in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari: A. Al rapporto tra la rata ed il fattore di sconto B. Al prodotto della rata per il tasso annuo di interesse C. Al rapporto tra debito iniziale e il valore attuale di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento) D. Al rapporto tra la rata ed il fattore montante 41) L’ultima quota capitale non nulla in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti), di durata pari ad n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: A. Al rapporto tra la cifra prestata e il valore attuale di una rendita unitaria anticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento); B. Alla rata; C. Alla cifra prestata; D. A zero; 42) La duration di una rendita a rata costante R è: A. Indipendente dall’ultima scadenza; B. Indipendente dal tasso di interesse; C. Indipendente dal suo valore attuale; D. Indipendente dal valore di R; 43) La duration di una rendita, valutata ad un tasso di interesse pari a zero è: A. Sempre pari a zero, qualunque siano gli importi della rendita; B. Infinita; C. Pari alla scadenza media aritmetica; D. Sempre pari a uno, qualunque siano gli importi della rendita; 44) La prima quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i; è pari: A. Al rapporto tra il debito finale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento); B. Al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento); C. Al prodotto tra il debito finale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento); D. Al debito iniziale 45) La quota capitale, in una determinata scadenza in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta è uguale: A. Alla quota capitale dell’anno precedente; B. Al prodotto del fattore di sconto per la quota capitale dell’anno precedente; C. Al rapporto tra la quota capitale dell’anno precedente ed il fattore di sconto; D. Al prodotto del tasso di interesse annuo per la quota capitale dell’anno precedente; 46) Presto un capitale pari a 8000 euro e mi viene restituita una cifra pari a 10000. Il fattore di sconto, relativo a questa operazione è: A. 2000 euro B. 0.2; C. 0.8; D. 1.25; 47) Presto un capitale pari a 8000 euro e mi viene restituita una cifra pari a 20000. Il fattore di sconto, relativo a questa operazione è: A. 0.6 B. 0.4 C. 1.20 D. 12000 48) Presto un capitale pari a X e mi viene restituita una cifra Y; il tasso di interesse, relativo a questa operazione e: A. 1/(Y-X) B. (Y-X)/X C. Y-X lOMoAR cPSD|6130900 D. Dipende solo da s; 64) Vogliamo rimborsare un capitale prestato P con un piano a rate annue (eque) costanti anticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra X, è: A. Log((X-Pi/(1+i))/X)/Log(1/(1+i)); B. Log((X-Pi/(1+i))/X)/Log(1+1/i); C. Log((X-Pi/(1+i))/X)/Log(1+i); D. Log((X-Pi/X)/Log(1+i); L’attività di agenzia nei servizi di pagamento può essere esercitata al di fuori dei locali commerciali? No quando il servizio prestato comporta l’acquisizione dal cliente di denaro o altri mezzi di pagamento Corretto Quale tra le seguenti lOMoAR cPSD|6130900 affermazioni è vera? Non costituisce esercizio di agenzia in attività finanziaria la promozione e il collocamento di contratti relativi alla concessione di finanziamenti sotto qualsiasi forma da parte degli agenti di assicurazione iscritti nel relativo Registro, su mandato diretto di banche ed intermediari finanziari Corretto L'agente in attività finanziaria Tizio si avvale del collaboratore Caio per il contatto con il pubblico. In tal caso Caio: Deve essere necessariamente lOMoAR cPSD|6130900 iscritto nell'elenco degli agenti in attività finanziaria Corretto Le linee di business retail e commercial banking in Italia Possono essere svolte da un’unica banca o da banche specializzate Corretto Con riferimento alla gestione degli elenchi degli agenti in attività finanziaria e dei mediatori creditizi, la Banca d’Italia: Non procede né alle iscrizioni né al diniego delle iscrizioni negli elenchi Corretto lOMoAR cPSD|6130900 fatto che il termine del contratto tende a coincidere con la durata della vita economica del bene Corretto Un cliente che richiede un'apertura di credito in conto corrente ha diritto ad essere assistito dalla propria banca, ciò significa che: La banca deve fornire al cliente le informazioni relative al prodotto, chiarimenti adeguati a comprendere gli effetti sul proprio bilancio e le conseguenze della mancata restituzione del finanziamento Corretto L’intermediario del credito lOMoAR cPSD|6130900 di cui il consumatore si avvalga per richiedere un prestito contro cessione del quinto: Deve fornire il prospetto “Informazioni europee di base sul credito ai consumatori” prima che il consumatore sia vincolato da un contratto di credito o da una proposta irrevocabile Corretto Oltre agli altri beni indicati dalla legge, possono essere dati in pegno: crediti e universalità di mobili Corretto In quali dei casi di seguito elencati i finanziatori sono lOMoAR cPSD|6130900 tenuti a fornire al cliente comunicazioni periodiche relative allo svolgimento del rapporto Un contratto di apertura di credito in conto corrente a revoca Corretto Nei contratti a tempo indeterminato può essere convenuta la facoltà di modificare unilateralmente tassi, prezzi ed altre condizioni? Si ma, tra le altre cose, deve sussistere un giustificato motivo Corretto lOMoAR cPSD|6130900 spese sono indicate separatamente Corretto Ai sensi del Testo Unico Bancario, le banche e gli istituti di moneta elettronica possono avvalersi di soggetti terzi per la distribuzione e il rimborso della moneta elettronica? Le banche e gli istituti di moneta elettronica possono avvalersi di soggetti convenzionati che agiscano in loro nome per la distribuzione e il rimborso della moneta elettronica Corretto lOMoAR cPSD|6130900 DOMANDE DI MATEMATICA FINANZIARIA USCITE NEGLI APPELLI IN ORDINE ALFABETICO N.B. Le domande evidenziate di Blu sono le ultime uscite Comunque presi tre istanti successivi, t,T,s, la funzione valore a Deve avere la seguente proprietà v(t,T,s) = 1; Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: indipendente da t; Consideriamo l’operazione finanziaria (aleatoria) V=(2,4,8,16,32,…) p=2,4,8,16,32,..) L’utilità attesa dall’operazione, in base ad una funzione logaritmica u(V)=log(V), è pari a: 2 log(2); Consideriamo la seguente operazione finanziaria X =(x,y), t=(1,2); sia V(X,0) il suo valore all’istante 0 e sia v(a,b) il fattore di sconto tra gli istanti generici a e b. La linearità della funzione valore ci assicura che: V(X,0)=xv(0.1) + yv(0.2); Consideriamo la seguente operazione finanziaria X =(x,y), t=(1,3); la duration all’istante 1 è paria a: 1; Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante t. La sua duration, riferita all’istante T, è: t - T; Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante T. La sua duration, riferita all’istante t, è: T - t; Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante T>0. La sua duration, riferita ad un altro istante t<T, è: T - t; Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante T>0. La sua duration, riferita allo stesso istante T, è: 0; lOMoAR cPSD|6130900 Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante T>0. La sua posta sempre uguale ad S all’istante T>t. la sua duration, riferita all’istante 0, è: (T + t)/2; Consideriamo un'obbligazione acquistata al prezzo C pari al valore di rimborso, con n cedole annue pari a C, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione: un dato è sovrabbondante): C/P; Consideriamo un'obbligazione acquistata al prezzo pari al valore di rimborso R, e inoltre,con n cedole annue, ciascuna di un importo pari a C, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione: un dato è sovrabbondante): C/R; Consideriamo un'obbligazione acquistata al prezzo P pari al valore di rimborso con n cedole annue pari a I, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione: un dato è sovrabbondante): I/P; Data l’operazione finanziaria X = (-13,8,7,10), t = (0,1,2,3): Ha sicuramente uno dei suoi tassi internidi rendimento che è nullo; Data l’operazione finanziaria X = (2,4,6), t = (1,2,3) e l’operazione Y = (1,4,9), t = (1,2,5), l’operazione somma S è pari a: (3,8,6,9,) (1,2,3,5; Data l’operazione finanziaria X = (2,4,6), t = (1,2,3) e l’operazione Y = (2,4,6), t = (1,2,4), l’operazione somma S è pari a: (4,8,6,6,) (1,2,3,4); Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V=(1, 3), p=(0.5, 0.5), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a: V=(1,3) p=(3/4, 1/4); lOMoAR cPSD|6130900 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 3%, il valore attuale è paria a: 33.33; Formula: 1/,0,03 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 4,5%, il valore attuale è paria a: 22.22; Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 4,7%, il valore attuale è paria a: 21.28; Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, il valore attuale è paria a: 1/(1+i); Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 50; Formula: 1/0,02 Due flussi finanziari x (attivo) e y (passivo) si dicono immunizzati se: hanno stesso valore attuale, stessa duration ed inoltre la convexity di x è maggiore della convexity di y; Il mercato dei capitali è caratterizzato dal fatto che in esso: Vengono trattati titoli di durata superiore ai 12 mesi; Il rischio di credito: è assente in tutti i mercati finanziari ideali; Il valore atteso del gioco di San Pietroburgo è: .+infinito; In genere, il flusso di importi che riceve il possessore di un’obbligazione, pagata una cifra P, con la cedola C e valore di rimborso R, è: ( – P,C,C,C,…,C,C+R); In genere, l’importo, relativo all’ultimo pagamento, previsto da un’obbligazione con cedola C e valore di rimborso R, è: R + C; In genere, l’importo, relativo all’ultimo pagamento, previsto da un’obbligazione, è: il maggiore di tutti gli importi; lOMoAR cPSD|6130900 In genere, la legge esponenziale è usata perché: Le corrispondenti grandezze assumono una forma alquanto semplice; In genere, l'importo, relativo all'ultimo pagamento, previsto dall'obbligazione con cedola I e valore di rimborso C, è: I + C; In prima approssimazione, se i è piccolo, log(1+i) è approssimativamente uguale a: i; In prima approssimazione, se x è piccolo, Exp(x) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero che elevato ad x) è paria a: 1+x; In un mercato finanziario ideale: Non ci sono costi per le transazioni, né tassazioni; In un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, il debito residuo D(k) al generico istante k, è dato dalla seguente formula: D(k) = S – kC, dove S è il capitale prestato e C è la quota capitale; In un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime di capitalizzazione composta, il debito residuo D(k) è pari a zero nell’istante k: .= S - C, dove S è il capitale prestato e C è la quota capitale;A44 In un piano di ammortamento a rate anticipate in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, la quota capitale C(k) al generico istante k, è pari: alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’istante k+1; In un piano di ammortamento composto da n rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta a tasso annuo i; la relativa quota capitale è pari: al rapporto tra il debito iniziale ed n; In un piano di ammortamento, a rate annue (eque) costanti posticipate al tasso annuo i, di una somma prestata P, il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R*, é: Log(1 – Pi/R*)/Log(1/(1+i)); lOMoAR cPSD|6130900 In un piano di ammortamento, di una somma S, composto da n rate annue posticipate (la quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, la relativa rata (al generico istante k) è pari a: S(1+i(n – k + 1 ))/n; In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: Log(2)/log(1+i); In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo pari al 2%, presto un capitale pari a 1200 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 5 anni, è: Pari a 1324.90 euro; Formula:1200*(1+0,02)^5=1200*(1,02)^5=1324,89 In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo pari al 5%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: log(2)/log(1.05); In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo pari al 7%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: log(2)/log(1.07); In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo paria al 2%, prestito un certo capitale paria a 1000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 3 anni è: Un po’ superiore a 1060 euro; In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 1.2%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: 1/0.12; In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 15%, prendo in prestito un certo capitale.Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: 1/0.15; lOMoAR cPSD|6130900 Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7.9%; l’intensità istantanea di interesse corrispondente è pari: log(1.079); L’equivalente certo è: La vincita certa avente utilità pari all’utilità attesa dalla L’ipotesi della preferenza per la liquidità implica che: I titoli di durata più lunga siano considerati i più rischiosi; L’ultima quota capitale non nulla, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti), di durata pari ad n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: alla rate; L’ultima quota capitale versata dal debitore, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al rapporto tra la rata e il fattore montante; La convenxity della funzione valore (se quest'ultima è espressa da una legge esponenziale in funzione dell'intensità istantanea), è definita come: il rapporto tra la derivata seconda della funzione valore e la funzione stessa; La duration coincide con la scadenza media aritmetica se: il fattore di sconto è pari ad uno; La duration di un portafoglio, valutato all’istante 0 (quindi le scadenze coincidono con le vite a scadenza), è: La media pesata di tutte le scadenze (i pesi sono proporzionali ai valori attuali delle rispettive poste); La duration di una rendita a rata costante R è: Indipendente dal valore di R; La duration di una rendita, valutata ad un tasso di interesse pari a zero, è: Pari alla scadenza media aritmetica; La legge esponenziale: È scindiblibe ed uniforme; La prima quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i; è pari: al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento); lOMoAR cPSD|6130900 La quota capitale, in una determinata scadenza in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta è uguale: al rapporto tra la quota capitale dell’anno precedente ed il fattore di sconto; Presto un capitale pari a 10 mila euro e mi viene restituita una cifra paria 13500 euro. Il montante, relativo a questa operazione, è: 1.35; Formula: 13500/10000 Presto un capitale pari a 8000 euro e mi viene restituita una cifra pari a 10000. Il fattore di sconto, relativo a questa operazione è: 0.8; Formula: 8000/10000 Presto un capitale pari a 8000 euro e mi viene restituita una cifra pari a 20000. Il fattore di sconto, relativo a questa operazione è: 0.4 Formula: 8000/20000 Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. Il fattore montante, relativo a questa operazione è: S/C; Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. Il tasso di sconto, relativo a questa operazione è: (S – C)/S; Presto un capitale pari a X e mi viene restituita una cifra Y. Il tasso di interesse, relativo a questa operazione, è: (Y – X)/X; Presto un capitale pari ad a e mi viene restituita una cifra b. Il tasso di interesse, relativo a questa operazione, è: (b - a)/a; Se il tasso di interesse è pari ad i, il tasso di sconto sarà uguale a: i/(1+i); lOMoAR cPSD|6130900 Se non valesse la decrescenza, rispetto alla scadenza, della funzione valore, ossia se fosse v(T,t)>v(T,s) (con T<s<t), si potrebbe fare la seguente operazione: vendita (allo scoperto) in T di un TCN unitario scadente in t, acquisto in T di un TCN unitario scadente in s ed infine: acquisto in s di un TCN unitario scadente in t; Se non valesse la proprietà di indipendenza dall’importo, cioè se fosse V(t,X)>Xv(t,X), potrebbe aver luogo un arbitraggio che garantirebbe un profitto pari a: V(t,X) – Xv(t,X); Se si considera la funzione di utilità logaritmica, u(x)=log(x), il valore dell’utilità attesa, relativa al gioco di San Pietroburgo, è pari a: 2log(2); Se un prestito prevede un piano di ammortamento a rimborso unico (in due o più annualità): Il capitale viene restituito alla scadenza e le rate vengono corrisposte Se un titolo, tra 100 giorni, secondo la legge di capitalizzazione composta, darà un rendimento secondo il tasso i opportunamente piccolo, il tasso giornaliero corrispondente sarà approssimativamente pari a: i/100; Se un’operazione finanziaria ha valore (non nullo) pari ad x in un istante T, per renderla equa è sufficiente: aggiungere un importo pari a - x alla componente T-esima del vettore Se una certa operazione finanziaria con flussi non nulli (a, b, c, d) con le scadenze (1,2,4,5) è equa, lo è anche quella: con gli stessi flussi (a, b, c, d) con le scadenze (3,4,6,7); Se una legge finanziaria è scindibile, indicato con v il rispettivo fattore di sconto, comunque presi gli istanti a,b,c si ha: si ha: v(a,b,c)=v(b,c); Se una legge finanziaria è scindibile, indicato con v rispettivo fattore di sconto, comunque presi gli istanti a, b, c, con a ≤ b ≤ c, si ha: si ha: v(a,b,c)=v(b,c); MATEMATICA FINANZIARIA Formulario INTERESSE SEMPLICE Formula base: Montante = [C * r (tasso annuo) * T (in anni)]/100 il tempo di raddoppio del capitale è 1/r INTERESSE COMPOSTO Formula base: M = C*(1+i) t Capitale: ln (M/C)/ ln (1+i) il tempo di raddoppio del capitale è LOG 2*/LOG (1+i) -→*(2 per raddoppiare/ 3 per replicare) Equivalenza tra tasso annuale e semestrale: C*(1 + i) t = C*(1 + i1/2) 2t (1+i )= (1+i )k 1/k � i1/k= � + � − � Le leggi della capitalizzazione semplice e composta, per un capitale investito al tempo t producono lo stesso montante al tempo t+1 tasso di interesse:(Y-X)/X intensità di interesse: Tasso operazione/durata operazione Fattore di sconto: Cap. prestato/cap. restituito Sconto composto: (1+i)-t = 1/(1+i)t Tasso di sconto: Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. →(S – C)/S Fattore montante: Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. →S/C CAPITALIZZAZIONE ESPONENZIALE Formula base: S = C e 6(b – a) Interesse: I = C (e 6t – 1) Fattore di capitalizzazione: I = C (e 6t – 1) Tasso di interesse: C =e6t – 1 Intensità di interesse: y =(e 6t – 1)/t Fattore di sconto: e – 6 t Tasso di sconto: d = 1 – e – 6 t Intensità di sconto: (1 – e – 6 t )/t EQUIVALENZA: Capitalizz composta → esponenziale 6 = log(1 + i) Capitalizz. Esponenziale → composta i = e 6 –1 OPERAZIONI EQUE Un'operazione finanziaria è detta equa, in un dato istante (di valutazione) T, se W (T, x) = 0 →quando il valore delle somme incassate è uguale al valore delle somme pagate e per essere equa almeno un importo deve avere segno diverso dagli altri • Proprietà invariantiva → se un'operazione finanziaria è equa in un dato istante T, essa è equa anche in qualsiasi altro istante. • Proprietà additiva → se due operazioni sono eque in un medesimo istante, lo è anche l'operazione finanziaria somma. • Proprietà di uniformità nel tempo → se un'operazione finanziaria è equa, lo è anche l'operazione finanziaria con gli stessi importi e le scadenze traslate di un medesimo fattore • Proprietà di scindibilità → La somma di due operazioni eque in istanti (non necessariamente identici) è un'operazione equa in qualsiasi istante FUNZIONE VALORE W (T,x) =W (0,x)exp(6 T).→ il valore dell'operazione in T > 0 è pari al valore attuale in 0, capitalizzato da 0 in T RENDITA VALORE ATTUALE= V RATA= R MONTANTE= M Rendita posticipata R*(1 −(1+ i) −n )/i V/[(1- [1 / (1 + i)] t)/i] R* [(1 + i)t – 1] / i Rendita anticipata * R*[(1 −(1+ i) −n )/i]*(1+i) V/[(1+i)* [(1- [1 / (1 + i)] t)/i]] R* {[(1 + i)t – 1] / i}*(1+i) R. posticipata perpetua 1/i R. anticipata * perpetua (1+ i)/i Rendita differita di m anni Valore attuale della rendita scontato di m anni -> moltiplicando V per (1+i)-m Non risente del differimento *Per passare da posticipata a anticipata → moltiplico per (1+i) la formula della posticipata RATA QUOTA CAPITALE A DEBITO RESIDUO A TZ TZ RATE ANNUE POSTICIPATE Debito /((1 –(1+ i)– t )/i)→ è COSTANTE. RATA/ (1+i)-(t-tz) è pari al rapporto tra il debito valore attuale delle rate da versare = Rata*((1 –(1+ i)– t-tz )/i) D(k) = (1+i)D(k-1) - R(k), dove R(k) indica la rata pagata all'istante k → D(k) = D(k-1) - C, dove C indica la quota capitale COSTANTI Corrisponde al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria iniziale e il valore posticipata al tasso attuale di una annuo i (di durata pari rendita unitaria alla durata posticipata al tasso dell'ammortamento). annuo i (di durata Si può anche esprimere pari alla durata come il prodotto tra la dell’ammortamento) rata e il fattore di il numero minimo di sconto relativo ad una annualità del piano, durata pari a quella tali che la rata non dell'ammortamento o superi una certa cifra anche fattore di R* è: Log(1- sconto (1+i)* quota Pi/R*)/log(1/(1+i)) capitale dell'anno precedente oppure quota cap dell’anno precedente/ fattore di sconto AMMORTAMENTO La quota capitale finale è rata* 1/(1+i) RATE ANNUE ANTICIPATE COSTANTI Debito* (1+i)-1 /((1 – (1+ i)– t )/i)→ è COSTANTE RATA/ (1+i)-(t-tz-1) La quota capitale all'istante 0, in un piano di valore attuale delle rate da versare = Rata*((1 –(1+ i)– t-tz )/i) oppure D(k) = ammortamento (a rate (1+i)D(k-1) – annue anticipate (1+i)R(k-1) dove R(k) costanti) in un regime indica la quota cap a capitalizzazione pagata all’istante k composta al tasso annuo i, è pari a debito iniziale / montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento). La quota capitale C(k) al generico istante k, è pari: alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’istante k+1 (o relativo all’anno successivo) oppure C(k) = D(k) - D(k+1), dove D(k) indica il debito residuo all'istante k. La quota capitale all'istante 1si può anche esprimere come rata* fattore di sconto relativo ad una durata pari a quella dell'ammortamento diminuita di un anno QUOTA CAPITALE COSTANTE RATA IN Z: Debito* {1/N DI RATE + [i - 1/n(z-1)} QUOTA CAPITALE: DEBITO INIZIALE/N DI RATE→ è COSTANTE valore attuale delle rate da versare = Debito * (1- z/n) oppure : D(k) = S(1 k/n), dove S è il capitale prestato oppure D(k)=S– kC, dove S è il capitale prestato e C è la quota capitale VAN attualizzo tutti i flussi a un certo tasso dato e trovo il valore attuale netto TIR Risolvo l’equazione in modo da trovare quel tasso i per cui i flussi di cassa attesi hanno valore zero. CRITERIO DEL VALORE MEDIO/ATTESO Si definisce valore atteso di una variabile aleatoria la somma dei possibili valori attuali moltiplicata per la loro probabilità. Date due operazioni finanziarie, V e Z, diremo che V è preferibile a Z, se E(V) > E(Z). Paradosso di San Pietroburgo: il valore atteso è infinito CRITERIO DELL’UTILITA’ ATTESA Si integra la sommatoria del valore moltiplicato per la probabilità con una funzionw che esprime l’utilità attesa, che si moltiplica per il valore atteso e per la probabilità. L’utilità attesa può avere diverse forme a seconda che il soggetto sia avverso (funzione concava) o propenso al rischio (funzione convessa) CRITERIO DELLA MEDIA VARIANZA Calcolo il valor medio dell’operazione e la sua varianza. → Dati due investimenti R ed S, si dirà che R è preferibile ad S se R ha una media maggiore o uguale alla media di S ed una varianza minore o uguale alla varianza di “ (è preferibile l’investimento con media maggiore e varianza minore) EQUIVALENTE CERTO L'equivalente certo di una variabile casuale in economia politica è l'ammontare di guadagno sicuro che un individuo considera equivalente al guadagno aleatorio. L'utilità attesa è pari a 17. Per trovare l'equivalente certo è necessario risalire alla variabile indipendente della funzione di utilità. • Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V = (1, 2), p= (1/2, 1/2), l'equivalente certo, secondo la funzione di utilità logaritmica, è pari a: 1.4142 RENDIMENTO DI UN TITOLO (Valore di rimborso – prezzo acquisto) /prezzo acquisto RATEO DI UN OBBLIGAZIONE se t0 è data di inizio di godimento della cedola, t1 è data di esigibilità della cedola successiva, t è istante di vendita dell’obbligazione e I è il valore della cedola (tO < t < t1), si ha: ARBITRAGGIO Gli arbitraggi sono: operazioni di compravendita, con profitto sicuro, non rischiose • Un contratto derivato è: un contratto scritto su un bene sottostante OPZIONI • In genere, un'opzione, stipulata in un istante 0: Dà la facoltà, al possessore, di acquistare (o vendere) un bene in un istante successivo T >0 • Un’opzione call è un contratto fin. tale che: concede al possessore la facoltà di acquistare un determinato bene • Un’opzione put è un contratto finanziario tale che: concede al possessore la facoltà di cedere un determ bene Capitalizzazione semplice e composta • L'interesse rappresenta: Un guadagno per chi ha prestato un certo capitale Legge dell’interesse semplice Nel caso di capitalizzazione ad interessi semplici, il debito in un certo anno è pari al debito dell'anno precedente aumentato degli interessi calcolati sul solo capitale originariamente prestato. In altre parole, la legge degli interessi semplici prevede che l'interesse sia proporzionale al capitale prestato e al tempo in cui il debito viene estinto. Ovvero, gli interessi, non vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti e, quindi, non maturano a loro volta interessi. • Nella legge di capitalizzazione semplice, indicare che caratteristica ha l'incremento del capitale: dipende dal capitale iniziale, dal tasso scelto e dal tempo [C * r (tasso annuo) * T (in anni)]/100 Esempi In un regime a capitalizz. semplice al tasso annuo pari al 4%, presto un capitale pari a 1000 euro, La cifra mi verrà restituita dopo 2 anni, è: 1080 1000 * 4% * 2 = 1080 • tasso annuo pari al 5%, presto un capitale pari a 1000 euro. →1100 • tasso annuo pari al 5%, presto un capitale pari a 2700 euro. →3125.588 • tasso annuo pari al 23%, presto un capitale pari a 20000 euro. Dopo 2 anni →29200 In un regime a capitalizz. semplice il tempo di raddoppio di un capitale investito: dipende dal capitale iniziale – ma anche dal tasso di interesse: il tempo di raddoppio è il reciproco del tasso di interesse ovvero 1/r • Al crescere del tasso i, indicare come si comporta il tempo di raddoppio di un capitale: diminuisce • In un regime a capitalizz. semplice al tasso annuo pari al 1.2%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: 1/0.12 - 8 anni • in un regime a capitalizz. semplice al tasso annuo pari al 15%→1/0.15 – 6 anni • In un regime a capitalizz. semplice al tasso annuo pari al 20%, →5 anni (=1/0.20) • In un regime a capitalizz. semplice al tasso annuo pari al 15%, presto un capitale pari a 15000 euro. Affinché mi venga restituito il doppio (30000 euro) sarà necessario attendere: più di 6 anni – Il tempo è 1/0.15, quindi 6,66 anni Legge dell’interesse composto In questo caso gli interessi vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti e, quindi, maturano a loro volta interessi. M = C*(1+i) t Esempi: • In un regime a capitalizz. composta al tasso annuo pari al 2%, presto un capitale pari a 1200 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 5 anni, è: 1200*(1,02)5 = 1324.90 euro • In un regime a capitalizz. composta al tasso annuo pari al 23%, presto un capitale pari a 20000 euro. Dopo 2 anni mi verrà restituito: 30.258 • In un regime a capitalizz. composta al tasso annuo pari al 2%, presto un certo capitale paria a 1000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 3 anni è: 1061.208 • In un regime a capitalizz. composta al tasso annuo pari al 2%, presto un certo capitale paria a 1000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 3 anni è: Un po’ superiore a 1060 euro In quanto tempo duplica il capitale? Si noti che, così come avviene per la capitalizzazione semplice, anche in questo caso, per risolvere il problema di duplicazione del capitale è inutile conoscere C e D, ma basta conoscere solo il rapporto D/C (oltre al parametro i, ovviamente). LOG 2*/LOG (1+i) *(2 per raddoppiare/ 3 per replicare) • In un regime a capitalizz. composta al tasso annuo i, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario affinché il mio debito venga raddoppiato è: Log(2)/Log(1+i) Esempi: • In un regime a capitalizz. composta al tasso annuo pari al 7%, prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: log(2)/log(1.07) • al tasso annuo pari al 15%, Il tempo necessario, affinché il mio debito venga raddoppiato è: Log(2)/log(1.15) • In un regime a capitalizz. composta al tasso annuo pari al 23%, presto un capitale pari a 15000 euro. Indicare quanto tempo sarà necessario affinché mi venga restituito il doppio (30000 euro): Log(2)/Log(1.23) 3.34 ovvero meno di 4 anni o In un regime ad interessi composti, se il tasso i è piccolo, indicare quale uguaglianza è valida in prima approssimazione: log(1 + i) = i → quindi i o In prima approssimazione, se i è piccolo, log(1+i) è approssimativamente uguale a: i o Presto una certa somma di denaro per un certo tempo t. A parità di tasso, indicare in che caso il regime a capitalizz. composta mi è più conveniente: t > 1 Equivalenza tra tassi di interesse nell’interesse composto Consideriamo la legge della capitalizzazione ad interessi composti: D(t) =C(1 + i) t (dove i è il tasso di interesse annuo). Calcoliamo adesso il tasso di interesse semestrale i1/2 tale che, al generico istante t, il debito sia lo stesso montante. Si deve quindi avere: C(1 + i) t = C(1 + i1/2) 2t . “i tenga presente, che, se l’interesse è calcolato su base semestrale, è come se la durata dell’operazione finanziaria raddoppiasse rispetto ad un’operazione annuale. Poiché questa uguaglianza vale per ogni valore di C e t, si ha: (1 + i)= (1 + i1/2) 2 . Risolvendo rispetto a i1/2, si ottiene: 1 + i1/2 = (1 + i1/2) 1/2 quindi i1/2 = (1 + i) 1/2 – 1 Si ricorda che elevare un numero alla 1/n significa calcolarne la radice n-esima. Se invece conoscessimo il tasso semestrale i1/2 e volessimo ricavare quello annuo, si avrebbe: i = (1 + i1/2) 2 – 1. • Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizz. comp. al tasso (annuo) del 2%; il tasso semestrale equivalente è: Un po' meno di 0.01 i1/2 = (1 + 0,2) 1/2 – 1 = 1.00995-1 = 0,00995 Si osservi che il tasso semestrale è APPROSSIMATIVAMENTE la metà del tasso annuo. Questo era prevedibile, dato che se il tasso di interesse è ragionevolmente piccolo, la capitalizzazione composta coincide con quella semplice. Equivalenza tra capitalizzazione semplice e composta Le leggi della capitalizzazione semplice e composta, per un capitale investito al tempo t producono lo stesso montante al tempo t+1 Titoli obbligazionari Le obbligazioni (bond), nell'ambito della finanza, sono titoli emessi da enti pubblici o privati (banche, assicurazioni,) che attribuiscono al suo possessore un capitale alla scadenza più il pagamento di interessi periodici (detti cedole, dato che in passato, per riscuoterli, si doveva staccare un tagliando numerato unito al certificato che rappresentava l'obbligazione). Un esempio di obbligazione è costituito dai titoli di Stato. • Consideriamo un’obbligazione acquistata al prezzo P pari al valore di rimborso con n cedole annue pari a I, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a: I/P • Consideriamo un’obbligazione acquistata alla pari (ossia tale che il prezzo sia pari al valore di rimborso); in tal caso il tasso interno di rendimento è pari: Al tasso cedolare • In genere il flusso di importi che riceve il possessore di un’obbligazione, pagata una cifra P, con la cedola C e valore di rimborso R, è: (–P,C,C,C,…,C,C+R) • in genere l importo relativo all’ultimo pagamento, previsto da un obbligazione con cedola i e il valore di rimborso C è: 1+C • In genere l’importo relativo all’ultimo pagamento, previsto da un’obbligazione è: il maggiore di tutti gli importi • In genere l’importo relativo all’ultimo pagamento, previsto da un’obbligazione con cedola C e valore di rimborso: R+C • Le obbligazioni: sono soggette al rischio di credito ZERO CUPON BOND - TCN I = 0. In tal caso l'obbligazione viene detta Titolo a Cedola Culla (TCN) o Zero Coupon Bond (ZCB). Se la cedola è nulla il tasso di interesse (detto, in questo caso, anche rendimento) si può calcolare facilmente ed è pari a (C – P) /P Un BOT ha un valore facciale pari a 100 euro (C = 100). 80 giorni prima della scadenza è venduto in un’asta a 93 euro (P). L’interesse risulta, quindi, pari a 1OO – 93 = 7 euro. Il rendimento lordo, inteso come tasso di interesse relativo all’operazione finanziaria corrispondente è quindi pari a (1OO – 93)/93 = 0.0753 = 7.53%. Inoltre l’intensità di interesse relativo all’operazione è pari a (1OO – 93)/(93 × 80) = 0.0009 giorni-1 Ossia (100 – 93)/(93 × 80/365) =365×(100 – 93)/(93× 80) anni-1 = 0.3434 anni-1 Teniamo presente che sull’interesse corrisposto dai BOT c’è una tassazione del 12.5%, per cui il rendimento effettivo diventa ((100 – 93) – 0.125×(100 – 93))/93 = 0.0659 = 6.59%. • Indicare cosa è un titolo a cedola nulla: E’ un contratto che garantisce al portatatore il pagamento, da parte dell’emittente, di una somma S in una certa data, dietro il pagamento di una somma C in una data antecedente (S>C) • Consideriamo un’obbligazione acquistata al prezzo C pari al valore di rimborso, con n cedole annue pari a C, in tal caso il tasso interno di rendimento è pari a: C/P Regime di capitalizzazione esponenziale La legge esponenziale Consideriamo una somma C prestata ad un soggetto ad un istante a. La legge esponenziale afferma che la somma S da restituire all'istante b> a sarà pari a S = C e 6(b – a) dove 6 è un numero positivo ed e è il numero di Nepero (2.718282). Ricordiamo che il numero e è definito nel modo seguente e = lim n→∞ (1+1/n) n • In genere la legge esponenziale è usata perché: le corrispondenti grandezze assumono una forma alquanto semplice • La legge di capitalizzazione esponenziale è molto usata perché: Le principali grandezze finanziarie, ricavate a partire da essa, assumono una forma relativamente semplice • La legge esponenziale: È scindibile ed uniforme • Data l'operazione finanziaria con vettore dei flussi pari a (3,1, 6), e vettore delle scadenze pari a (2, 4, 6), il suo valore all'istante 3 secondo la legge esponenziale, con parametro 0.3, è: 7.2298 • In prima approssimazione, se x è piccolo, Exp(x) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero che elevato ad x) è paria a: 1+x INTERESSE Nel caso di capitalizzazione esponenziale, l'interesse I = S – C, si esprime come I = C (e 6t – 1) FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE Il fattore di capitalizzazione (o fattore montante), m = S /C, in capitalizzazione esponenziale, diventa: m = e6t Ad esempio, se δ = O.1 e t =3, il fattore montante è pari a e O.1×3 = 1.3499 • Data la legge di capitalizz. Esp. con parametro 0.3, il fattore montante, dopo 5 anni, è pari a: Circa 4.5 e0,3*5= 4,48 • Investo un capitale unitario nell'anno 2024 supponendo che sia valida la legge di capitalizz. Esp. con parametro 0.4. Nel 2034 mi ritroverò una cifra (in euro) pari a: Circa 55 euro -- 1*(e0,4*10)= 54,59 TASSO DI INTERESSE Il tasso di interesse è pari a j =(S – C)/ C =e6t – 1 • Data la legge di capitalizz. Esp. con parametro 0.4, il tasso di interesse, dopo 3 anni, è pari A: Circa 2.3 (e0,4*3)-1 = 2.32 • Data la legge di capitalizz. c(t)=Exp(0.7t) (dove in generale, Exp(x) indica il numero e elevato ad x), il tasso di interesse, dopo 9 anni, è pari a: Exp(6.3) – 1 (e0,7*9)-1 0,7*9= 6,3, quindi il tasso è e6,3-1 • Data la legge di capitalizz. c/(t)=Exp(0.99t) (dove in generale, Exp(X) indica il numero e elevato ad x), il tasso di interesse, dopo 10 anni, è pari a: Exp(9.9) • (e0,99*10)-1 0,99*10= 9,9, quindi il tasso è e9,9-1 INTENSITA’ DI INTERESSE Nel caso di capitalizzazione esponenziale, l'intensità di interesse è pari a y =(e 6t – 1)/t L'intensità istantanea di interesse è definita come il limite dell'intensità di interesse al tendere del tempo a zero, ossia 6. • Data la legge di capitalizz. Esp. con parametro 0.4, l'intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni, è pari a: 0.4 • Data la legge di capitalizz. c(t)= Exp(0.25t) (dove in generale Exp(x) indica il numero e elevato a x), l’intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni, è pari a: 0.25 • La legge V(T,S)-EXP(0,5(S x S – T x T) ha intensità istantanea di interesse pari a: S FATTORE DI SCONTO il fattore di sconto è il rapporto tra il capitare prestato e quello restituito. In capitalizzazione esponenziale, il fattore di sconto è: m = C/(C eδt)= e – 6 t • Data la legge di capitalizz. c(t)=Exp(0.7t) (dove in generale Exp(x) indica un numero elevato ad x ) , il fattore di sconto, dopo 10 anni, è pari a : 1/Exp(7) (e0,7*10)-1 0,7*10= 7, quindi il tasso è e-7 1/e7 TASSO DI SCONTO Il tasso di sconto è pari a d = (S – C)/ S. In regime di capitalizzazione esponenziale si ha: d = 1 – e – 6 t Ad esempio, se δ = O.1 e t =3, il tasso di sconto è pari a: 1– e –0.1×3= 0.2592=25.92% • Data la legge di capitalizz. Esp. con parametro 6 0.2, il tasso di sconto, dopo 3 anni, è pari a: Circa 0.45 1-e-0,2*3=0,45 • Data la legge di capitalizz. c/(t)=Exp(0.70t) (dove in generale, Exp(X) indica il numero e elevato ad x), il tasso di sconto, dopo 8 anni, è pari a: 1–Exp(-5.6) 1-(e0,7*8) 0,7*8= 5,6, quindi il tasso è 1-e-5.6 INTENSITA’ DI SCONTO Sulla falsariga dell'intensità di interesse, l'intensità di sconto è definita come (S – C)/(St) e quindi si ha: (1 – e – 6 t )/t Ad esempio, se δ = O.O3 anni–1, l'intensità di sconto dopo tre anni è pari a: (1 – e – 0.03×3)/3= 0.0287 Nella legge di capitalizzazione esponenziale, l'intensità di interesse coincide con quella di sconto, ed è pari al parametro 6. Ad esempio, se l'evoluzione del capitale è descritta dalla legge S(t) = C e 0.05t, la relativa intensità istantanea di interesse è pari a 0.05. • Data la legge di capitalizz. 0,c(t)=exp(0.15t) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero è elevato ad x, l'intensità istantanea di sconto, dopo 2 anni è pari a: 0,15 ESEMPIO • L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, -2, -2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente equa: se l'intensità istantanea di interesse è pari a zero • 168. L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, 2, 2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente non equa: per qualunque valore dell'Intensità istantanea Funzione valore W (T,x) =W (0,x)exp(6 T).→ il valore dell'operazione in T > 0 è pari al valore attuale in 0, capitalizzato da 0 in T (si ricordi che exp(δ T) è proprio il fattore di capitalizzazione, da O a T, relativo ad una legge esponenziale). • La funzione v(t,T,s) deve essere tale che: v(t,T,T) =1 La funzione valore a pronti e a termine • La funzione valore a pronti v(t, s) deve essere tale che: v(t, t) = 1 • La funzione valore a termine v(t,T,s) deve essere tale che: v(T,T,s) = v(T,s) Linearità del valore attuale il valore attuale è un operatore lineare. Proprietà funzionali della legge esponenziale Proprietà invariantiva La proprietà invariantiva afferma che se un'operazione finanziaria è equa in un dato istante T, essa è equa anche in qualsiasi altro istante. • Se un'operazione finanziaria è equa in un determinato istante, essa è equa anche: in ogni altro istante Proprietà additiva La proprietà additiva ci assicura che se due operazioni sono eque in un medesimo istante, lo è anche l'operazione finanziaria somma. Questa proprietà si deduce immediatamente dalla linearità della funzione valore • Sapendo che l'op. fin., con flusso di importi pari a (8,-4,-5,2), è equa secondo la legge esp. con un det. parametro, lo è sicuramente anche quella con le stesse scaden e con importi pari a: (80,-40,- 50,20) Proprietà di uniformità nel tempo La proprietà di uniformità nel tempo afferma che, se un'operazione finanziaria è equa, lo è anche l'operazione finanziaria con gli stessi importi e le scadenze traslate di un medesimo fattore • La proprietà di uniformità nel tempo afferma che: t ≤ T ≤ s => v(t + a,T +a, s+a) = v(t,T , s) • Se una certa operazione finanziaria con flussi non nulli (a, b, c, d) con le scadenze (2,3,5,6) è equa, lo è anche quella: con gli stessi flussi (a, b, c, d) con le scadenze (5, 6, 8, 9) • Se una certa operazione finanziaria con flussi non nulli (a, b, c, d) con le scadenze (1,2,4,5) è equa, lo è anche quella: con gli stessi flussi (a, b, c, d) con le scadenze (3,4,6,7) Proprietà di scindibilità Condizione necessaria e sufficiente, affinché una legge finanziaria v(t,s) sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia indipendente dalla variabile t. La somma di due operazioni eque in istanti (non necessariamente identici) è un'operazione equa in qualsiasi istante • Se una legge finanziaria è scindibile, indicato con v il rispettivo fattore di sconto, comunque presi gli istanti a,b,c, si ha: v(a,b,c)=v(b,c) • Tra le leggi finanziarie scindibili annoveriamo: La legge esponenziale • Una legge fin. è scindibile, se, indicato con v il rispettivo val att: per ogni istante a,b,c, con a<b<c, si ha v(a,c)= v(a,b)v(b,c) Scomposizione di operazioni finanziarie Data un'operazione finanziaria, se 0< t1 < ti < T < ti+1 <t2< tn La funzione valore può essere scritta nel seguente modo: W (T,x) = V(T,x) + M (T,x) Appare chiaro che se un'operazione finanziaria è equa, si ha V(T, x) = – M (T, x). Questa formula ci dice che il montante nell'istante k è ottenuto sommando l'importo esigibile in quell'istante con il montante alla data del precedente pagamento capitalizzato per il periodo intercorrente tra i due pagamenti • Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: indipendente da t RENDITE La rendita è un'operazione finanziaria x = (x1, x2, ...xn), t = (t1, t2, ...tn). (0< t1 < t2< tn.) in cui tutti gli importi sono positivi. Sia t0 la data di inizio della rendita. ➢ Se t1 = t0 la rendita è detta anticipata (perché la prima rata viene incassata proprio con l'inizio della rendita). ➢ Se invece t1 > t0 la rendita è detta posticipata posticipata, di importo pari a 37 euro annui, al tasso annuo i del 4%, è pari a: B87(1=(1# 11 YI = 37 (1 -(1+0.04 )-11)/0.04 = 37 x 8.7605 = 324.1376 Il valore attuale di una rendita perpetua, posticipata, di importo pari a 37 euro annui, al tasso annuo del 4%, è pari a: 37.lî= 37/0.04 = 925 Data una rendita a rate posticipate annue pari a 7, al * 11.02? > 0.2 tasso del 2%, , determinare il numero minimo di anni tale © -1.027? > 0.2-1 il valore iniziale sia maggiore o pari a 70. * 1027 <0.8 Per risolvere il problema bisogna impostare una * -nlog(1.02)< log(0.8) disequazione (la cui incognita è n). Bisogna imporre che , n> - log(0.8)/log(1.02) = 11.2684. 7W(0) > 70, quindi si ha: a adi di EE n re 7(1 —(1+ )2")li> 70 Quindi il numero minimo di anni è 12 7(1 -(1+ 0.02)? )/0.02 > 70 * A titolo di verifica, si ha: 7(1- 1.027?) > 70x0.02 * 7(1 —(1+ i)-1')/i=68.5079 11.02 >0.2 * 7(1 -(1+ j)-12)/i=74.0274 ITValore attuale di una rendita perpetua, posticipata, di importo pari a 37 euro annui, è pari a 900 euro. Calcoliamo il tasso annuo: 37 li = 900 37=900/ i =37/900 = 0.0411=4.11% Il montante alla scadenza di una rendita, di durata pari ad 11 anni, posticipata, di importo pari a 37 euro annui, al tasso annuo i del 4%, è pari a: 37 ((1+ j)î1 -1)/i= 37 ((1+0.04 )!1 -1)/0.04 = 37 x 13.48635 = 498.995 A m 1.02"-1>0.2 Data una rendita a rate posticipate annue pari a 7, al tasso i del 2%, determinare il numero minimo di anni tale 1.02” > 1.2 il montante sia maggiore o pari a 70. nlog(1.02) > log(1.2) Per risolvere il problema bisogna impostare una sa disequazione (la cui incognita è n). Bisogna imporre che 2 !99(1.2)/l0g(1.02) = 9.2069 7M(0) > 70, quindi si ha: Quindi il numero minimo di anni è 10 Ri Li ada 25 A titolo di verifica, si ha: +0.02) > n 7(1.02"-1)>70x0.02 7((1+ i)? -1 )/i=68.2824 1.02"- 1>0.2 7((1+ i)!° -1 Yi=76.6481 ESEMPI RENDITA ANTICIPATA Una rendita anticipata di 20 anni prevede un tasso annuo i del 5% ed una rata R pari a 30. Trovare il valore attuale W (0) = R(1-1/1+ jP)(1 -1/(1+ E = R(1-v?°)/(1- v)= 13.0853x30=392.5596 Il valore attuale di una rendita perpetua anticipata unitaria è pari a 150. Trovare il tasso di interesse (annuo). Si ha: (1+ ji = 150 (1+ = 1505 1=150i-/ 149 i =1/149 = 0.0067=0.67% Data una rendita di 50 rate posticipate annue pari a 3, al tasso del 2%, determinare il numero minimo di anni per cui bisogna differirla, in maniera tale che il valore iniziale sia minore di 60. * 1.02* <0.6365 Bisogna trovare il numero di anni di differimento K tale * -klog(1.02) <log(0.6365) che il valore attuale della rendita sia minore di 60. Si ha | * > -109(0.6365)/ log(1.02) = 22.8137 quindi: 3(1+0.02) (1 -(1+ 0.02)-5° )/0.02 < 60 * Infatti 3x1.02-% (1 -1.02-50) <60x0.02 * 3(1+0.02)22 (1 -(1+ 0.02)-50 )/0.02 = 60.97804 1.02* <(60x0.02/3)/ (1 -1.02-50) * 3(1+0.02)-23 (1 -(1+ 0.02)-50 )/0.02 = 59.7824 Data una rendita perpetua di rate annue pari a 3, al tasso i del 2%, determinare il numero minimo di anni per cui bisogna differirla, in maniera tale che il valore iniziale sia minore di 60. Bisogna trovare il numero di anni di differimento k tale che il valore attuale della rendita sia minore di 60. Si ha quindi: 3(1+ Ji < 60 3(1+0.02)-*/0.02 < 60 3x1.02-* <60x0.02 1.02 <(60x0.02/3) 1.02 <0.4 -k log(1.02) <log(0.4) k> - log(0.4)/ log(1.02) = 46.27117 Infatti 3(1+0.02)48 /0.02 = 60.32306 3(1+0.02)-47 /0.02 = 59.14025 CORRISPONDENZA TRA TASSI Consideriamo ad esempio la rendita x= (10, 10, 10, 10,10) t=(1,2,3,4,5), con il tasso annuale j pari al 10%, e supponiamo che ciascun versamento sia frazionato in tre rate. Il tasso di interesse quadrimestrale è (k = 3): iny& (1 + Î)K-1 = (1+0.1)!9 — 1= 0.03228 W(0) = 10/ k (1 -(1+ PV iy= =10/3 (1 -(1+0.1)-5)/ 0.03228 =39.14484. L’AMMORTAMENTO C(1)((1+i) n – 1)/ i = D(0) → Da questa relazione segue subito che la quota capitale iniziale è pari al debito iniziale (ossia alla somma prestata) diviso per il montante di una rendita unitaria posticipata allo stesso tasso annuo del prestito. La rendita è equa se il valore attuale delle rate è pari al capitale prestato (o, equivalentemente, al debito iniziale) → La rata di una rendita posticipata periodica equa con rate costanti annuali, al tasso (annuo) i, è pari al debito iniziale diviso il valore attuale di una rendita unitaria posticipata di egual durata. → C(n) =R/(1+ i) Ammortamento di prestiti a rate anticipate costanti RATA: Debito* (1+i)-1 /((1 –(1+ i)– t )/i)→ è COSTANTE QUOTA CAPITALE A tz: RATA/ (1+i)-(t-tz-1) La quota capitale all'istante 0, in un piano di ammortamento (a rate annue anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari a debito iniziale / montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento). La quota capitale C(k) al generico istante k, è pari: alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’istante k+1 (o relativo all’anno successivo)oppure C(k) = D(k) - D(k+1), dove D(k) indica il debito residuo all'istante k. La quota capitale all'istante 1si può anche esprimere come rata* fattore di sconto relativo ad una durata pari a quella dell'ammortamento diminuita di un anno DEBITO RESIDUO A tz: valore attuale delle rate da versare = Rata*((1 –(1+ i)– t-tz )/i)oppure D(k) = (1+i)D(k- 1) – (1+i)R(k-1) dove R(k) indica la quota cap pagata all’istante k • Il debito residuo D(k), all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate ant) in un regime a capitalizz. Comp. al tasso annuo i, è dato da: D(k) = (1+i)D(k-1) – (1+i)R(k-1) dove R(k) indica la quota cap pagata all’istante k • In un piano di ammortamento a rate anticipate in un regime a capitalizz. Comp. al tasso annuo i, la quota capitale C(k) al generico istante k, è pari: alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’istante k+1 (o relativo all’anno successivo) • L’ultima quota capitale non nulla in un piano di ammortamento (a rate eque anticipate costanti) di durata pari a n in un regime a capitalizzazione composta al tasso i e pari: alla rata • La quota capitale all'istante (n - 1), in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti), di durata pari ad n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i: è pari alla rata • La quota capitale all'istante 0, in un piano di ammortamento (a rate annue anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) • La quota capitale all'istante 1, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, si può anche esprimere come il: prodotto tra la rata e il fattore di sconto relativo ad una durata pari a quella dell'ammortamento diminuita di un anno • La quota capitale C(k), all'istante k, in un piano di ammort. (a rate anticipate) in un regime a capitalizz. composta al tasso annuo i, è dato da: C(k) = D(k) - D(k+1), dove D(k) indica il debito residuo all'istante k • La quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: crescente nel tempo • La quota interessi, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: decrescente nel tempo • La rata, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al rapporto tra il debito iniziale e il valore attuale di una rendita unitaria anticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) • Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a rate annue (eque) costanti anticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R*, è: log((R*-Si/(1+i))/R*)/log(1/(1+i) • Vogliamo rimborsare un capitale prestato P con un piano a rate annue (eque) costanti anticipate al tasso annuo i. il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra x, è: Log((X- Pi/(1+i))/X)/Log(1/(1+i)) Ammortamento di prestiti a rate non costanti POSTICIPATE Un prestito, di un importo pari a 20000 euro, prevede un piano di rimborso al tasso annuo i =2%. Le prima rata R(1) è pari rispettivamente a 3000 euro. Trovare l'importo della seconda rata sapendo che il prestito si estingue il secondo anno. Si ha D(1) = (1+)D(0) — R(1) D(2) = (1+))D(1) - R(2)=0 Dunque R(2) = (1+)D(1) = =(1+)((1+)D(0) — R(1)) = =1.02(1.02x20000 -3000) = 17748 Un prestito, prevede un piano di rimborso al tasso annuo i=2%. Le prime due rate R(1) e R(2) sono pari rispettivamente a 3000 e 2000 euro . Trovare l'importo del prestito sapendo che si estingue il secondo anno. Si ha D(1) = (1+)D(0) — R(1) D(2) = (1+i)D(1) — R(2)=0 Dunque D(1)=R(2)/(1+i) e quindi D(0)= (D(1) + R(1))/ (1+i) = (R(2)/(1+) + R(1)V/ (1+) = (2000/(1+0.02) +3000)/(1+0.02) = 4863.514 Un prestito, di un importo pari a 20000 euro, prevede un piano di rimborso al tasso annuo /=2%. Le prime due rate sono pari rispettivamente a 1000 e 2000 euro. Trovare il debito residuo dopo 2 anni. Se D(k) è il debito dopo k anni, si ha D(1) = (1+)D(0) — R(1) D(2) = (1+))D(1) — R(2) Dunque D(2) = (1+)D(1) — R(2) = =(1+)((1+)D(0) — R(1))- R(2) = = 1.02(1.02x20000 -1000)-2000 = 17788 Leasing Il leasing è un contratto di finanziamento che consente, in cambio del pagamento di un canone periodico, di avere la disponibilità di un bene strumentale e di esercitare, al termine del contratto, un'opzione di riscatto (di acquisto) del bene stesso per una cifra pattuita, inferiore al valore di mercato del bene. Sia V0 il valore del bene (all'istante 0), A la quota d'anticipo sul valore del bene, En il valore di riscatto. Le rate del leasing soddisfano l'uguaglianza • Il leasing è un contratto che, in cambio del pagamento di un canone periodico: consente, di avere la disponibilità di un bene e di esercitare, al termine del contratto, un'opzione di acquisto del bene stesso per una cifra pattuita, inferiore al valore di mercato del bene Prestiti Revolving Sono prestiti che prevedono la messa a disposizione di una certa somma (su una carta di credito) che può essere prelevata (intera o in parte) a discrezione del debitore: è possibile prelevare anche più quote in istanti differenti. Il rimborso prevede una rata minima di solito uguale almeno alla quota interessi. Gli interessi si pagano solo sul capitale effettivamente prelevato e non su quello a disposizione. Il piano di ammortamento di un prestito revolving contiene anche eventuali prelievi fatti durante il periodo di ammortamento che, ovviamente, fanno aumentare il debito complessivo. • I prestiti revolving: prevedono la messa a disposizione di una certa somma (su una carta di credito) che può essere prelevata (intera o in parte) a discrezione del debitore. Gli interessi si pagano solo sul capitale effettivamente prelevato e non su quello a disposizione RIEPILOGO RATA QUOTA CAPITALE A TZ DEBITO RESIDUO A TZ RATE ANNUE POSTICIPATE COSTANTI Debito /((1 –(1+ i)– t )/i)→ è COSTANTE. Corrisponde al rapporto tra il debito iniziale e il valore attuale di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell’ammortamento) il numero minimo di annualità del piano, tali che la rata non superi una certa cifra R* è: Log(1-Pi/R*)/log(1/(1+i)) RATA/ (1+i)-(t-tz) è pari al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento). Si può anche esprimere come il prodotto tra la rata e il fattore di sconto relativo ad una durata pari a quella dell'ammortamento o anche fattore di sconto (1+i)* quota capitale dell'anno precedente oppure quota cap dell’anno precedente/ fattore di sconto La quota capitale finale è rata* 1/(1+i) valore attuale delle rate da versare = Rata*((1 –(1+ i) – t-tz )/i) D(k) = (1+i)D(k-1) - R(k), dove R(k) indica la rata pagata all'istante k → D(k) = D(k-1) - C, dove C indica la quota capitale RATE ANNUE ANTICIPATE COSTANTI Debito* (1+i)-1 /((1 –(1+ i)– t )/i)→ è COSTANTE RATA/ (1+i)-(t-tz-1) La quota capitale all'istante 0, in un piano di ammortamento (a rate annue anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari a debito iniziale / montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento). La quota capitale C(k) al generico istante k, è pari: alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’istante k+1 (o relativo all’anno successivo) oppure C(k) = D(k) - D(k+1), valore attuale delle rate da versare = Rata*((1 –(1+ i)– t-tz )/i) oppure D(k) = (1+i)D(k-1) – (1+i)R(k-1) dove R(k) indica la quota cap pagata all’istante k dove D(k) indica il debito residuo all'istante k. La quota capitale all'istante 1si può anche esprimere come rata* fattore di sconto relativo ad una durata pari a quella dell'ammortamento diminuita di un anno QUOTA CAPITALE COSTANTE RATA IN Z: Debito* {1/N DI RATE + [i -1/n(z-1)} QUOTA CAPITALE: DEBITO INIZIALE/N DI RATE→ è COSTANTE valore attuale delle rate da versare = Debito * (1- z/n) oppure : D(k) = S(1 k/n), dove S è il capitale prestato oppure D(k)=S– kC, dove S è il capitale prestato e C è la quota capitale Tassi Equivalenti LE OPERAZIONI FINANZIARIE Un'operazione finanziaria R =(R(O), R(1), …, R(n)) t =(tO, t1, …, tn) è detta  investimento se esiste un indice k* < n tale che R(k) < 0 per ogni k minore di k* e R(k) > 0 per ogni k maggiore o uguale a k* (i primi importi sono negativi e gli ultimi sono positivi). Esempio, R = (– 4, – 3, – 5, 6, 9, 4) t =( 1, 3, 4, 7, 8, 11)  finanziamento se esiste un indice k* < n tale che R(k) > 0 per ogni k minore di k* e R(k) < 0 per ogni k maggiore o uguale a k* (i primi importi sono positivi e gli ultimi sono negativi). è un investimento. Esempio: R = (4, 3, 5, – 6, – 9, – 4) t =(1, 3, 4, 7, 8, 11) • Un’operazione finanziaria può essere rappresentata: Con due vettori aventi lo stesso numero di elementi Valutazione di operazioni finanziarie in condizioni di certezza Il Valore attuale netto (VAN) Se bisogna confrontare due operazioni finanziarie ed almeno una ha due tassi interni di rendimento, bisogna utilizzare un altro criterio. Un criterio che sembra appropriato è quello di fissare a priori un determinato tasso di interesse e poi confrontare il valore attuale delle due operazioni secondo quel determinato tasso. ➔ ATTUALIZZO TUTTI I FLUSSI A UN CERTO TASSO DATO E TROVO IL VALORE ATTUALE NETTO VAN In regime di interesse composto, al tasso i = 9.5% annuo, è più conveniente pagare oggi 25OO €, oppure 15OO € tra sei mesi e 15OO € tra un anno? “i ha v = 1/(1+ O.O95) = O.9132: il VAN della seconda opzione (15OO € tra sei mesi e 15OO € tra un anno) è: – 1500 v 0.5 – 1500v = – 2803.222 Perciò è più conveniente la prima opzione (VAN= ‒ 25OO). • Il risultato del confronto di operazioni mediante il criterio del valore attuale netto: Dipende dal tasso di valutazione scelto • “e un’operazione finanziaria ha un certo tasso interno di rendimento i*, il criterio del valore attuale netto, se si usa come tasso di valutazione lo stesso tasso i*, fornisce come valore per l’operazione: 0 Valutazione di operazioni finanziarie in condizioni di incertezza Probabilità – concetti introduttivi La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili. – DEFINIZIONE DI LAPLACE PROPRIETA’ 1) Per ogni evento A, si ha O ≤ P(A) ≤ 1. 2) 2) Dati due eventi disgiunti (se si verifica l'uno, l'altro non può verificarsi), A e B, denominato con A U B l'evento unione ("si verifica almeno uno dei due”), si ha P(A U B) = P(A) + P(B). 3) 3) La probabilità dell'evento certo è uguale ad 1. • Dati due eventi disgiunti, A e B, la probabilità dell'evento unione è pari a: P(A) + P(B) • La probabilità di un evento può essere definita come: il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili VARIABILE ALEATORIA: Dato un insieme di eventi disgiunti A1, A2,…, An, tali che la loro unione sia un evento certo, si definisce variabile aleatoria, una funzione tale che, ad ogni evento Ai , associ un numero reale Xi . Ad esempio, i risultati di un lancio di un dado sono una variabile aleatoria che può assumere valori da 1 a 6 con (uguale) probabilità pari ad 1/6. Le imprese di assicurazione Assicurazioni contro i danni ✓ Breve durata contrattuale (in genere un anno). ✓ Le prestazioni sono prevalentemente a carattere risarcitorio (aleatorie). ✓ Ammessa la ripetibilità dell’evento dannoso Assicurazioni sulla vita ✓ Durata contrattuale medio-lunga ✓ Le prestazioni sono di importi prefissati ✓ Non ripetibilità dell’evento. LEGGE DEI GRANDI NUMERI Definizione: “dato un evento con probabilità p, se si effettua un elevato numero di prove n, esso si verificherà un numero x di volte tale che la frequenza relativa x/n, tenderà ad approssimare p e l’approssimazione aumenterà al crescere di n.” Ad esempio se lancio una moneta (non truccata) 10000 volte il numero di teste (p = 0.5) sarà molto probabilmente pari a 10000/2 ma se la lancio 10 volte non è detto che sarà vicino a 10/2=5. Su questa base la Compagnia assicurativa può stimare con tanto maggiore precisione il manifestarsi di un dato evento (es. sinistro) quanto più ampia è la base statistica su cui è stata costruita la serie storica. Inoltre tenderà ad emettere il più alto numero di polizze possibili per ogni categoria di rischio (ramo). PRINCIPIO DI MUTUALITA’ L’assicurazione può essere vista come una forma di copertura a “costo parziale”; colui che stipula una polizza di assicurazione entra a far parte di un insieme costituito da più soggetti, tutti assicurati per rischi omogenei. Il valore della prestazione assicurativa è pari ad una percentuale del capitale accumulato attraverso le somme versate (premi) da parte di tutti gli assicurati sulla medesima classe di rischio. Affinché i contratti possano essere applicati è necessario che i rischi siano omogenei e indipendenti (se un evento dannoso succede a Tizio, ciò non implica che succeda anche a Caio). Nel ramo danni, rispetto alle polizze Vita, il rischio è maggiore a causa della aleatorietà degli eventi avversi e delle asimmetrie informative. Per tale ragione, mentre nel ramo vita il premio è calcolato sulla base di (apposite) tabelle (attuariali), per il ramo danni il premio è molto variabile a seconda delle compagnie (a meno di eventuali cartelli). • I contratti assicurativi, se non accade l'evento assicurato: hanno rendimento negativo Operazioni finanziarie aleatorie Un'operazione finanziaria è rappresentata da due vettori V = (V1, V2,…, Vn) p = (p1, p2,…, pn). Essa è una variabile aleatoria. Il vettore V rappresenta, i possibili valori (attuali) dell'operazione e il vettore p rappresenta le rispettive probabilità, ossia pi = P(Vi), con p1 + p2 +...+pn = 1, i = (1, 2,..., n). Equivalente certo L'equivalente certo di una variabile casuale in economia politica è l'ammontare di guadagno sicuro che un individuo considera equivalente al guadagno aleatorio. L'utilità attesa è pari a 17. Per trovare l'equivalente certo è necessario risalire alla variabile indipendente della funzione di utilità. • Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V = (1, 2), p= (1/2, 1/2), l'equivalente certo, secondo la funzione di utilità logaritmica, è pari a: 1.4142 La funzione di valore attuale Valutazione di un’operazione a pronti Un'operazione a pronti prevede il primo scambio di capitali nella stessa data della stipula del contratto: a tal proposito v(t,s) indicherà il valore attuale, al tempo t, di un euro esigibile in s (t ≤ s). • Con riferimento ad un contratto a pronti descritto dalla funzione v(t,s), l'intensità di rendimento a scadenza h è: -log(v(t,s))/(s -t) • Se la funzione valore a pronti v(t, s) è descritta da una legge esponenziale, essa, al divergere di s, tende a: 0 Valutazione di un’operazione a termine Operazione a termine → la prima operazione di scambio avvenga in un istante successivo rispetto all'istante (t) di stipula del contratto • Comunque presi tre istanti successivi, t,T,s, la funzione valore a termine v(t,T,s): Deve avere la seguente proprietà v(t,T,s)=1 • Nel caso di contratti a termine (tre variab), l'intensità di rend a scadenz h(t,T,s) è (t < T < s): - log(v(t,T,s))/(s — T) • Se i(t,T,s) è il tasso di interesse a termine (t < T < s) ed h(t,T,s) è la corrispondente intensità di interesse, si ha: h(t,T,s) = log(1+i(t,T,s) ) • Un contratto forward stipulato in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t <T) pari a: v(t,T)(S(T) - K) • In genere, un contratto forward, stipulato in un istante 0: Obbliga il possessore ad acquistare un bene in un istante successivo T >0 • Un'opzione call, stipulata in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t <T): max(v(t,T)(S(T) - K),0) Laproprietà di uniformità nel tempo una legge finanziaria è uniforme nel tempo se il suo valore non varia nel momento in cui tutte le sue variabili sono traslate secondo uno stesso fattore • Un esempio di funzione di sconto v(t,s) è uniforme, è dato da v(t,s)=: = 1/exp(s – t) • Una funzione di sconto v(t,s) è uniforme se: dipende solo da s -t La proprietà di indipendenza dall’importo Le operazioni finanziarie possono anche avere come fine la consegna di un importo non unitario. In tal caso, introduciamo la funzione V(t,xs) per indicare il valore attuale, al tempo t , di x euro esigibile in s (t ≤ s). La proprietà dell'indipendenza dall'importo ci si assicura che, per ogni legge finanziaria ben definita, deve essere: Fattore montante Relazione tra la scindibilità delle leggi finanziarie e i contratti a termine Ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine Come al solito considereremo le tre scadenze t ≤ T ≤ s L'ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine consiste nella seguente relazione: v(t,T)v(t,T,s) = v(t,s) Essa afferma che il valore attuale a pronti di un TCN unitario acquistato in t, con scadenza in s, è pari al valore in T di un TCN unitario (pattuito in t) con la stessa scadenza, acquistato in T, attualizzato secondo il fattore v(t,T). • L'ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine afferma che: t ≤ T ≤ s => v(t,T) v(t,T,s) = v(t,s) Scindibilità Nell’ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine, la proprietà si scindibilità può essere espressa anche come t ≤ T ≤ s => v(T,T,s) = v(t,T,s) = v(T,s) Questo significa che, in presenza di una legge scindibile i valori a pronti e a termine coincidono: questa è una richiesta molto forte e che non sempre si verifica nei mercati finanziari. • Nell’ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine, la proprietà si scindibilità può essere espressa anche come: t ≤ T ≤ s => v(t,T,s) = v(T,s) Intensità di interesse • L'intensità istantanea di interesse, relativa alla legge v(t,s) = 1 - K(s - t), è: K/(1- K(s -t)) I Mercati finanziari Un mercato finanziario è un luogo nel quale vengono scambiati strumenti finanziari di varia natura (azioni, obbligazioni, etc.) a medio o lungo termine. Un mercato finanziario consente il trasferimento del risparmio dai soggetti che lo accumulano (in genere sono le famiglie) ai soggetti che lo richiedono (in particolare, le imprese, ma anche enti pubblici o gli stessi Stati sovrani). I soggetti che richiedono liquidità sono definiti "soggetti in disavanzo finanziario" ed emettono strumenti finanziari (depositi bancari, azioni, Buoni Ordinari del Tesoro ecc.) che cedono ai "soggetti in avanzo finanziario" in cambio di moneta. Esistono quindi mercati obbligazionari, assicurativi, azionari, dei derivati, etc. • I mercati dei capitali trattano strumenti finanziari di durata: superiore a 12 mesi Acquisto, in t =3 del TCN unitario con scadenza all'istante 5. Acquisto, all'istante 5, del TCN unitario con scadenza all'istante 7. La strategia è un arbitraggio perché implica i seguenti payoff: 3 5 7 0.3 0 2 =10.2 A 0 0 —_v(5,7 1 garantisce gli importi (positivi o nulli): R=(0.3-0.2=0.1,1-v(5,7),0), r=(3,5,7) t=0, 7T=0.6,5=2 v(t,T) = 0.8, v(t,7,s)=0.7 v(t,5)= 0.5, (non vale la relazione v(t,5) = v(t.T) v(t.7,5)) si potrebbe adottare la seguente strategia: Acquisto del TCN unitario con scadenza in 2. Vendita allo scoperto di 0.7 TCN unitari scadenti in 0.6. Vendita allo scoperto a termine, con consegna in 0.6, di un TCN unitario scadente in 2. t=0 T=0.6 s=2 -0.5 0 +1 0.7x0.8 -0.7 0 0 +0.7 =1 Questa strategia produce il flusso di importi di cui il primo positivo (= 0.7x0.8 — 0.5 = 0.06 euro ) e gli altri nulli. t=0, 7T=0.6,5=2 v(t.T)=0.8, v(t.T,5)=0.7 v(t,5)=0.9, si potrebbe adottare la seguente strategia: Vendita allo scoperto del TCN unitario con scadenza in 2: Acquisto di 0.7 TCN unitari scadenti in 0.6. Acquisto, con consegna in 0.6, di un TCN unitario scadente in 2. V(t,T,x) = valore in 7, pattuito in t, di un titolo che garantisce l'importo x in s. Per evitare arbitraggi non rischiosi deve essere V(t,T,x,) = xv(t,T,5) Consideriamo il caso t= 2, T = 4, s = 5, x;=3, V(2,4,5) =0.9 V(2,4, x.=3) =2 Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza. Ricordiamo che la funzione v(t,s) è il valore attuale di un euro al tempo t esigibile in s: essagode delle seguenti proprietà (t ≤ s): Si noti che se queste due ultime proprietà non fossero valide, si potrebbe verificare un arbitraggio. Invece la terza proprietà è un postulato (postulato di impazienza). Adesso dimostriamo che, per evitare arbitraggi non rischiosi deve essere → Questo risultato è noto come teorema di decrescenza rispetto alla scadenza • Per evitare arbitraggi non rischiosi, la funzione valore a pronti v(t,s) deve essere: decrescente rispetto alla scadenza s • Se non valesse la decrescenza, rispetto alla scadenza della funzione valore, ossia se fosse v(T,t)>v(T,s) (con T<s<t), si potrebbe fare la seguente operazioni : vendita(allo scoperto) in T di un TCN unitario scadent in t, acquisto in T di un TCN unitario scadente in s ed infine: acquisto in s di un TCN unitario scadente in t Teorema di indipendenza dall’importo. Consideriamo un titolo a cedola nulla (TCN) che garantisce l’importo x al tempo s. Il suo valore in t (t < s) sarà denotato con V(t,xs). Il teorema dell'indipendenza dall'importo afferma che, per evitare arbitraggi non rischiosi, deve essere: In pratica, il valore del TCN deve essere pari a x TCN unitari (con le stesse scadenze). • La proprietà di indipendenza dall'importo può essere rappresentata dall'identità: V(t,x) = xv(t,s) • “e non valesse la proprietà di indipendenza dell’importo, cioè fosse V(t,X)>Xv(t,X),potrebbe aver luogo un arbitraggio che garantirebbe un profitto pari a: V(t,X)- Xv(t,X) Teorema di linearità del prezzo Consideriamo un titolo che garantisce il seguente flusso di importi X = (x1, x2, …,xn), con le rispettive scadenze: t = (t1, t2, …, tn). “ia tO un istante di valutazione, tale che: Sia quindi V(t0, X) il valore in tO dell’operazione X. Il teorema della linearità del prezzo assicura che per evitare arbitraggi non rischiosi deve essere: Quest'ultima uguaglianza ci dice che il valore attuale del titolo X in t0 è pari al valore di una combinazione lineare di TCN aventi le stesse scadenze degli importi relativi ad X . • Consideriamo la seguente op. finanziaria X =(x,y), t=(1,2); sia V(X,O) il suo valore all’istante O e sia v(a,b) il fattore di sconto tra gli istanti generici a e b. La linearità della funzione valore ci assicura che: V(X,0 )=xv(0.1)+yv(0.2) Teorema dei prezzi impliciti. Ricordiamo l'ipotesi di consistenza di contratti a pronti e a termine. Essa afferma che → il valore attuale a pronti di un TCN unitario acquistato in t, con scadenza in s, è pari al valore (in T) di un TCN unitario (pattuito in t) con la stessa scadenza, acquistato in T, attualizzato secondo il fattore v(t,T). Tassi impliciti.