Scarica MATEMATICA: I LIMITI e più Slide in PDF di Matematica solo su Docsity! I LIMITI INTORNI TIPOLOGIA FORMULA ESEMPIO Intorno circolare di centro 𝑥0 e raggio 𝛿 𝐼𝛿 𝑥0 = (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) 𝐼2 −4 = −4 − 2; −4 + 2 = (−6;−2) Intorno destro di centro 𝑥0 e raggio 𝛿 𝐼𝛿 + 𝑥0 = (𝑥0; 𝑥0 + 𝛿) 𝐼3 + −2 = −2; −2 + 3 = (−2; 1) Intorno sinistro di centro 𝑥0 e raggio 𝛿 𝐼𝛿 − 𝑥0 = (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0) 𝐼1 − 3 = 3 − 1; 3 = (2; 3) Intorno di + infinito 𝐼 +∞ = (𝑐; +∞) 𝐼 +∞ = (100; +∞) Intorno di – infinito 𝐼 −∞ = (−∞; −𝑐) 𝐼 −∞ = (−∞; −1000) Intorno circolare di infinito 𝐼𝑐 ∞ = (−∞; −𝑐)⋃(𝑐; +∞) 𝐼 ∞ = (−∞; −10)⋃(10; +∞) DEFINIZIONE DI LIMITE Consideriamo l’insieme dei reali esteso ℝ∗ = ℝ⋃ ±∞ . Definizione: Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio D con 𝑥0, ℓ ∈ ℝ∗ e con 𝑥0 punto di accumulazione per il dominio D 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝓵 se fissato un qualunque intorno del limite ℓ, piccolo a piacere, trovo sempre un intorno del punto 𝑥0 tale che per ogni suo punto 𝑥 diverso da 𝑥0 e appartenete al dominio D della funzione, la corrispondente immagine 𝑓 𝑥 appartiene all’intorno del limite. Significato: troviamo infiniti punti vicino a 𝑥0 la cui immagine mediante la funzione è vicina, quanto si voglia, al limite ℓ. SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝓵 ✓ Si pone un obiettivo 𝓵 per il valore della funzione; ✓ si fissa un margine di tolleranza , piccolo a piacere, rispetto a tale obiettivo 𝓵; ✓ si verifica che l’immagine 𝑓 𝑥 si avvicina all’obiettivo 𝓵, entro il margine di tolleranza , se 𝑥 sta sufficientemente vicino a 𝒙𝟎. Il grafico della funzione, con eventuale eccezione per il punto di ascissa 𝑥0, cade all’interno del rettangolo individuato dai due intorni. DEFINIZIONE DI LIMITE IN SIMBOLI Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio D con 𝑥0, ℓ ∈ ℝ∗ = ℝ⋃ ±∞ e con 𝑥0 ∈ 𝐷′ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝓵 se ∀ 𝐼 ℓ ∃ 𝐼 𝑥0 tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑥0 ∩ 𝐷 − 𝑥0 si ha 𝑓 𝑥 ∈ 𝐼 ℓ IL LIMITE E L’IMMAGINE In generale, il comportamento della funzione nel punto 𝑥0, descritto da 𝑓(𝑥0), e quello vicino a 𝑥0, descritto da lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 , sono indipendenti. Può essere: ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = ℓ finito e ℓ = 𝑓(𝑥0); ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = ℓ finito ma ℓ ≠ 𝑓(𝑥0); ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = ℓ finito ma 𝑓(𝑥0) non esiste perché 𝑥0 ∉ 𝐷; ✓ lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 non esiste o infinito, quindi diverso da 𝑓(𝑥0) se esiste. FUNZIONE CONTINUA IN 𝒙𝟎 Se 𝑥0 𝐷 ∩ 𝐷′ può accadere che ci sia continuità di comportamento della funzione vicino a 𝑥0 e in 𝑥0 stesso, ossia lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0). N. B. Quando ciò accade il limite può essere calcolato semplicemente mediante sostituzione! FUNZIONE CONTINUA IN 𝒙𝟎 Definizione: Una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio 𝐷, con 𝑥0 appartenente al dominio e suo punto di accumulazione (𝑥0 𝐷 ∩ 𝐷′), è continua in 𝒙𝟎 se • esiste finito lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 e • 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎). Osservazioni: La condizione 𝑥0 𝐷 permette di calcolare 𝑓(𝑥0); la condizione 𝑥0 𝐷′ permette di calcolare lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 ; il limite deve essere finito perché solo così può essere uguale a 𝑓(𝑥0). LIMITE FINITO PER 𝒙 → 𝒙𝟎 Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio D con 𝑥0 ∈ 𝐷′ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝓵 se DEFINIZIONE TOPOLOGICA ∀ 𝐼 ℓ ∃ 𝐼𝛿 𝑥0 tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝛿 𝑥0 ∩ 𝐷 − 𝑥0 si ha 𝑓 𝑥 ∈ 𝐼 ℓ DEFINIZIONE METRICA ∀ 𝐼 ℓ = ℓ − 휀; ℓ + 휀 ∃ 𝐼𝛿 𝑥0 = (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 − 𝑥0 con 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 si ha ℓ − 휀 < 𝑓 𝑥 < ℓ + 휀 LIMITE FINITO PER 𝒙 → 𝒙𝟎 Esempio: lim 𝑥→−3 𝑓 𝑥 = 1 con −3 ∈ 𝐷′ ∀ 𝐼 1 = 1 − 휀; 1 + 휀 ∃ 𝐼𝛿 −3 = (−3 − 𝛿; −3 + 𝛿) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 − −3 con − 3 − 𝛿 < 𝑥 < −3 + 𝛿 si ha 1 − 휀 < 𝑓 𝑥 < 1 + 휀 LIMITE DESTRO PER 𝒙 → 𝒙𝟎 Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio D con 𝑥0 ∈ 𝐷′ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 + 𝒇 𝒙 = 𝓵 se DEFINIZIONE TOPOLOGICA ∀ 𝐼 ℓ ∃ 𝐼𝛿 + 𝑥0 tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝛿 + 𝑥0 ∩ 𝐷 si ha 𝑓 𝑥 ∈ 𝐼 ℓ DEFINIZIONE METRICA ∀ 𝐼 ℓ = ℓ − 휀; ℓ + 휀 ∃ 𝐼𝛿 + 𝑥0 = (𝑥0; 𝑥0 + 𝛿) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 con 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 si ha ℓ − 휀 < 𝑓 𝑥 < ℓ + 휀 LIMITE INFINITO PER 𝒙 → 𝒙𝟎 Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio D con 𝑥0 ∈ 𝐷′ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = ∞ se DEFINIZIONE TOPOLOGICA ∀ 𝐼𝑀 ∞ ∃ 𝐼𝛿 𝑥0 tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝛿 𝑥0 ∩ 𝐷 − 𝑥0 si ha 𝑓 𝑥 ∈ 𝐼𝑀 ∞ DEFINIZIONE METRICA ∀ 𝐼𝑀 ∞ = −∞;−𝑀 ∪ 𝑀;+∞ ∃ 𝐼𝛿 𝑥0 = (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 − 𝑥0 con 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 si ha 𝑓 𝑥 < −𝑀 ⋁𝑓 𝑥 > 𝑀 LIMITE INFINITO PER 𝒙 → 𝒙𝟎 Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio 𝐷 con 𝑥0 ∈ 𝐷′ se 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = ∞ la funzione ha asintoto verticale di equazione 𝒙 = 𝒙𝟎. ESEMPIO DI LIMITE DESTRO INFINITO lim 𝑥→−1+ 𝑓 𝑥 = −∞ −1 ∈ 𝐷′ ∀ 𝐼𝑀 −∞ = −∞;−𝑀 ∃ 𝐼𝛿 + −1 = (−1; −1 + 𝛿) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 con − 1 < 𝑥 < −1 + 𝛿 si ha 𝑓 𝑥 < −𝑀 asintoto verticale: 𝑥 = −1 ESEMPIO DI LIMITE FINITO PER 𝒙 → +∞ lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 0 D illimitato superiormente ∀ 𝐼 0 = −휀; +휀 ∃ 𝐼 ∞ = (𝑐; +∞) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 con 𝑥 > 𝑐 si ha −휀 < 𝑓 𝑥 < +휀 asintoto orizzontale 𝑦 = 0 LIMITE INFINITO PER 𝒙 → ∞ Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 di dominio D illimitato 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = ∞ se DEFINIZIONE TOPOLOGICA ∀ 𝐼𝑀 ∞ ∃ 𝐼𝑐 ∞ tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝑐 ∞ ∩ 𝐷 si ha 𝑓 𝑥 ∈ 𝐼𝑀 ∞ DEFINIZIONE METRICA ∀ 𝐼𝑀 ∞ = −∞;−𝑀 ∪ 𝑀;+∞ ∃ 𝐼𝑐 ∞ = (−∞; −𝑐)⋃(𝑐; +∞) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 con 𝑥 < −𝑐 ∨ 𝑥 > 𝑐 si ha 𝑓 𝑥 < −𝑀 ⋁𝑓 𝑥 > 𝑀 ESEMPIO DI LIMITE INFINITO PER 𝒙 → −∞ lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = +∞ D illimitato inferiormente ∀ 𝐼 +∞ = +𝑀;+∞ ∃ 𝐼 −∞ = (−∞; −𝑐) tale che ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 con 𝑥 < −𝑐 si ha 𝑓 𝑥 > 𝑀 Può esserci asintoto obliquo.
