Scarica Matematica Limiti.docx e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! LIMITI Il limite di una funzione è un’operazione (operatore) che permette di studiare il comportamento di una funzione nell’intorno di un punto e grazie al quale possiamo stabilire a quale valore tende la funzione man mano che i valori della variabile indipendente si approssimano a quel punto. STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UNA FUNZIONE IN PROSSIMITA’ DI UN CERTO TIPO DI PUNTI IN CUI NON E’ BEN DEFINITA L’operazione ha come entrate due elementi: una funzione f(x) ed il punto x0 in prossimità del quale vogliamo studiare il comportamento. • X0 può essere un qualsiasi valore reale e può anche essere +- infinito a patto che sia il punto di accumulazione per il dominio di una funzione • I limiti possono restituire come risultato sia un numero reale che +- infinito • Esistono 4 tipi di di limiti 1. Lim per x che tende ad un valore finito e che dà come risultato finito 2. Lim per x che tende ad un valore finito e che dà come risultato infinito 3. Lim per x che tende ad infinito e che dà come risultato valore finito 4. Lim per x che tende ad infinito e che dà come risultato infinito Consideriamo una funzione f:dom(f)cR_R, dall’espressione analitica y=f(x), e sia x0 un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Diciamo la funzione f(x) tende al valore c al tendere di x ad x0. Ci sono 4 possibilità in cui si può manifestare un limite infinito per x che tende ad un valore finito x0. • La funzione tende ad infinito con lo stesso segue a destra e a sinistra del punto. • La funzione tende ad infinito con segni opposti a destra e sinistra del punto Diciamo che per x tendente ad x0 la funzione f(x) tende a +- infinito se per ogni valore M>0 esiste un valore sigma>0, dipendente da M, tale che comunque si consideri x appartenente al dominio di f con 0<(x- x0)<sigma risulta allora che f(x)>M Diciamo che per x tendente ad x0 la funzione f(x) tende a -infinito se per ogni valore M>0 esiste un valore sigma>0, dipendente da M, tale che si consideri x appartenente al dominio di f con 0<(x-x0)<sigma allora risulta che f(x)<-M. Diciamo che per x tendente ad x0 la funzione f(x) tende a -infinito a sinistra e a +infinito a destra se: • Per ogni valore M1>0 esiste un valore sigma1>0, dipendente da M tale che si considera x appartenente al dominio f con 0<x0-x<sigma1, allora risulta che f(x)<-M1 • Per ogni valore M2>0 esiste un valore sigma2>0 dipendente da M2 tale che se si considera x0 appartenente dominio (f) con 0<x-x0<sigma2 allora risulta che f(x)>M2 NON ESISTENZA DI UN LIMITE Un limite che non esiste per x che tende ad infinito o ad un valore finito è un limite per il quale non è soddisfatta né la definizione di limite finito né quella di limite infinito. la non esistenza di un limite si manifesta quando non sussiste alcuna definizione di limite. Ci sono diversi modi in cui un limite per x che tende ad un valore finito può non esistere, perché il comportamento di una funzione a sinistra del punto può essere diverso rispetto all’andamento che assume a destra del punto. 1. Se i due limiti a destra e sinistra esistono finiti ma assumono valori diversi, il limite non esiste perché non è possibile dargli un valore unico
