Matematica prova intermedia 07/12/15, Prove d'esame di Matematica Generale

Scarica Matematica prova intermedia 07/12/15 e più Prove d'esame in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! Università Cattolica del Sacro Cuore - a.a. 2015-2016 Sede di Piacenza MATEMATICA GENERALE Prova intermedia 7 dicembre 2015: traccia n.1 Cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anno di corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risolvere i seguenti esercizi e riportarne la soluzione dei primi 3 nello spazio indicato: 1 Data la funzione fx  4 3x64 dire, motivando la risposta, quante soluzioni positive ammette l’equazione fx  0.5. Soluzione: ....................................................................................................(3) 2 Considerando la funzione fx dell’esercizio 1 dire, motivando la risposta, se la funzione Fx   0 x ftdt è convessa in −, 0. Soluzione:.............................................................................................. (3) 3 Della funzione gx  1−x 2 2x − 12 − 12 2 − e2−x se − 1 ≤ x ≤ 0 se 0  x  2 se x ≥ 2 calcolare  1 3 gxdx Soluzione:................................................................................................... (3) 4 Data la funzione Fx,y  e−x−4 2−y2 determinarne a. (2 punti) le curve di livello e la loro direzione di crescita; b. (3 punti) gli eventuali punti estremanti, caratterizzandone la natura; c. (3 punti) eventuali massimi e minimi sul vincolo y2  3y  x − 4  0, specificando se sono assoluti o relativi. Solutions n.1 1 Solution: Una sola, perchè f0,  0,1 e la funzione è monotona decrescente in 0,. 2 Solution: E’ convessa in quanto F ′x  fx è crescente in −, 0. 3 Solution: 29 6  1 e 4 Solution: Data la funzione Fx,y  e−x−4 2−y2 determinarne a. (2 punti) le curve di livello e la loro direzione di crescita; Le curve di livello sono le soluzioni di e−x−4 2−y2  k quindi dobbiamo considerare k  0. Si ha poi − x − 42 − y2  lnk x − 42  y2  − lnk Quindi le curve di livello esistono sse 0  k ≤ 1 e sono circonferenze di centro 4,0 e raggio r  ln 1 k . La loro direzione di crescita è dall’esterno verso l’interno come evidenziato in figura: b. (3 punti) gli eventuali punti estremanti, caratterizzandone la natura; Poichè la funzione ex è crescente, la funzione Fx,y avrà gli stessi punti stazionari (con la stessa natura) di Gx,y  −x − 42 − y2. Si ha Gx′ x,y  −2x − 4 Solutions n.2 1 116  1 e2 Solution: 2 Solution: Una sola, perchè f−, 0  − 65 , 0 e la funzione è monotona decrescente in −, 0. 3 Solution: E’ convessa in quanto F ′x  fx è crescente in 0,. 4 Solution: Data la funzione Fx,y  e−x2−3−y 2 determinarne a. (2 punti) le curve di livello e la loro direzione di crescita; Le curve di livello sono le soluzioni di ee −x2−3−y2  k quindi dobbiamo considerare k  0. Si ha poi − x2 − 3 − y2  lnk x2  3 − y2  − lnk Quindi le curve di livello esistono sse 0  k ≤ 1 e sono circonferenze di centro 0,3 e raggio r  ln 1 k . La loro direzione di crescita è dall’esterno verso l’interno come evidenziato in figura: b. (3 punti) gli eventuali punti estremanti, caratterizzandone la natura; Poichè la funzione ex è crescente, la funzione Fx,y avrà gli stessi punti stazionari (con la stessa natura) di Gx,y  −x2 − 3 − y2. Si ha Gx′ x,y  −2x Gy′ x,y  23 − y ed è immediato verificare che esiste un unico punto stazionario: A  0,3. Per quanto visto al punto precedente possiamo immediatamente concludere che A è un punto di massimo assoluto in cui la funzione vale F0,3  1. Alternativamente possiamo calcolare la matrice hessiana Hx,y  −2 0 0 −2 il cui determinante vale 4.Quindi il punto A è di massimo, in quanto le derivate parziali pure hanno segno negativo. c. (3 punti) eventuali massimi e minimi sul vincolo y − x2 − 3  3x  0, specificando se sono assoluti o relativi. Consideriamo ancora la funzione Gx,y e procediamo sostituendo il vincolo, essendo y  x2 − 3x  3. Si ha hy  Gx,x2 − 3x  3  10x2  6x3 − x4 e h′y  −2xx − 22x − 5 Quindi h è crescente per x  0 e per 2  x  52 . Ammette quindi ha un minimo relativo in x  2, che vale −8, e 2 massimi relativi in x  − 52 , che vale − 125 16 , e in x  0, che vale 0. Inoltre, poichè limx→ hx  − possiamo concludere che y  0 è un massimo assoluto, mentre gli altri 2 estremanti sono relativi. Ritornando alla funzione Fx,y abbiamo che  0,3 è punto di massimo assoluto che vale 1;  2,1 è punto di minimo relativo che vale e−8;   52 , 7 4  è punto di massimo relativo che vale e − 125 16 . Università Cattolica del Sacro Cuore - a.a. 2015-2016 Sede di Piacenza MATEMATICA GENERALE Prova intermedia 11 gennaio 2016: traccia n.1 Cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anno di corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risolvere i seguenti esercizi e riportarne la soluzione dei primi 3 nello spazio indicato: 1 Data la funzione fx  ln 10x 2 3−4x2 dire, motivando la risposta, se è invertibile; Soluzione: ....................................................................................................(3) 2 Determinare la primitiva Gx della funzione gx  xe−2x passante per il punto 0,1;. Soluzione:.............................................................................................. (3) 3 Calcolare, se possibile, l’integrale improprio  0  gxdx, dove gx è la funzione dell’esercizio 2. Soluzione:................................................................................................... (3) 4 Sia Fx,y  3y − x2y − 3x. a. (2 punti) Rappresentare nel piano cartesiano l’insieme di esistenza della funzione Gx,y  lnFx,y. b. (3 punti) Stabilire se A  9,27 è un punto stazionario di Fx,y e, in caso affermativo, studiarne la natura. A è stazionario anche per Gx,y? c. (3 punti) Stabilire se la funzione Fx,y ammette minimo nell’insieme S  x,y : y  4x. Università Cattolica del Sacro Cuore - a.a. 2015-2016 Sede di Piacenza MATEMATICA GENERALE Prova intermedia 11 gennaio 2016: traccia n.2 Cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anno di corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risolvere i seguenti esercizi e riportarne la soluzione dei primi 3 nello spazio indicato: 1 Determinare la primitiva Gx della funzione gx  xe3x passante per il punto 0,−1 Soluzione:.............................................................................................. (3) 2 Data la funzione fx  ln 6−2x 2 5x2 dire, motivando la risposta, se è invertibile; Soluzione: ...............................................................................................(3) 3 Calcolare, se possibile, l’integrale improprio  − 0 gxdx dove gx è la funzione dell’esercizio 1. Soluzione:................................................................................................ (3) 4 Sia Fx,y  x2 − 4yy  3x. a. (2 punti) rappresentare nel piano cartesiano l’insieme di esistenza della funzione Gx,y  lnFx,y; b. (3 punti) stabilire se A  −12,36 è un punto stazionario di Fx,y e, in caso affermativo, studiarne la natura. A è stazionario anche per Gx,y? c. (3 punti) Stabilire se la funzione Fx,y ammette minimo nell’insieme S  x,y : y  −2x. Solutions n.2 1 Solution: Gx  13 xe 3x − 19 e 3x − 89 2 Solution: Non è invertibile in quanto è una funzione simmetrica rispetto all’asse delle ordinate. 3 Solution:  − 0 gxdx  − 19 . 4 Solution: Sia Fx,y  x2 − 4yy  3x. a. (2 punti) rappresentare nel piano cartesiano l’insieme di esistenza della funzione Gx,y  lnFx,y; La funzione Gx,y è definita se Fx,y  0, cioè se x2 − 4yy  3x  0. Questo equivale a x2 − 4y  0 y  3x  0  x2 − 4y  0 y  3x  0 Otteniamo così la regione rappresentata in giallo nel grafico sottostante. b. (3 punti) stabilire se A  −12,36 è un punto stazionario di Fx,y e, in caso affermativo, studiarne la natura. A è stazionario anche per Gx,y? Si ha ∂Fx,y ∂x  −12y  2xy  9x2 ∂Fx,y ∂y  −12x − 8y  x2 ed è immediato verificare che ∂Fx,y∂x x−12,y36  0 − e ∂Fx,y∂y x−12,y36  0. Per studiarne la natura consideriamo la matrice hessiana Hx,y  18x  2y 2x − 12 2x − 12 −8 Calcolandola nel punto stazionario otteniamo la matrice H  −144 −36 −36 −8 il cui determinante vale −144. Quindi il punto è di sella e F−12,36  0. Il punto A non è stazionario per G, in quanto in esso la funzione non è definita. c. (3 punti) Stabilire se la funzione Fx,y ammette minimo nell’insieme S  x,y : y  −2x. Consideriamo la funzione hx  Fx,−2x  x8x  x2 La sua derivata è h′x  x3x  16 e quindi h è decrescente se − 163  x  0 e crescente altrove. Concludiamo che un punto di minimo relativo per F in S esiste in x  0,y  0 e vale F0,0  0. Tale minimo non è assoluto in quanto limx→− hx  . Ho = 0 y − 6x 2y + x y − 6x 6x − 6λ + 6 λ − 1 2y + x λ − 1 2λ − 2 che nel punto diventa Ho = 0 13 0 13 − 66 13 − 15 13 0 − 15 13 − 30 13 con determinante 390. Il punto A è quindi di massimo. Università Cattolica del Sacro Cuore - a.a. 2015-2016 Sede di Piacenza MATEMATICA GENERALE Prova intermedia 25 gennaio 2016: traccia n.2 Cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anno di corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risolvere i seguenti esercizi e riportarne la soluzione dei primi 3 nello spazio indicato: 1 Calcolare il limx→0 ∫ 0 x2 1−e−t2 dt x6 . Soluzione:.............................................................................................. (3) 2 Per quali valori del parametro a la funzione gx = 21 + x2 ln 1+x 3 se −1 < x ≤ 2 ax + a + 1 − 4 se x ≤ −1 ammette massimo assoluto in x = −1? Soluzione: ...............................................................................................(4) 3 Approssimare con una retta la funzione Fx = ∫ 2 x t2e−t 2 dt nell’intorno del punto x0 = 2 Soluzione:................................................................................................ (2) 4 Sia Fx,y = y3 − 3y2 + yx + 3 + x2 − 1. a. (4 punti) Determinare gli estremi liberi di Fx,y e caratterizzarne la natura. b. (4 punti) Stabilire se A = 1,−2 è un punto stazionario di Fx,y ristretta al vincolo 13 + x2 + xy − 3y2 = 0 e, in caso affermativo, dire se è massimo o minimo relativo. Solutions n.2 1 Solution: limx→0 ∫ 0 x2 1−e−t2 dt x6 = 1 3 2 Solution: a ≥ 2 3 Solution: La retta che approssima è y = 4e−4x − 2. 4 Solution: Sia Fx,y = y3 − 3y2 + yx + 3 + x2 − 1 a. (4 punti) Determinare gli estremi liberi di Fx,y e caratterizzarne la natura. Si ha ∇Fx,y = 2x + y, 3y2 − 6y + x + 3, quindi i punti stazionari sono le soluzioni di 2x + y = 0 3y2 − 6y + x + 3 = 0 cioè i punti A = − 3 4 , 3 2 , B = − 1 3 , 2 3 . La matrice hessiana è data da H = 2 1 1 6y − 6 e ha determinante positivo in A e negativo in B. Ne deduciamo che B è punto di sella e A è punto di minimo, essendo Fxx ′′ − 3 4 , 3 2 > 0 b. (4 punti) Stabilire se A = 1,−2 è un punto stazionario di Fx,y ristretta al vincolo 13 + x2 + xy − 3y2 = 0 e, in caso affermativo, dire se è massimo o minimo relativo. La funzione lagrangiana è Lλ,x,y = y3 − 3y2 + yx + 3 + x2 − 1 − λ13 + x2 + xy − 3y2, quindi il punto stazionario deve verificare il sistema 2x + y − λ2x + y = 0 3y2 − 6y + x + 3 − λx − 6y = 0 13 + x2 + xy − 3y2 = 0 Sostituendo in esso le coordinate 1,−2 otteniamo 2 − 2 − λ2 − 2 = 0 12 + 12 + 1 + 3 − λ1 + 12 = 0 13 + 1 − 2 − 12 = 0 cioè 0 = 0 −13λ + 28 = 0 0 = 0 e quindi A è un punto stazionario con λ = 28 13 . Per studiarne la natura consideriamo la matrice hessiana orlata