Scarica MECCANICA RAZIONALE UNIMERCATORUM e più Prove d'esame in PDF di Meccanica Razionale solo su Docsity! DOMANDE A meno di una costante, l'energia potenziale dell'attrazione gravitazionale ha forma:-k/r A meno di una costante, l'energia potenziale di una forza centrifuga è:-(m◜r2)/2 A meno di una costante, l'energia potenziale di una forza elastica è:kx2/2 Affinché in un campo conservativo un punto di equilibrio sia stabile. L'energia potenziale U deve:avere un minimo stretto Affinché un corpo sia in quiete:È sufficiente che la risultante delle forze esterne e dei momenti delle forze esterne sia nullo Applicando ad un campo scalare Φ(x,y,z) prima il gradiente e poi la divergenza:otteniamo lo scalare ΔΦ Applicando ad un campo vettoriale A(x,y,z) due volte l'operatore rotore:otteniamo un campo vettoriale Applicando ad un campo vettoriale A(x,y,z) prima il rotore e poi la divergenza:otteniamo lo scalare 0 Applicando ad un campo vettoriale A(x,y,z) prima la divergenza e poi il rotore:non è possibile applicare ad un campo vettoriale prima la divergenza e poi il rotore Applicando ad un filo un carico distribuito f che si mantiene sempre parallelo ad un versore k, risulta che:la funicolare è su un piano Blaise Pascal ha operato nel secolo:XVII Chiamata T l'energia cinetica espressa in coordinate generalizzate, essa sarà:positiva o uguale a zero Condizione affinché si verifichi il fenomeno del battimento è che interagiscano due onde:con frequenza simile Considerado in un riferimento (x,y,z) un cubo con facce orientate secondo le direzioni principali, uno sforzo σxx:agisce sulla faccia perpendicolare all'asse x in direzione parallela all'asse x Considerado in un riferimento (x,y,z) un cubo con facce orientate secondo le direzioni principali, uno sforzo σxy:agisce sulla faccia perpendicolare all'asse x in direzione parallela all'asse y Considerando un riferimento sferico, il valore dell'angolo θ (angolo tra il vettore posizione e l'asse z) per cui le formulazioni di velocità e accelerazione coincidono con quelle del riferimento cilincrico è:π/2 Considerando una sola particella, il lavoro virtuale è dato dal:prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore degli spostamenti virtuali Considerata una terna intrinseca (t, n, b) associata a un punto P(s) di un filo inestensibile, con s l'ascissa curvilinea, la tensione T(s) è:parallela a t Considerata una terna intrinseca (t, n, b) associata a un punto P(s) di un filo inestensibile, con s l'ascissa curvilinea, la tensione T(s) si può anche scrivere come:T(s)t Considerata una terna intrinseca (t, n, b) associata a un punto P(s) di un filo inestensibile, con s l'ascissa curvilinea. Se il filo è sottoposto a un carico distribuit f(s), il filo si dispone in modo che:la componente di f(s) su b è nulla Considerata una terna intrinseca (t, n, b) associata a un punto P(s) di un filo inestensibile, con s l'ascissa curvilinea. Se il filo è scarico, ovvero non è sottoposto a un carico distribuit f(s), il filo si dispone in modo che:la sua torsione sia nulla Considerati due corpi soggetti alla sola attrazione gravitazionale, se la reciproca distanza aumenta:la velocità diminuisce Data la rappresentazione parametrica P(ξ) della curva γ, il piano osculatore è definito:dalle derivate prima e seconda del vettore P(ξ) Data la terna intrinseca (τ,n,b), il versore binormale è definito dal:prodotto vettoriale τ x n Data una semisfera con la base (sezione massima) posta su un piano, se poniamo una biglia in equilibrio sulla sommita della semisfera, tale punto di equilibrio sarà:instabile Data una terna di versori i, j, k, applicando le formule di Poisson, la derivata temporale del versore k è:ω x k Data una terna intrinseca (t, n, b) in un punto P(s) lungo una curva su cui è stata definita l'ascissa curvilinea s; definita con k la flessione, si ha:dt/ds = kn Data una terna ortonormale i cui assi (x,y,z) sono diretti secondo i versori (i,j,k); il prodotto vettoriale k x (k x j) dà come risultato:-j Data un'onda di frequenza f, che si trasmette a velocità c, se l'osservatore è in moto verso la sorgente con velocità v, la frequenza percepita dall'osservatore è:f[1+(v/c)] Data un'onda di frequenza f, che si trasmette a velocità c, se la sorgente è in moto verso l'osservatore con velocità v, la frequenza percepita dall'osservatore è:f/[1-(v/c)] Date due onde con stesse caratteristiche (stesse ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda), l'interferenza distruttiva tra le due onde è tale da produrre un'onda nulla se la fase tra le due onde è:π Date due onde con stesse caratteristiche (stesse ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda), l'onda risultante ha ampiezza massima quando la fase tra le due onde è:0 Dati due vettori u e v, il loro prodotto vettoriale u x v dà come risultante:un vettore ortogonale a u e v Dati i vettori u = (1,-1,1) e v = (1,2,1), il prodotto scalare u ∙ v dà come risultato:0 Dati i vettori u = (1,2,1) e v = (2,0,1), il prodotto vettoriale u x v dà come risultato:(2,1,- 4) Dati tre vettori u, v, w dello spazio Rn, il prodotto scalare (u∙v)∙w:non ha senso Dati una terna fissa, ed una terna solidale ad un sistema rigido. Le direzioni i, j, k del riferimento solidale al corpo rigido non sono tempo-variabili quando:il corpo rigido è in quiete Dati una terna fissa, ed una terna solidale ad un sistema rigido:la posizione di ogni punto del sistema rigido è fissa rispetto al riferimento solidale al sistema rigido Dato il vettore u = (sin(t), cos(t), 2), l'integrale ∫u dt è pari a:(-cos(t), sin(t),2t) Dato il vettore u = (sin(t), cos(t), 2*t), la derivata du/dt è:(cos(t), -sin(t), 2) Dato il vettore u = (sin(z), cos(z), 2*x*y), la sua divergenza è:( 2*x + sin(z), cos(z) - 2*y, 0) Dato un anello omogeneo di raggio R e massa m posto sul piano Gxy delle terna baricentrica Gxyz, il momento d'inerzia Ixx è:mR^2/2 Dato un anello omogeneo di raggio R e massa m posto sul piano Gxy delle terna baricentrica Gxyz, il momento d'inerzia Izz (asse ortogonale all'anello) è:mR^2 Dato un corpo rigido in moto rotatorio, all'aumentare della distanza dall'asse di rotazione, il modulo della velocità:aumenta linearmente Il Lagrangiano di un punto materiale:non dipende dalle reazioni vincolari che agiscono sul punto Il Lagrangiano è sempre:uno scalare Il luogo dei punti caratterizzato da stessa pressione è detto:superficie isobarica Il luogo dei punti per i quali il coefficiente angolare della tangente alla curva integralele hanno lo stesso valore è detto:curva isoclina Il modulo della torsione è pari:al modulo della derivata del versore binormale rispetto all'ascissa curvilinea Il modulo di un vettore u=u(ξ), dipendente da una generica variabile ξ, è costante se e solo se:la sua derivata è sempre ortogonale al vettore stesso Il momento della coppia dei vettori v e u = -v è:un vettore normale al piano contenente le due rette di applicazione dei vettori Il momento della quantità di moto di un corpo rigido calcolato rispetto al suo baricentro in una terna solidale al corpo rigido stesso è:al prodotto tra la matrice d'inerzia e il vettore velocità angolare del corpo rigido Il momento di inerzia (I) di un anello sottile di massa m e raggio r rispetto ad un asse passante per il centro di massa e ortogonale al piano dell'anello è:I = m*r^2 Il momento di inerzia (I) di un cilindro omogeneo di massa m e raggio R rispetto all'asse del cilindro è:I = (1/2)*m*R^2 Il momento di inerzia (I) di un disco omogeneo di massa m e raggio R rispetto ad un asse passante per il centro di massa e ortogonale al disco è:I = (1/2)*m*R^2 Il momento di inerzia di un sistema di N particelle rispetto ad un asse è pari:alla somma dei prodotti di ciascuna massa per la distanza al quadrato della particella dall'asse Il momento d'inerzia rispetto all'asse ortogonale ad una figura composta piana ottenuta togliendo un quadrato di lato l da un quadrato di lato L (con L maggiore di l) è:dipendente sia da L che da l Il momento rispetto a un polo O di un vettore v applicato in P è nullo se:i vettori (P-O) e v sono paralleli Il moto di un riferimento baricentrico rispetto al riferimento inerziale è sempre:traslatorio Il moto di un satellite attorno ad un pianeta descrive traiettoria parabolica quando la sua eccentricità e è:pari a 1 Il moto è possibile solo quando:L'energia potenziale è minore o uguale dell'energia meccanica Il numero di spostamenti virtuali compatibili per un'asta incernierata ad un carrello con cerniera sono:due Il numero di spostamenti virtuali compatibili per un'asta vincolata con un incastro sono:zero Il numero di spostamenti virtuali compatibili per un'asta vincolata ad una cerniera sono:uno Il numero di spostamenti virtuali possibili per una particella libera nello spazio sono:tre Il numero di vincoli nell'esperimento noto come Pendolo di Foucault è pari a:uno Il numero di vincoli per un pendolo doppio nel piano sono:due Il numero di vincoli per un pendolo semplie nel piano sono:uno Il principio di conservazione del momento angolare per un sistema di punti materiali, afferma che il momento angolare del sistema si conserva sempre se:la risultante dei momenti dati dalle forze esterne è nulla Il principio di conservazione della quantità di moto per sistemi di punti materiali, afferma che la quantità di moto del sistema si conserva se:la risultante delle forze esterne al sistema è nulla Il prodotto tensoriale tra una matrice (n x m) e una matrice (p x q) ha dimensioni:np x mq Il prodotto tra il tensore T e il vettore q fornisce:un vettore p in generale diverso da q Il prodotto vettoriale tra vettori non gode della proprietà:associativa Il quadrato del periodo orbitale dipende:dal cubo del semiasse maggiore Il ritratto di fase di un oscillatore pendolo semplice somiglia a quello di un oscillatore armonico se:le oscillazioni sono piccole Il secondo principicio della dinamica (o seconda Legge di Newton):vale solo in riferimenti inerziali Il tensore degli sforzi per un fluido in quiete è una matrice:diagonale Il tensore degli sforzi riportato nella sua terna propria ha forma:diagonale Il tensore di inerzia è sempre:definito positivo Il tensore di inerzia è sempre:simmetrico Il teorema della divergenza permetta:di mettere in relazione un integrale di superficie a un integrale di volume Il teorema di composizione delle velocità angolari afferma che:la velocità angolare del punto nel riferimento fisso è pari alla somma vettoriale della velocità angolare relativa e della velocità angolare di trascinamento Il teorema di Galileo afferma che la velocità assoluta di un punto (rispetto ad un osservatore fisso) è dato dalla:dalla somma vettoriale della velocità relativa rispetto all'osservatore mobile e della velocità di trascinamento dell'osservatore mobile rispetto al fisso Il Teorema di Huygens-Steiner afferma che il momento di inerzia calcolato rispetto ad un generico asse parallelo a quello passante per il baricentro è:pari al momento d'inerzia calcolato rispetto all'asse per il baricentro maggiorato di un termine pari al prodotto della massa per la distanza tra i due assi al quadrato Il teorema di König è noto anche come:teorema di decomposizione dell'energia cinetica Il teorema di König permette di scrivere l'energia cinetica come:la somma di un termine dipendente dalla velocità del baricentro e di un termine che dipende dalle velocità rispetto al baricentro Il teorema di variazione dei momenti permette di:calcolare il momento risultante quando si sposta il polo Il terzo principio della dinamica:esprime il principio di azione e reazione Il trinomio invariante è dato dal:prodotto scalare del momento risultante per il vettore risultante Il valore della densità dell'aria in condizioni standard al livello del mare è dell'ordine di:1.2 kg/m3 Il valore della densità dell'aria in condizioni standard alla quota di circa 15 km è prossima0.2 kg/m3 Il valore della densità dell'aria in condizioni standard all'aumentare della quota:Si dimezza ogni 5 km Il vettore che, sommato al vettore u = (2,1,1), dà come risultante il vettore w = (3,-2,2) è:v = (1,-3,1) Il vettore che, sottratto al vettore u = (2,1,1), dà come risultante il vettore w = (0,-1,2) è:v = (-2,-2,1) Il vettore risultante di un sistema di vettori applicati è:un vettore libero pari alla somma vettoriale dei vettori componenti il sistema Il volume del solido definito dai vettori u = (1,0,1), v = (2,0,0), w = (0,1,2) è:2 In caso di attrito Newtoniano, per un tempo sufficientemente lungo la velocità converge:a zero In caso di attrito secondo Stokes, per un tempo sufficientemente lungo la velocità converge:a un valore limite finito in generale non-nullo In caso di rotazione stazionaria, le equazioni di Eulero:sono soddisfatte a patto che due componenti della velocità angolare sia uguale a zero In caso di urto tra due corpi, la quantità di moto del sistema:si conserva sia per urti perfettamente elastici che anelastici In caso di urto tra due corpi, l'energia cinetica del sistema:non si conserva per urti anelastici In caso di urto tra due corpi, l'energia cinetica del sistema:si conserva solo per urti perfettamente elastici In presenza di forze non conservative:l'energia totale è costante In presenza di un incastro, spostamento virtuale compatibile è:nessuno In presenza di una forza dissipativa:l'energia meccanica diminuisce In un campo conservativo, la forza che caratterizza il campo è data dal:gradiente del campo potenziale considerato col segno meno In un campo conservativo, la velocità è nulla se:E = U In un campo conservativo, la velocità è reale (non-nulla) se:(E - U) > 0 In un campo conservativo, le posizioni di equlibrio si hanno:per massimi e minimi del potenziale In un moto armonico di un punto materiale di massa m dovuto ad una forza elastica descritta attraverso la costante elastica k, la pulsazione è:m/k In un moto armonico di un punto materiale di massa m dovuto ad una forza elastica descritta attraverso la costante elastica k, la frequenza è:proporzionale alla pulsazione In un moto armonico di un punto materiale di massa m dovuto ad una forza elastica descritta attraverso la costante elastica k, il periodo del moto:diminuisce se la costante elastica aumenta In un moto armonico smorzato che soddisfi la condizione βla frequenza delle oscillazioni è minore di quella propria del sistema In un moto armonico smorzato, il coefficiente β ha dimensioni:[kg/s] In un moto armonico, l'accelerazione presenta una fase rispetto all'equazione del moto x(t) pari a:π In un moto armonico, l'introduzione di una fase φ:anticipa/ritarda il moto In un moto centrale di un corpo di massa m, con momento angolare l e raggio vettore r, il modulo della velocità angolare è:l/(mr2) La quantità di moto totale del sistema rispetto al baricentro è:nulla La reazione opposta su un fluido dalle pareti di un vaso riempito di fluido sono:perpendicolari alle pareti La tensione si misura in:[N] La terza formula di Frenet:permette di correlare la derivata del versore binormale rispetto all'ascissa curvilinea alla torsione La terza legge di Keplero riguarda:il periodo orbitale La traccia di una matrice è:la somma dei termini sulla diagonale principale La velocità di fuga dalla Terrà è pari a circa:11200 m/s La velocità di ogni punto è:ortogonale al vettore che congiunge il punto al centro di istantanea rotazione La velocità di propagazione del suono nell'aria in condizioni standard è:dell'ordine dei 330 m/s La velocità di rivoluzione della Terra attorno al Sole è dell'ordine dei:30 km/s La velocità relativa tra due punti del corpo rigido in moto traslatorio è:nulla La vis viva è:l'energia cinetica L'accelerazione complementare di Coriolis non è nulla se:la velocità relativa del punto è perpendicolare alla velocità angolare con cui ruota la terna mobile L'accelerazione di trascinamento è dovuta:al moto dell'osservatore mobile rispetto all'osservatore fisso L'algebra delle parentesi di Poisson si deve a Siméon-Denis Poisson, matematico francese attivo tra i secoli:XVIII-XIX L'angolo formato tra i vettori u = (1,1,0) e v = (0,1,0) è:π/4 L'angolo formato tra l'asse Z di una seconda terna OXYZ, ottentuta con tre successive rotazioni a partire da una terna Oxyz, e l'asse z della prima terna si chiama:angolo di nutazione L'angolo, formato nel piano xy di una prima terna Oxyz, tra l'asse x e la linea dei nodi si chiama:angolo di precessione L'angolo, formato nel piano XY di una seconda terna OXYZ, ottentuta con tre successive rotazioni a partire da una terna Oxyz, tra la linea dei nodi e l'asse x si chiama:angolo di rotazione propria L'attrazione gravitazionale esercitata dal Sole sulla Terra è un esempio di forza:centrale L'attrito dinamico è, generalmente:minore di quello statico Le coordinate Lagrangiane hanno la dimensione:dipendente da come esse vengono scelte Le coordinate libere del cosiddetto Pendolo di Foucault è pari a:due Le curve di livello dell'energia:non si intersecano Le curve integrali del moto di un punto soggetto a forze conservative sono:le curve di livello dell'energia meccanica Le dimensioni dei carichi distribuiti su un filo monodimensionale sono:[N/m] Le dimensioni del coefficiente di compressibilità sono:È adimensionale Le dimensioni del coefficiente di Poisson sono:È adimensionale Le dimensioni del coefficiente β nell'attrito secondo Stokes sono:[kg/s] Le dimensioni del coefficiente γ dell'attrito Newtoniano sono:[kg/m] Le dimensioni del Lagrangiano sono quelle:di un'energia Le dimensioni del modulo di Young sono:[N/m2] Le dimensioni del momento d'inerzia (I) sono:kg*m^2 Le dimensioni del peso specifico sono:[N/m3] Le dimensioni della cedevolezza sono:[1/Pa] Le dimensioni della costante gravitazionale nel Sistema Internazionale sono:m3/(kg·s2) Le dimensioni della potenza sono:kg · m2/s3 Le dimensioni di un cubo sottoposto a uno sforzo monoassiale σx è invariato dopo la deformazione solo quando il coefficiente di Poisson è pari a:0.5 Le dimensioni di un lavoro virtuale sono:[N*m] Le due direzioni di un riferimento polare sono:radiale e trasversa Le equazioni cardinali della dinamica nello spazio tridimensionale:costituiscono un set di sei equazioni scalari Le equazioni cardinali della statica:sono condizione necessaria e sufficiente alla quiete di un corpo rigido Le equazioni del moto espresse in termini di momenti coniugati:sono equazioni differenziali del primo ordine Le equazioni di Hamilton permettono di ricavare la traiettoria:nello spazio delle fasi Le equazioni di Lagrange sono un set di:equazioni differenziali del secondo ordine Le funzione di Hamilton (o Hamiltoniana) ha le stesse dimensioni:della Lagrangiana Le leggi del moto nello spazio delle configurazioni n-dimensionale, richiede la conoscenza di:2*n condizioni iniziali Le soluzioni del sistema normalizzato hanno generalmente forma:esponenziale L'effetto Doppler produce sempre:una variazione della frequenza percepita dall'osservatore L'energia cinetica di un punto materiale:dipende dal quadrato della velocità L'energia cinetica per un punto soggetto alla forza di richiamo elastica di una molla dipende:dalla velocità del punto materiale L'energia per unità di lunghezza (o densità lineare di energia) si può misurare in:[J/m] L'energia per unità di lunghezza (o densità lineare di energia), nel SI ha dimensioni:[N] L'energia potenziale del pendolo doppio nel piano di cui è stato dato esempio dipende:dalla sola forza peso L'energia potenziale del problema dei due corpi dipende:dall'inverso della distanza tra i due corpi L'energia potenziale della forza peso può avere forma:mgz L'energia potenziale di un campo conservativo:È sempre definita a meno di una costante L'energia potenziale per un punto soggetto alla forza di richiamo elastica di una molla dipende:quadraticamente dall'elongazione della molla L'enunciato del principio dei lavori virtuali è attribuito a:Lagrange L'esperimento del pendolo di Foucault fu realizzato per la prima volta nel:1851 L'impulso finito I di una forza ha le stesse dimensioni:di una quantità di moto Linearizzando un qualunque sistema di n equazioni differenziabili linearmente indipendenti in n variabili indipendenti, la matrice A (operatore lineare) calcolata in un punto di equilibrio sarà certamente:quadrata L'intensità dello sforzo normale esercitato in un punto di un fluido in quiete non dipende dall'orientazione del versore n, ovvero non dipende dall'orientamento dell'elemento che subisce lo sforzo. È l'enunciato del principio di:Pascal L'intensità dell'onda piana longitudinale si misura in:[W/m2] Lo strumento che permette di passare dal Lagrangiano all'Hamiltoniana è:la trasformata di Legendre Lungo una superficie equipotenziale:l'energia potenziale è costante Nei punti di equilibrio di un moto unidimensionale sull'asse x:dU/dx=0 Nei sistemi a guadagno di massa, se M è la massa, la quantità dM/dt è:positiva Nei sistemi a perdita di massa, se M è la massa, la quantità dM/dt è:negativa Nel corso XVIII secolo, un importante contributo allo studio della dinamica dei corpi fu dato da:Leohnard Euler Nel cosiddetto ponte sospeso, un filo inestensibile sostiene un piano stradale sottostante di massa M mediante dei tiranti. Circa la tensione possiamo affermare che:la componente parallela al piano strada (Tx) è costante Nel cosiddetto ponte sospeso, un filo inestensibile sostiene un piano stradale sottostante mediante dei tiranti. L'andamento della tensione Ty sull'asse perpendicolare al piano stradale è: rettilinea Nel cosiddetto ponte sospeso, un filo inestensibile sostiene un piano stradale sottostante mediante dei tiranti. Il peso del piano stradale costituisce per il filo:un carico distribuito Nel cosiddetto ponte sospeso, un filo inestensibile sostiene un piano stradale sottostante mediante dei tiranti. La forma della funicolare è:parabolica Nel fenomeno dei battimenti, l'ampiezza dell'onda risultante è massima quando:le due onde sono in fase Nel fenomeno dei battimenti, l'ampiezza dell'onda risultante è nulla quando:le due onde sono controfase Nel formalismo Hamiltoniano, se qn è una vairbile ciclica si ha:∂H/∂qn = 0 Nel formalismo Hamiltoniano, se qn è una vairbile ciclica si ha:dpn/dt= 0 Nel formalismo Hamiltoniano, se qn è una vairbile ciclica si ha:pn = costante Nel moto di un pianeta attorno al Sole, la velocità del pianeta è:diminuisce se il raggio vettore aumenta Nel pendolo balistico:si ha un urto completamente anelastico Nel piano delle fasi (x, y), per il punto singolare detto punto di inversione del moto si ha:sempre y = 0 Nel piano, i parametri liberi di un punto materiale che si muove su un'asta che ruota in moto circolare uniforme di velocità angolare nota attorno ad un punto fisso di coordinate note sono:uno Nel piano, un punto materiale di massa m è in moto vincolato su una parabola di equazione y = x^2/a. Se la gravità è diretta lungo la direzione -y, l'energia potenziale dovuta alla forza peso è:mgx^2/a Nel problema dei due corpi di massa m e M, la massa relativa è:(mM)/(m+M) Per onde stazionarie, l'onda raggiunge l'ampiezza massima:all'antinodo Per un campo conservativo, ad una diminuzione dell'energia cinetica corrisponderà:una riduzione del modulo della velocità Per un campo conservativo, ad una diminuzione dell'energia potenziale corrisponderà:un aumento dell'energia cinetica Per un corpo in rotazione soggetto alla sola forza centrifuga. Se il corpo si allontana dal centro:la velocità aumenta Per un corpo posto su un piano orizzontale che presenti attrito statico e sottoposto a una forza F, l'attrito statico sarà un vettore:parallelo al piano con verso opposto alla forza applicata Per un corpo posto su un piano orizzontale che presenti attrito statico e sottoposto a una forza F, la reazione vincolare risultante A + R offerta dal piano sarà, in generale:diretto secondo una direzione qualunque né parallela, né ortogonale al piano Per un corpo rigido in rotazione, di matrice di inerzia I, il momento angolare rispetto al centro di massa è:I·ω Per un corpo rigido, la componente di energia cinetica relativa al moto del corpo rigido attorno al baricentro:dipende dai momenti d'inerzia Per un corpo rigido, la matrice di inerzia calcolata rispetto a un riferimento baricentrico solidale al corpo rigido stesso è:costante Per un cubo elementare, in condizioni di equilibrio statico e in assenza di momenti che agiscano sul corpo, gli sforzi indipendenti sono:sei Per un filo molto teso su un piano con attrito, considerata la terna di Frenet (t, n, b):È nulla la sola componente lungo b della reazione vincolare Per un filo molto teso su un piano liscio (privo di attrito), considerata la terna di Frenet (t, n, b) è sempre vero che:la reazione vincolare ha componente solo su n Per un filo molto teso su un piano liscio (privo di attrito), considerata la terna di Frenet (t, n, b):sono nulle le componenti lungo b e t della reazione vincolare Per un filo molto teso su un piano liscio (privo di attrito), la funicolare:si dispone con la normale coincidente alla normale del piano su cui il filo è teso Per un filo molto teso su un piano qualunque (liscio o con attrito) , considerata la terna di Frenet (t, n, b) è sempre vero che:la componente su b della reazione vincolare del piano è nulla Per un filo molto teso, che descrive una curva con ascissa curvilinea s, su un piano liscio (privo di attrito), la tensione T:È tale che dT/ds = 0 Per un filo posto su una cuva di ascissa curvilinea s sottoposto a un carico distribuito f(s). Se T(s) è la tensione, l'equazione indefinita di equilibrio è:f(s) + dT(s)/ds = 0 Per un filo scarico, la funicolare è:una retta Per un filo scarico:la tensione è costante sul filo Per un filo sottoposto ad un carico distribuito di natura conservativa, il cui campo generi un'energia potenziale per unità di lunghezza U. Data la tensione T, risulta costante il valore:T+U Per un filo sottoposto ad una tensione T la reazione vincolare del filo sarà R. Il rapporto tra T ed R è tale che risulta sempre:T x R = 0 Per un fluido in equilibrio, il rapporto tra forza esterna F e pressione p è:F = grad(p) Per un materiale duttile:la frattura avviene dopo la fase di snervamento Per un materiale fragile:la frattura avviene nel tratto elastico della curva sforzo/deformazione Per un moto centrale, la formula di Binet mette in relazione:accelerazione radiale e velocità areale Per un moto circolare uniforme (raggio costante, velocità angolare costante) descritto in un riferimento polare, l'accelerazione ha componente:solo radiale Per un moto piano descritto in un riferimento polare e tale per cui raggio si mantenga costante, la velocità ha componente:solo trasversale Per un moto piano descritto in un riferimento polare, la velocità ha componente:sia radiale che trasversale Per un moto piano descritto in un riferimento polare, l'accelerazione ha componente:sia radiale che trasversale Per un moto piano il vettore trasverso (eθ) del riferimento polare è:ortogonale al versore radiale Per un nodo stabile, nel piano delle fasi le traiettorie:convergono nell'origine Per un punto di sella, nel piano delle fasi le traiettorie sono:rami di iperbole Per un punto in moto nello spazio curvo, l'accelerazione centripeta ha modulo:pari al quadrato del modulo della velocità diviso il raggio di curvatura Per un punto in moto uniforme nello spazio curvo:l'accelerazione ha solo componente centripeta Per un punto materiale nel piano in moto su una circonferenza di raggio noto, le coordinate generalizzate sono:una Per un punto materiale nello spazio il cui moto sia vincolato su una sfera di raggio noto, le coordinate generalizzate sono:due Per un punto materiale soggetto ad una forza di richiamo, dimensionalmente la funzione Lagrangiana è:un'energia Per un satellite posto in orbita circolare, se E è l'enegia meccanica totale, U l'energia potenziale e T l'energia cinetica, risulta:U = -2T Per un satellite posto in orbita circolare, se E è l'enegia meccanica totale, U l'energia potenziale e T l'energia cinetica, risulta:E = -T Per un settore circolare omogeneo, il momento d'inerzia rispetto all'asse ortogonale alla figura è:indipendente dall'ampiezza angolare del settore circolare (α) Per un sistema a N particelle nello spazio tridimensionale, il sistema è isostatico se, chiamato s il numero di vincoli, risulta:s = 3*N Per un sistema autonomo di Hamiltoniana H(p,q), coincidente con l'energia totale del sistema, sono punti di equilibrio stabile:i punti di minimo e di massimo dell'Hamiltoniana Per un sistema caratterizzato da vincoli olonomi, bilaterali, perfetti ed indipendenti dal tempo, il legame tra Hamiltoniana H(p,q), energia cinetica T(p,q) ed energia potenziale U(p,q) è:H(p,q) = T(p,q) + U(q) Per un sistema caratterizzato da vincoli olonomi, bilaterali, perfetti ed indipendenti dal tempo, il legame tra Hamiltoniana H(p,q), Lagrangiano L(p,q) ed energia cinetica T(p,q) è:H(p,q) = 2T(p,q) - L(p,q) Per un sistema caratterizzato da vincoli olonomi, bilaterali, perfetti ed indipendenti dal tempo, il legame tra Energia totale E(p,q), Lagrangiano L(p,q) ed energia cinetica T(p,q) è:L(p,q) = T(p,q) - 2E(p,q) Per un sistema caratterizzato da vincoli olonomi, bilaterali, perfetti ed indipendenti dal tempo, l'Hamiltoniana H(p,q) si può misurare in:Joule Per un sistema caratterizzato da vincoli olonomi, bilaterali, perfetti ed indipendenti dal tempo, di energia cinetica T(p,q) e Hamiltoniana H(p,q), il prodotto tra i momenti coniugati e le velocità generalizzate è sempre pari a:2T(p,q) Per un sistema conservativo legato ad un campo centrale di potenziale dipendente solo dal raggio r, il legame tra Hamiltoniana H(p,q), energia cinetica T(p,q) ed energia potenziale U(p,q) è:U(q) = H(p,q) - T(p,q) Per un sistema di N particelle nello spazio, non rigidamente collegate tra loro, sottoposte a s vincoli, il numero n dei parametri liberi è:n = 3N - s Per un sistema massa/molla, in assenza di attrito, il punto di equilibrio è:stabile Per un sistema massa/molla, in presenza di attrito, il punto di equilibrio è:asintoticamente stabile Per un tensore T anti-simmetrico:gli elementi sulla diagonale sono nulli Per una particella libera, definite con T(p,q), U(p,q) e L(p,q) l'energia cinetica, l'energia potenziale e la Lagrangiana, l'Hamiltoniana H(p,q) è:H(p,q) = T(p,q) Per una particella siano noti il vettore F della risultante delle forze esterne, il vettore R della risultante delle reazioni vincolari e il vettore forza di inerzia J, l'equazione del moto Newtoniana si scrive:F + R + J = 0 Per una trave nel piano, il pattino blocca:una traslazione e la rotazione Per una trave nel piano, la cerniera a terra blocca:entrambe le traslazioni ma non la rotazione Per una trave nel piano, l'incastro blocca:entrambe le traslazioni e la rotazione Per una trave nel piano, l'incastro blocca:una traslazione e la rotazione Per una trave nel piano, un carrello con cerniera blocca:una traslazione e la rotazione Peter Gustav Lejeune Dirichlet appartiene al secolo:XIX Poiché la velocità areale è costante, l'accelerazione in un moto centrale:ha solo componente radiale Quando due corpi aventi la stessa massa m si scontrano in un urto centrale elastico con velocità distinta:dopo l'urto, ognuno dei due corpi avrà l'energia cinetica che aveva l'altro prima dell'urto Quando il tensore degli sforzi è scritto in forma diagonale e tutti gli elementi della diagonale sono non nulli, siamo in presenza di:sforzo triassiale Quando il tensore degli sforzi scritto in forma diagonale ha solo un elemento σi non nullo e negativo, siamo in presenza di:una compressione monoassiale Quando un corpo di masa considerevole M urta con velocità V una piccola massa m inizialmente ferma (con urto centrale perfettamente elastico); in prima approssimazione possiamo affermare che:l'energia cinetica del corpo di massa maggiore si conserva Se μ è il parametro gravitazionale di un pianeta, l'energia meccanica totale (per unità di massa) di un satellite in orbita ellettica di semiasse maggiore a è:E =- μ/(2a) Se σ è lo sforzo, ε l'allungamento relativo e k la cedevolezza, la legge di Hooke è:ε = kσ Se σ è lo sforzo, ε l'allungamento relativo ed E il modulo di Young, la legge di Hooke è:σ = εE Si abbia un sistema di dimensione n = 2 e sia il punto (x0,y0) un suo punto di equilibrio. Se la matrice Jacobiana J calcolata in tale punto, ovvero la J(x0,y0), ha due autovalori complessi e coniugati a parte reale positiva, il punto di equilibrio è un punto:repulsore Si abbia un sistema di dimensione n = 2 e sia il punto (x0,y0) un suo punto di equilibrio. Se la matrice Jacobiana J calcolata in tale punto, ovvero la J(x0,y0), ha due autovalori complessi e coniugati a parte reale negativa, il punto di equilibrio è un punto:attrattore Si abbia un sistema di dimensione n = 2 e sia il punto (x0,y0) un suo punto di equilibrio. Se la matrice Jacobiana J calcolata in tale punto, ovvero la J(x0,y0), ha due autovalori reali e positivi, il punto di equlibrio è:un nodo instabile Si abbia un sistema di dimensione n = 2 e sia il punto (x0,y0) un suo punto di equilibrio. Se la matrice Jacobiana J calcolata in tale punto, ovvero la J(x0,y0), ha due autovalori puramente immaginari, il punto di equlibrio è:un centro Si abbia un sistema di dimensione n = 2 e sia J(x,y), lo Jacobiano del sistema, se il determinante |detJ(x,y)| = 0.5, il sistema è:il sistema è contrattivo Si abbia un sistema di dimensione n = 2 e sia J(x,y), lo Jacobiano del sistema, se il determinante |detJ(x,y)| = 1, il sistema è:il sistema è conservativo Si abbia un sistema di dimensione n = 2 e sia J(x,y), lo Jacobiano del sistema, se il determinante |detJ(x,y)| = 2, il sistema è:il sistema è espansivo Si abbia una particella in moto vincolato ad una curva fissa. La curva è liscia se:la componente tangente alla curva della reazione vincolare è nulla Si considerino N punti materiali di massa m (hanno tutti la stessa massa) allineati su una comune direzione e collegati ai punti contigui tramite molle. I parametri liberi del problema dipendono:dal numero di punti vincolati (fissi) Si considerino N punti materiali di massa m (hanno tutti la stessa massa) allineati su una comune direzione e collegati ai punti contigui tramite molle. Se il primo e l'ultimo punto materiale hanno posizione fissa, i parametri liberi del problema sono:N - 2 Si ha smorzamento critico quando il parametro β:È pari a 𕔈km Sia data una coordinata generalizzata q e sia L la lagrangiana del sistema. Il momento generalizzato p associato alla coordinata generalizzata q si ottiene:derivando L parzialmente rispetto alla velocità generalizzata associata a q Sia data una coordinata generalizzata q e sia L la lagrangiana del sistema. La derivata temporale del momento generalizzato p associato alla coordinata generalizzata q si ottiene:derivando L parzialmente rispetto a q Sia data un'asta omogenea monodimensionale di lunghezza L e massa m posta sull'asse y di un sistema baricentrico Gxyz. Il momento d'inerzia Izz è:mL^2/12 Sia dato un rettangolo omogeneo di massa m e lati a, b posto sul piano Gxy di una terna destra baricentrica Gxyz. Il momento d'inerzia rispetto all'asse x è pari a:Ixx=Izz- Iyy Sia dato un rettangolo omogeneo di massa m e lati a, b posto sul piano Oxy di una terna destra Oxyz. Il momento d'inerzia rispetto all'asse z (ortogonale al rettangolo) è:m(a^2+b^2)/3 Sia L* la Lagrangiana ridotta del problema di Keplero, U l'energia potenziale ed E l'energia. Le traiettorie saranno inidivudabili a partire dall'equazione:E = L* + 2U Sia r la distanza dal centro di un pianeta, l'accelerazione gravitazionale varia come:1/(r^2) Sia T l'energia cinetica e U l'energia potenziale. Il Lagrangiano si scrive:T - U Siano: T l'energia cinetica, U l'energia potenziale e L il Lagrangiano. L'energia meccanica: L + 2U Sull'asse centrale di un sistema di vettori:il momento risultante è minimo Un forza elastica dipende sempre:dalla posizione Un moto rigido rotatorio è univocamente definito:da un asse di rotazione e una velocità angolare Un punto materiale è in moto su un'ellisse in un riferimento, con origine nel centro dell'ellisse, in cui l'asse x è orientato secondo il semiasse maggiore (a) e l'asse y secondo il semiasse minore (b). Il punto è soggetto alla forza di gravità diretta nel verso negativo dell'asse y. Si può affermare che:sono punti di equilibrio le intersezione dell'ellisse con l'asse y Un punto P è vincolato a muoversi lungo una retta parallela all'asse y. Tale situazione rappresenta un vincolo:fisso Un sistema di cui possiamo conoscere le equazioni del moto per ogni tempo è detto:continuo Un sistema di particelle è in equilibrio per ogni configurazione per cui:le forze generalizzate sono tutte nulle Un sistema di vettori applicati si dice equilibrato se:È riducibile a un sistema di vettori tali che il vettore risultante e momento risultante sono nulli Un sistema è isostatico quando:il numero dei vincoli è pari al numero dei gradi di libertà del sistema Un sistema è labile quando:il numero dei vincoli è inferiore al numero dei gradi di libertà del sistema Un sistema la cui evoluzione dipende esplicitamente dal tempo è detto:non autonomo Un sistema la cui evoluzione non dipende esplicitamente dal tempo è detto:autonomo Un sistema la cui evoluzione viene data a tempi finiti è detto:discreto Un tensore del primo ordine è:un vettore Un tensore del seoondo ordine:può sempre essere scritto come somma di un tensore simmetrico e di uno antisimmetrico Un tensore simmetrico è completamente definito da:sei parametri Un teorema fondamentale nell'ambito della stabilità è attribuito a:Lagrange-Dirichlet Un vettore applicato è:un vettore di cui è definito il suo punto di applicazione P Un vincolo bilaterale:È descritto da un'equazione Un vincolo cinematico:dipende dalla velocità Un vincolo geometrico:non dipende dalla velocità Un vincolo mobile:dipende dal tempo Un vincolo non-olonomo è sempre:non-integrabile Un vincolo olonomo è sempre:integrabile Un vincolo reonomo:dipende dal tempo Un vincolo scleronomo è sempre:non-dipendente dal tempo Un vincolo scleronomo:non dipende dal tempo Un vincolo unilaterale:È descritto da una disequazione Una curva di rappresentazione parametrica u(ξ) con ξ appartenten all'intervallo [a,b] si dice semplice nell'intervallo [a,b]:se non ha punti multipli in [a,b] Una curva di rappresentazione parametrica u(ξ) si dice regolare nell'intervallo di definizione [a,b] se:È derivabile in [a,b] e la sua derivata sia continua in tale intervallo Una forza centrale dipende sempre:dalla posizione Una forza concentrata si misura in:[N] Una forza generalizzata (cioè espressa in coordinate generalizzate) ha dimensioni:dipendenti da come sono state scelte le coordinate generalizzate Una forza viscosa dipende sempre:dalla velocità Una funzione di Hamilton (o Hamiltoniana) di un sistema autonomo dipende da:dalle coordinate generalizzate e dai momenti coniugati Una funzione di Hamilton (o Hamiltoniana) di un sistema non autonomo dipende da:dalle coordinate generalizzate, dai momenti coniugati e dal tempo Una funzione di Lagrange (o Lagrangiano) di un sistema autonomo dipende da:dalle coordinate generalizzate e dalle velocità generalizzate Una funzione di Lagrange (o Lagrangiano) di un sistema non autonomo dipende da:dalle coordinate generalizzate, dalle velocità generalizzate e dal tempo Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (d2x/dt2) = 1 è:x(t) = (1/2)*t^2+t Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (d2x/dt2) = sin(t) è:x(t) = -sin(t) + t Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (d2x/dt2) = t è:x(t) = (1/6)*t^3 + t Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (d2x/dt2) = 1/t è:x(t) = t*(log(t) - 1) Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (d2x/dt2) = e^(t) è:x(t) = e^(t) + t Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (dx/dt) = 3 è:x(t) = 3t + c Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (dx/dt) = 3t è:x(t) = 3t + c Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (dx/dt) = 3x è:x(t) = c*e^(3t) + c Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (dx/dt) = log(t) è:x(t) = t*(log(t) - 1) + c Una possibile soluzione dell'equazione differenziale (dx/dt) = sin(t) è:x(t) = -cos(t) +c Una rotazione stazionaria attorno ad un asse di inerzia intermedia è:mai stabile Una rotazione stazionaria attorno ad un asse di massima inerzia è:sempre stabile Una rotazione stazionaria attorno ad un asse di minima inerzia è:sempre stabile