MERCATORUM PANIERE ANALISI 2 OTTOBRE 2023, Panieri di Analisi 2, Prove d'esame di Analisi Matematica II

Scarica MERCATORUM PANIERE ANALISI 2 OTTOBRE 2023, Panieri di Analisi 2 e più Prove d'esame in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity! CALCOLARE (SE ESISTE) IL SEGUENTE LIMITE: LIM(X,Y)→(0,0) (X3Y /X4 + Y2) e il limite esiste e vale 0 CALCOLARE L'INTEGRALE DOPPIO: I = ∭T (Z+1)/(1 + X2 + Y2) DXDYDZ, T= {(X,Y,Z)/X2 + Y2 ≤ 1,0 ≤ Z ≤ 1 } 3π/2 log2 CALCOLARE L'INTEGRALE DOPPIO: I=∬T X2/(1+XY) DXDY OVE T È IL DOMINIO IN FIGURA log2 = 1/2 CALCOLARE L'INTEGRALE TRIPLO I∭T X2 DXDYDZ, {T=(X,Y,Z)/ X2/4 + Y2+Z2 ≤1} 32/15pigreco CALCOLARE L'INTEGRALE TRIPLO I (SIMBOLO DI INTEGRALE TRIPLO) T XY DXDYDZ ESSENDO T IL DOMINIO DEL 1° OTTANTE LIMITATO DELLA SUPERFICIE Y =2, Y - X2 + 4Z2 (8√2)/21 CALCOLARE L'INTEGRALE TRIPLO: I∭T Y/(X-2) DXDYDZ, {T=(X,Y,Z)/X ≥0; Y≥0, Z≥0, X2+Y2≤Z ≤3} 3/16 - √3/2 - 1/4log (2 - √3)/2 CHIAMIAMO MASSIMO RELATIVO PER UNA FUNZIONE F(X,Y) un punto P0(x0,y0) tale f(x,y) <= f(x0,y0) per tu i pun di un intorno di P0 contenuto nel dominio della funzione COSA SI INTENDE PER SI E SB? Spazio Immagine e Spazio Base DATA L'EQUAZIONE Y' = 1/2Y, Y=0 NE È SOLUZIONE? no DATA L'EQUAZIONE Y' = 3 3 √Y 2 y =0, y = ( x - c)3 DATA L'EQUAZIONE Y'' + Y = 0, Y = SINX ED Y = COSX, NE SONO SOLUZIONI? sì DATA L'EQUAZIONE Y'=Y DETERMINARE LE FUNZIONI PER LE QUALI LA DERIVATA PRIMA SIA UGUALE ALLA FUNZIONE STESSA y = ex , y =cex DATA LA FUNZIONE F(X, Y) = X^2 + 3Y, DETERMINARE L'EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE AD ESSA NEL PUNTO P(0, 3) z = 3y DATA LA FUNZIONE Y=X^2, TROVARE LA TANGENTE AL SUO GRAFICO NEL PUNTO DI ASCISSA -1 y = -2x -1 DATA LA FUNZIONE Y=X^2, TROVARE LA TANGENTE AL SUO GRAFICO NEL PUNTO DI ASCISSA 0 y = 0 DATA LA FUNZIONE Y=X^2, TROVARE LA TANGENTE AL SUO GRAFICO NEL PUNTO DI ASCISSA 1 y = 2x-1 DATA UNA FUNZIONE F(X,Y) A DUE VARIABILI, CON FXX SI INDICA la derivata faa rispeo ad x, e poi ancora rispeo ad x DATA UNA FUNZIONE F(X,Y) A DUE VARIABILI, CON FYX SI INDICA la derivata faa rispeo ad y, e poi rispeo ad x, dea derivata mista DATA UNA FUNZIONE F(X,Y) A DUE VARIABILI, CON FYY SI INDICA la derivata faa rispeo ad y, e poi ancora rispeo ad y DATA UNA FUNZIONE F(X,Y) CONTINUA, CHE AMMETTE DERIVATE MISTE FXY ED FYX CONTINUE esse sono uguali DATA UNA FUNZIONE IN DUE VARIABILI INDIPENDENTI F(X,Y) LA DERIVATA PARZIALE RISPETTO A X È… la derivata della funzione rispeo a x mantenendo y costante DATA UNA FUNZIONE IN DUE VARIABILI INDIPENDENTI F(X,Y) LA DERIVATA PARZIALE RISPETTO A Y È… la derivata della funzione rispeo a y mantenendo x costante DETERMINARE IL LIMITE PUNTUALE DELLA SEGUENTE SUCCESSIONE DI FUNZIONI E STABILIRE SE LA CONVERGENZA È UNIFORME: FN(X) = NX E^-NX , X " [0, 1] converge ma non uniformemente a f(x) = 0 DETERMINARE LE LINEE DI LIVELLO E L’IMMAGINE DELLA SEGUENTE FUNZIONE: F(X, Y) = 2X − 5Y : y = (2x − k)/ 5 , per ogni k ∈ R. Im(f) = R. DETERMINARE LO SVILUPPO DI TAYLOR DI SECONDO GRADO CENTRATO NELL' ORIGINE DELLA SEGUENTE FUNZIONE: F(X, Y) = SEN X SEN Y f(x, y) = xy + o(x2 + y 2). ENUNCIARE IL TEOREMA (DELL’ESISTENZA E UNICITÀ) (PROBLEMA DI CAUCHY) PER LE APPLICAZIONI LINEARI. Considerando l’applicazione lineare L. Per l'equazione differenziale lineare d’ordine n, Ln(y(x))=0, oppure Ln(y(x))=f(x) coi da (coefficien dell'equazione ed eventuale termine noto) connui nell'intervallo I dell'asse delle x, esiste ed è unica la soluzione di un assegnato problema di Cauchy ben posto (x0 ∈ I ). ENUNCIARE IL COROLLARIO (PRINCIPIO D’IDENTITÀ) DEL TEOREMA (DELL’ESISTENZA E UNICITÀ) PER LE APPLICAZIONI LINEARI Sia ys(x) la soluzione del problema di Cauchy, Ln(y(x))=0 oppure Ln(y(x))=f(x) con i da iniziali y(x0)=u1, y' (x0)=u2, … ,y(n-1) (x0)=un e sia yq,(x) una funzione di Cn(I); condizione necessaria e sufficiente affinché risul yq(x)=ys(x), per ogni x appartenente ad I è che nel punto x le due funzioni yq(x) ed ys(x) siano uguali insieme alle prime n-1 derivate, ovvero che siano verificate le uguaglianze y' q(x0)=y' s(x0) , … ,yq(n-1) (x0)=ys(n-1) (x0). ENUNCIARE IL TEOREMA 1 (EQUAZIONE LINEARE OMOGENEA) La soluzione dell'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n, Ln (y(x)=0, è il prodoo scalare, in C”(I), dell’applicazione lineare Ln (y ). SE LE FUNZIONI X(T), Y(T) SONO DERIVABILI IN T ∈ I E F È DIFFERENZIABILE IN (X(T), Y(T)) ∈ A, ALLORA: la funzione F(t) = f(x(t), y(t)) è derivabile in t. SE LE RELAZIONI DI MASSIMO E MINIMO PER UNA FUNZIONE Z=F(X, Y) IN UN PUNTO P0 VALGONO NON SOLO IN UN INTORNO DI P0, MA SU TUTTO IL DOMINIO, ALLORA SI PARLA DI massimi e minimi assolu SE SI SOMMA UNA COSTANTE C ALLA FUNZIONE Y = F(X) & allora la funzione y = f(x) + c ha negli stessi pun x i massimi e i minimi assolu SE UNA FUNZIONE A DUE VARIABILI È DERIVABILE, LE SUE DERIVATE SONO funzioni a due variabili SELEZIONARE LA DEFINIZIONE ESATTA: Un punto (x0, y0) si dice punto crico se fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0. SI CALCOLI IL SEGUENTE INTEGRALE TRIPLO: INTEGRALET DI Z-RADQ(1-Y^2) DXDYDZ, {T=(X,Y,Z)/X^2+Y^2 <= 1; 0 <= Z <=1} quaro terzi SI CALCOLI IL SEGUENTE INTEGRALE TRIPLO: INTEGRALET DI Z-RADQ(1-Y^2) DXDYDZ, {T=(X,Y,Z)/X^2+Y^2 <= 1; 0 <= Z <=1} 4/3 SI CALCOLI L'INTEGRALE TRIPLO I∭T (X^2 Y) / (1+XYZ) DXDYDZ, T=(X,Y,Z) / 0≤X≤1, 0≤Y≤1, 0≤Z≤1 2log2 - 5/4 SI CALCOLI L'INTEGRALE TRIPLO ∭T (DXDYDZ)/X2 + Y2 + Z2' , T = {(X,Y,Z)/X ≥ 0; Y ≥ 0; Z ≥ 0,1 ≤ 4 } π/(4√2)log(√2 + 1)/(√2 - 1) SI CALCOLI L'INTEGRALE TRIPLO: INTEGRALET DI XY DXDYDZ, {T=(X,Y,Z)/X >= 0 ;Y >= 0, Z >= 0, X+Y+Z <= 1} 1/120 SI CALCOLI L'INTEGRALE TRIPLO: I = ∭T (DXDYDZ)/(1 + X2 + Y2 + Z2), T = { (X.Y.Z) / X ≥ 0, Y ≥ 0, X2 + Y2 + Z2 ≤1} π/2 (2 - π/4) SI DEFINISCE FORMA QUADRATICA: un qualunque polinomio omogeneo di secondo grado, cioè in cui tu i termini sono di grado 2 SI DERTERMINI LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY: Y' = SINY/SINX Y = Y(PIGRECO/2) = PIGRECO/2 sinx/sinx = 1, per ogni x SI DETERMINI E SI DISEGNI L' INSIEME DI DEFINIZIONE DELLA FUNZIONE F(X, Y) = LOG(1 − X2 − Y2 ). x2 + y2 < 1, cioè (x, y) deve essere all’interno della circonferenza centrata nell’origine di raggio 1. SI DICE PUNTO STAZIONARIO UN PUNTO in cui la funzione ammee piano tangente orizzontale SE L È UN DIFFERENZIALE PER F IN X0 ALLORA F AMMETTE DERIVATA DIREZIONALE LUNGO UN QUALUNQUE VETTORE V. 1 SI DIMOSTRA CHE MOLTE DELLE PROPRIETÀ DEI LIMITI PER FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE SI ESTENDONO IN MANIERA IMMEDIATA NEL CASO DI FUNZIONI A VALORI VETTORIALI, COME AD ESEMPIO il teorema di unicità del limite, il teorema sul limite della somma o del prodoo e la definizione di funzione connua (in parcolare una funzione a valori veoriali è connua se e solo se lo sono tue le sue componen) SI INTEGRI L 'EQUAZIONE DIFFERENZIALE Y' = (X2EX)/SINY y = - arcos[c+ex (x2 - 2∗ + 2)]int.gen. SI SCRIVA L'EQUAZIONE GENERALE DELL'EQUAZIONE Y' = √(1 - Y2)/√X integrale generale y = sin log cx; integrali singolari y=±1 SIA A LA MATRICE ASSOCIATA ALLA FORMA QUADRATICA Q. SE DET(A)=0 Q si annulla su una rea per l'origine SIA A LA MATRICE ASSOCIATA ALLA FORMA QUADRATICA Q. SE DET(A)>0 la forma quadraca è irriducibile SIA A LA MATRICE ASSOCIATA ALLA FORMA QUADRATICA Q. SE DET(A)>0 Q si annulla solo nell'origine SIA FN LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI DEFINITA PER RICORRENZA DA F0 = 0, F1 = 1, FN+1 = FN + FN-1PER N MAGGIORE O UGUALE DI 1 IL SUO INSIEME DI CONVERGENZA E (- r, r) SIA FN LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI DEFINITA PER RICORRENZA DA F0 = 0, F1 = 1, FN+1 = FN + FN−1 PER N ≥ 1 Fn è diverso da 0 per ogni n numero naturale SIA FN UNA SUCCESSIONE DI FUNZIONI. SI DICE CHE FN CONVERGE IN UN PUNTO X0 se la successione (fn(x0)) converge SIA R : I -> R3 DEFINITA DA R(T) = (COS(T) + PIGRECO, ET - 1, SIN T2 ). QUALE E LIMT -> 0 R(T) (1 + pigreco, 0, 0) SIA R : I → RM CON I INTERVALLO DI R. SIA T0 ∈ I E SIA L ∈ RM SI DICE CHE LIMT→T0 R(T) = L SE LIMT→T0 |R(T)-L| = 0 VERO UN’APPLICAZIONE F : R2 → R2 È UNA LEGGE CHE ASSOCIA AD UN PUNTO DI R2 UN ALTRO PUNTO DI R2 ; QUINDI AD UNA COPPIA DI COORDINATE (X1, X2) CORRISPONDE UN’ALTRA COPPIA (Y1, Y2) = F(X1, X2); TALE SCRITTURA STA A SIGNIFICARE: che la coordinata y1 cambierà in dipendenza da come cambiano x1 e x2 e la stessa cosa accadrà per y2, cioè ad ogni coppia (x1, x2) corrisponderà uno e un solo valore y1 e uno e un solo valore y2, questo è equivalente a dire che esistono due funzioni f1, f2 : R2 → R per cui y1 = f1(x1, x2) e y2 = f2(x1, x2). UNA FORMA QUADRATICA Q SI DICE SEMIDEFINITA POSITIVA & se q(X) e" 0 per ogni X diverso da 0 UNA FUNZIONE A DUE VARIABILI può avere due derivate parziali UNA FUNZIONE COMPOSTA È UNA FUNZIONE CHE HA COME ARGOMENTO .. un altra funzione UNA FUNZIONE PARZIALMENTE DERIVABILE… non è necessariamente connua UNA FUNZIONE VETTORIALE F = (F1, . . . , FM) HA LIMITE SE, E SOLO SE, OGNI SUA COMPONENTE FJ HA LIMITE REALE PER OGNI J = 1, . . . , N vero. UNA SERIE DI POTENZE ALTRO NON È CHE UNA PARTICOLARE SERIE DI FUNZIONI. Vero. Y' = √(Y2(1-Y) log √(1-y+1)/√(1-y-1) = c + x 1.SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI 1 Determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni e stabilire se la convergenza è uniforme: fn(x) = nx e-nx , x ∈ [0, 1]: a converge ma non uniformemente a f(x) = 0 2 La successione di funzioni fn(x) = 3x/n: b converge a f(x) = 0 3 La successione di funzioni fn(x) = 1/n: c converge a f(x) = 0 4 La successione di funzioni fn(x) = 1: a converge a f(x) = 1 5 Una serie di potenze altro non è che una particolare serie di funzioni.: b Vero. 6 Sia fn una successione di funzioni. Si dice che fn converge in un punto x0: b se la successione (fn(x0)) converge 7 La convergenza uniforme: a implica la convergenza puntuale 8 La successione di funzioni fn(x)=(1-x)x n, x appartenente a [0, 1]: a converge a f(x) = 0 9 La convergenza puntuale: a non implica la convergenza uniforme 10 Il criterio generale di convergenza di una serie: d fornisce condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza di una serie 5. SUCCESSIONE E SERIE DI FUNZIONI: SERIE DI POTENZE E CALCOLO DEL RAGGIO DI C. 1 Per rappresentare graficamente una funzione di due variabili esistono le seguenti due possibilità: b 1. Rappresentazione cartesiana e 2. Linee di livello 2 Si determini e si disegni l'insieme di definizione della funzione f(x, y) = log(1 - x2 - y2): a x2 + y2 < 1, cioè (x, y) deve essere all'interno della circonferenza centrata nell'origine di raggio 1 3 Un'applicazione F: R2 → R2 è una legge che associa ad un punto di R2 un altro punto di R2; quindi ad una coppia di coordinate (x1, x2) corrisponde un'altra coppia (y1, y2) = F(x1, x2); tale scrittura sta a significare: c che la coordinata y1 cambierà in dipendenza da come cambiano x1 e x2 e la stessa cosa accadrà per y2, cioè ad ogni coppia (x1, x2) corrisponderà uno e un solo valore y1 e uno e un solo valore y2, questo è equivalente a dire che esistono due funzioni f1, f2 : R2 → R per cui y1 = f1(x1, x2) e y2 = f2(x1, x2). 4 Per ogni z ∈ C possiamo considerare una funzione f : C → C come una funzione che a z associa w ∈ C. Ricordiamo che ad ogni z = x+iy possiamo associare un punto di R 2 di coordinate (x, y), e se w = a+ib gli possiamo associare il punto di R 2 di coordinate (a, b). Quindi alla funzione f `e associata una funzione - che continuiamo a chiamare f - definita e a valori in R2 , che ad un punto (x, y) associa un punto (a, b) cio`e f(x, y) = (a, b); per cui rimangono definite due funzioni u, v : R2 → R tali che a = u(x, y) e b = v(x, y), e f(z) = u(x, y) + iv(x, y).: d Le funzioni u e v si dicono, rispettivamente, parte reale e parte immaginaria della funzione f 8 Data una funzione f(x,y) a due variabili, con fyx si indica: c la derivata fatta rispetto ad y, e poi rispetto ad x, detta derivata mista 9 Data una funzione f(x,y) continua, che ammette derivate miste fxy ed fyx continue: c esse sono uguali 10 Il TEOREMA DI SCHWARZ afferma che, sotto opportune ipotesi: a L'ordine di derivazione è invertibile 10. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI: RETTE E PIANI TANGENTI. RETTE NORMALI 1 L'equazione della retta tangente nel punto (x0, f(x0)) è: a y = f'(x0)(x-x0) + f(x0) 2 Data la funzione y=x2, trovare la tangente al suo grafico nel punto di ascissa -1: b y = -2x -1 3 Quale delle seguenti affermazioni è errata: a Non è possibile, conoscendo la derivata in un punto, ricavare l'equazione della sua tangente in quel punto. 4 Data la funzione y=x2, trovare la tangente al suo grafico nel punto di ascissa 0: d y = 0 5 Se f(x,y) è differenziabile in un punto: b allora è ivi continua 6 Data la funzione f(x, y) = x2 + 3y, determinare l'equazione del piano tangente ad essa nel punto P(0, 3): c z = 3y 7 Quando consideriamo funzioni di più variabili, una funzione …: a potrà ammettere gradiente (che è il concetto analogo a quello di derivata in più dimensioni) ma non essere differenziabile 8 Geometricamente la differenziabilità di una funzione f(x,y) in un punto: a è legata all'esistenza del piano tangente alla funzione in quel punto 9 Data la funzione y=x2, trovare la tangente al suo grafico nel punto di ascissa 1: a y = 2x-1 10 La normale ad una curva in un suo punto P è: d la retta ortogonale alla tangente in P, e passante per P 11. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI: CENNO SULLE FORME QUADRATICHE IN DUE VARIABILI 1 Si definisce forma quadratica: a un qualunque polinomio omogeneo di secondo grado, cioè in cui tutti i termini sono di grado 2 2 Il polinomio x2+y2-2x è una forma quadratica?: b No, perché non è omogeneo 3 Il polinomio q = x2+3xy-6y2 : c è una forma quadratica in due variabili 4 Una forma quadratica q si dice semi definita positiva …: d se q(X) ≥ 0 per ogni X diverso da 0 5 Una forma quadratica: a conserva il segno o la nullità 6 Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A)>0: a la forma quadratica è irriducibile 7 Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A)>0: d Q si annulla solo nell'origine 8 Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A)=0: b Q si annulla su una retta per l'origine 9 Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A) < 0: a Q si annulla su due rette per l'origine 10 La forma quadratica q(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2 è: a definita positiva 12. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI MASSIMI E MINIMI RELATIVI 1 Chiamiamo MASSIMO relativo per una funzione f(x,y): c un punto P0(x0,y0) tale f(x,y) <= f(x0,y0) per tutti i punti di un intorno di P0 contenuto nel dominio della funzione 2 Chiamiamo MINIMO relativo per una funzione f(x,y): d un punto P0(x0,y0) tale f(x,y) > = f(x0,y0) per tutti i punti di un intorno di P0 contenuto nel dominio della funzione 3 Se le relazioni di Massimo e Minimo per una funzione z=f(x, y) in un punto P0 valgono non solo in un intorno di P0, ma su tutto il dominio, allora si parla di: b massimi e minimi assoluti 4 Si dice punto stazionario un punto: a in cui la funzione ammette piano tangente orizzontale 5 Se si somma una costante c alla funzione y = f(x) …: c allora la funzione y = f(x) + c ha negli stessi punti x i massimi e i minimi assoluti 6 L' Hessiano di una funzione di due variabili f(x,y): b e' costituito dalle derivate seconde della funzione 7 La matrice hessiana di una funzione di due variabili f(x,y): c e' simmetrica 8 In un punto stazionario di una funzione f(x,y): b le derivate parziali sono entrambe nulle 9 Quali delle seguenti affermazioni è esatta per una funzione di una variabile?: a nei punti di massimo o minimo locali di una funzione derivabile che siano interni al dominio la derivata è nulla. 10 L' Hessiano di una funzione f(x,y): d e' una matrice quadrata 2x2 13. INTEGRALI DI CAMPI SCALARI 1 Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] ⊂ IR tali che α(x) ≤ β(x). Si definisce dominio normale rispetto all'asse x l'insieme del piano: a D = {(x, y) ∈ [a, b] × IR : α(x) ≤ y ≤ β(x)} con α(x) = β(x) al più negli estremi dell'intervallo [a, b] 2 Siano γ(y), δ(y) due funzioni continue in un intervallo [c, d] ⊂ IR tali che γ(y) ≤ δ(y). L'insieme del piano E = {(x, y) ∈ IR ×[c, d] : γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}si chiama: b dominio normale rispetto all'asse y 3 Dato un dominio normale E rispetto all'asse y e la sua area si ottiene da: c un integrale 4 Sia D = {(x, y) ∈ [a, b] × IR : α(x) ≤ y ≤ β(x)} un dominio normale rispetto all'asse x …: d normale vuol dire perpendicolare e nella definizione precedente le rette di equazione x = a ed x = b sono perpendicolari all'asse delle x da cui il nome dominio normale rispetto all'asse x 5 Sia ora D un dominio normale del piano e f : D ⊂ IR2 → IR una funzione di due variabili continua. L'integrale doppio di f(x,y) esteso a D ha un significato geometrico. Esso fornisce nel caso di f(x, y) > 0: a il valore del volume di un solido della regione di spazio 6 Il solido della regione di spazio il cui volume è fornito da un integrale doppio di una funzione f(x,y) > 0 esteso a un dominio D è un solido: b avente per base D, per tetto f(x, y) e come superficie laterale quella formata dalla infinite rette parallele all'asse z che congiungono il bordo di D con i punti che giacciono su f(x, y) 7 La proprietà di additività di un integrale rispetto agli estremi dell'intervallo …: a riguarda la possibilità di spezzare un integrale definito come somma di due integrali, definiti su due sottointervalli la cui unione coincida con l'intervallo di partenza e tali da avere un solo punto in comune 8 Invertendo gli estremi di integrazione di un integrale è necessario: d cambiare anche il segno dell'integrale 9 Se gli estremi di integrazione coincidono, allora l'integrale ...: b vale zero 10 Quali tra le seguenti NON è una proprietà dell'integrale: d connettività 18. INTEGRALI DI CAMPI SCALARI: INTEGRALE TRIPLO 1 Si calcoli l’integrale triplo : b . 2 Calcolare l’integrale doppio : a . c . 4 Scrivere l’integrale generale dell’equazione b . 5 Scrivere l’integrale generale dell’equazione a . 6 Scrivere l’integrale generale dell’equazione y’=1 d . 7 Data l’equazione y’=y b . 8 Data l’equazione y’= 3 3sqrt(y2) a . 9 Data l’equazione y’’+y=0 a SI 10. Data l’equazione y’= 1/2y , y=0 ne è soluzione? b NO 20. EQUAZIONI DIFFERENZIALI IL PROBLEMA DI CAUCHY 1 Cosa si intende per SI ed SB?: a Spazio Immagine e Spazio Base 2 Cosa presentano gli spazi SI e SB?: c Gli spazi SB e SI presentano la struttura di spazi vettoriali rispetto alla somma ordinaria tra funzioni ed al prodotto di una funzione per uno scalare. 3 Enunciare il Teorema 1 (Equazione lineare omogenea): d . 4 Enunciare il Teorema 2 (Equazioni lineari omogenee): c . 5 Enunciare il Teorema 3 (Equazione lineare completa): a . 6 Enunciare il Teorema (Dell'esistenza e unicità) (Problema di Cauchy) per le applicazioni lineari.: d . 7 Enunciare il Corollario (Principio d'identità) del Teorema (Dell'esistenza e unicità) per le applicazioni lineari: d . 21. EQUAZIONI DIFFERENZIALI: OSSERVAZIONI SUL TEOREMA D’ESISTENZA ED UNICITA’ 1 Indicare le soluzioni dell'equazione y'=1: d le soluzioni sono le rette della famiglia 𝑦 = 𝑥 - 𝑐 e per ogni punto di 𝑅2 passa una sola di esse 2 Indicare le caratteristiche dell'equazione y' = y in considerazione della funzione a secondo membro f(x,y) = y: a essa è costante rispetto alla variabile 𝑥 e risulta continua e Lipschitziana (di più, è derivabile) rispetto ad 𝑦 su 𝑅. Ogni punto di 𝑅2 è pertanto punto iniziale di un problema di Cauchy dotato di soluzione unica definita su 𝑅 3 Calcolare le soluzioni dell'equazione y' = y: c le soluzioni sono le curve esponenziali della famiglia 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥 e per ogni punto del piano 𝑥𝑦 passa una sola di esse. 4 Indicare le caratteristiche dell'equazione in considerazione della funzione a secondo membro : a essa è continua su 𝑅, ma nei punti della retta d’equazione 𝑦 = 0 non verifica, rispetto alla variabile 𝑦, la condizione di Lipschtz 5 Indicare le soluzioni dell'equazione (considerata nell'esercizio 4): d le curve soluzione distinte da quella nulla y = 0, appartengono alla famiglia 𝑦 = (𝑥 - 𝑐)3 6 Discutere le caratteristiche dell'equazione indicata nell'esercizio 5 relativamente alla sua soluzione: b si riconosce che ogni punto del semipiano positivo (o di quello negativo), nell’intorno del quale è verificata la condizione di Lipschitz, è punto iniziale di soluzione locale unica, mentre in ogni punto dell’asse x, relativamente alla soluzione del problema di Cauchy, cade l’unicità precisamente per ogni punto dell’asse x passano infinite soluzioni 7 Enunciare la definizione di integrale particolare: a integrale particolare, è ogni soluzione di problema di Cauchy in ipotesi d’esistenza ed unicità. Il grafico di un qualunque integrale particolare è interno ad A. 8 Enunciare la definizione di integrale generale: c integrale generale, è la famiglia degli integrali particolari. Il grafico di ciascuna di queste funzioni è interno ad A. Per i problemi con equazioni del primo ordine, si ha che due curve integrali non si incontrano in punti interni ad A 9 Enunciare la definizione di integrale singolare: b integrale singolare, è ogni soluzione di problema di Cauchy in difetto di ipotesi di esistenza ed unicità. Il grafico appartiene alla frontiera di A. 10 Gli integrali singolari si ottengono direttamente controllando se le curve della frontiera di A verificano l’equazione differenziale.: a si 22. EQUAZIONI DIFFERENZIALI: EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI 1 Quali sono le caratteristiche delle equazioni a variabili separabili?: c Le equazioni a variabili separabili sono equazioni di forma normale in cui il secondo membro si presenta come prodotto di una funzione della sola 𝑥 per una funzione della sola 𝑦 in formula b se y1 è soluzione non banale dell'equazione omogenea 𝑦′ = 𝛼(𝑥)𝑦 allora la funzione è soluzione dell'equazione non omogenea 7 Risolvere l'equazione : c 𝑦 = 𝑥 ln(1 + 𝑥2) 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑥 ln(1 + 𝑥2) 8 Risolvere l'equazione : a 𝑦 = sin𝑥 ln𝑡𝑔𝑥, 𝑦 = 𝑐 sin𝑥 + sin𝑥 ln𝑡𝑔𝑥 9 Si risolva il problema di Cauchy : c . 10 Indicare la tipologia delle equazioni di Bernoulli: a sono equazioni del tipo 𝑦’ = 𝛼(𝑥)𝑦 + 𝛽(𝑥)𝑦γ , γ ∈ 𝑅 25. EQUAZIONI DIFFERENZIALI: EQUAZIONI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI 1 Un'equazione lineare a coefficienti costanti può essere omogenea o completa a seconda che il termine sia nullo oppure no: a si 2 Indicare la forma con cui si presentano le equazioni a coefficienti costanti: c . 3 Indicare la scaletta utile per la risoluzione dell'equazione completa: b 1) risoluzione dell'equazione omogenea 2) ricerca di un integrale particolare dell'equazione completa 3) scrittura dell'integrale generale dell'equazione completa 4 Quale scaletta suggerisce il Teorema di sovrapposizione per la risoluzione dell'equazioni lineari non omogenee: a 1 - si cerca l'integrale generale dell'equazione omogenea, 2 - si cerca un integrale particolare della non omogenea 5 Enunciare il Teorema I (Indipendenza lineare): c se l'equazione caratteristica ℎ𝑛 + 𝑎1 ℎ𝑛 - 1 + 𝑎2 ℎ𝑛 - 2 +…+ 𝑎𝑛 = 0 ammette le soluzioni ℎ1,ℎ2,…,ℎ𝑛 tutte le distinte, allora gli integrali 𝑒ℎ1 𝑥, 𝑒ℎ2𝑥,…,𝑒ℎ𝑛 𝑥 sono linearmente indipendenti 6 Enunciare il Teorema II (Indipendenza lineare): d se il numero ℎ0 è soluzione dell'equazione caratteristica ℎ𝑛 + 𝑎1ℎ𝑛-1 +… + 𝑎𝑛 = 0 con molteplicità 𝑝 , l'equazione differenziale ammette le 𝑝 soluzioni linearmente indipendenti 𝑒ℎ0𝑥, 𝑥𝑒ℎ0𝑥, 𝑥2𝑒ℎ0𝑥, …, 𝑥𝑝-1𝑒ℎ0𝑥 7 Enunciare il Teorema III (Indipendenza lineare): b Se l'equazione caratteristica presenta la coppia di radici complesse coniugate con molteplicità 𝑝 l'equazione differenziale omogenea ammette gli integrali particolari reali 𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥, … , 𝑥𝑝 - 1 𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥, 𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, … , 𝑥𝑝 - 1 𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥 8 Si scriva l'integrale generale dell'equazione 𝑦′′ - 5𝑦′ + 6𝑦 = 0: a 𝑦(𝑥) =𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒3𝑥 9 Si scriva l'integrale generale dell'equazione 𝑦′′ - 4𝑦′+ 4𝑦 = 0: b 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒2𝑥, 𝑥 ∈ (-∞,+∞) 10 Si scriva l'integrale generale dell'equazione 𝑦′′ - 4𝑦′ + 13𝑦 = 0: d 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒2𝑥 cos 3𝑥 + 𝑐2 𝑒2𝑥 sin 3𝑥 26. EQUAZIONI DIFFERENZIALI: EQUAZIONI DI EULERO 1 Quali sono le caratteristiche delle equazioni di Eulero: b si tratta di equazioni lineari a coefficienti non costanti, in cui, tuttavia, la dipendenza dalla variabile 𝑥 è data dall’equazione caratteristica che trova soluzioni del tipo 𝑥𝑘 2 Enunciare, per l'equazione d'Eulero, il Teorema 2°: a Se il numero 𝑘0 è soluzione, con molteplicità 𝑝, dell’equazione caratteristica di un’equazione d’Eulero, l’equazione differenziale ammette gli integrali linearmente indipendenti: : 3 Enunciare, per l'equazione d'Eulero, il Teorema 3°: a Se l’equazione caratteristica di un’equazione d’Eulero presenta la coppia di radici complesse coniugate 𝛼 + 𝑖 ∗ 𝛽, 𝛼 - 𝑖 ∗ 𝛽 con molteplicità 𝑝, l’equazione differenziale ammette gli integrali linearmente indipendenti: . 4 Indicare l'equazione caratteristica e calcolare l'integrale generale della seguente equazione d'Eulero : d 𝑘 ∗ (𝑘 - 1) ∗ (𝑘 - 2) - 2 ∗ 𝑘 = 0 → 𝑘3 - 3𝑘2 = 0 e 𝑦(𝑥) = 𝑐1 + 𝑐2 ∗ ln𝑥 + 𝑐3 ∗ 𝑥3 5 Indicare l'equazione caratteristica dell'equazione : b 𝑘 ∗ (𝑘 - 1) - 𝑘 + 5 = 0 6 Indicare l'equazione caratteristica dell'equazione : d 𝑦(𝑥) = 𝑐1 ∗ 𝑥 ∗ cos(2 ∗ ln𝑥) + 𝑐2 ∗ 𝑥 ∗ sin(2 ∗ ln𝑥) 7 Indicare l'equazione caratteristica dell'equazione : c 𝑘 ∗ (𝑘 - 1) ∗ (𝑘 - 2) ∗ (𝑘 - 3) + 6 ∗ 𝑘 ∗ (𝑘 - 1) ∗ (𝑘 - 2) + 7 ∗ 𝑘 ∗ (𝑘 - 1) + 𝑘 - 1 = 0 e, a conti fatti, risulta: 𝑘4 - 1 = 0 8 Si scriva l'integrale generale della seguente definizione : b 𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑥2𝑙𝑜𝑔𝑥 + 1/2𝑥2𝑙𝑜𝑔2𝑥 9 Si risolva il problema di Cauchy relativo all'equazione di Eulero : a cos log𝑥 - 1 10 In riferimento alla formula 3, indicare l'integrale particolare dell'equazione completa : : d 𝑦 ∗ (𝑥) = {𝑥ℎ+𝑜𝑟𝑑 ∗ 𝑃𝑛(ln𝑥) ∗ 𝑙𝑛𝑣𝑥} 27. CAMPI VETTORIALI: DEFINIZIONI 1 Scrivere la formula del Teorema di Torricelli-Barrow: d - 2 Scrivere la formula del Teorema di derivazione sotto il segno: a . 3 Dare la definizione di campo scalare U: a campo scalare definito su A di R" a valori in R è una funzione (applicazione) di A su R 4 Dare la definizione di campo vettoriale v : b è un insieme ordinato di p funzioni (applicazioni, campi scalari) di A ∁ Rn, ciascuna a valori in R. 5 Dare la definizione di gradiente di un campo scalare: d è il vettore delle derivate parziali del campo scalare U. ll gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale. 6 Dare la definizione di divergenza di un campo vettoriale: c è lo scalare dato dalla somma delle derivate parziali della prima componente rispetto alla prima variabile, della seconda componente rispetto alla seconda variabile 7 Indicare una regola pratica per costruire le componenti del rotore v (X,Y,Z) :