METODI STATISTICI COMPUTAZIONALI, Esercizi di Statistica

Scarica METODI STATISTICI COMPUTAZIONALI e più Esercizi in PDF di Statistica solo su Docsity! ############################################################################### Analisi di un dataset derivato da una survey sui dati di bilancio di un certo numero di imprese italiane registrate nel 2008. Indice: * Introduzione: illustrazione del dataset; * Stima di un Modello Mistura Finita e selezione del miglior modello sulla base di un indice appropriato; * Caratterizzazione dei clusters stimati sulla base dei parametri stimati; * Clustering delle imprese sulla base dei risultati della stima, interpretazio- ne dei gruppi stimati; * Analisi delle caratteristiche delle imprese in ogni cluster; ############################################################################### 1. Introduzione Il presente lavoro è incentrato sull’elaborazione di un insieme di dati attraverso l’impiego del software statistico R, al fine di stimare un modello a variabile latente e, in particolare, un modello mistura finito, in cui le unità statistiche si assumono provenire da diverse sottopopolazioni del campione originario, aventi differenti distribuzioni delle variabili risposta, le quali hanno natura continua; per contro, tipicamente, nel modello non è inclusa alcuna covariata. I dati utilizzati si riferiscono ai principali indicatori di bilancio di un campione casuale di 796 imprese italiane, registrate nel 2008. Per ogni impresa, gli indici di bilancio considerati (che costi- tuiscono le variabili risposta) sono i seguenti: ➢ totalAsset: attività totali, importo finale di tutti gli investimenti lordi, denaro contante e equivalenti, crediti e altre attività; ➢ sales: volume totale delle vendite dell’impresa (indicatore della dimensione dell’attività dell’impresa); ➢ addedValue: valore aggiunto dell’impresa; ➢ tfp: produttività totale dei fattori (misura della crescita nel valore aggiunto attribuibile al progresso tecnico, a miglioramenti nella conoscenza e nell'efficienza dei processi produt- tivi); ➢ leverage: o leva finanziaria, data dal rapporto tra il totale delle attività e il patrimonio degli azionisti; ➢ roe: return on equity, dato dal rapporto utile (perdita) prima delle imposte e il patrimonio degli azionisti; ############################################################ ELABORATO FINALE METODI STATISTICI COMPUTAZIONALI A.A. 2017/2018 Veronica Alagia ############################################################ ➢ roi: return on investment, dato dal rapporto tra l’utile prima degli interessi e della tassa- zione (EBIT) e le attività totali; ➢ ros: return on sales, dato dal rapporto tra l’EBIT e il volume delle vendite. L’obiettivo dell’analisi è, dunque, stimare un modello in cui il tratto latente, ossia non diretta- mente osservabile, è rappresentato dallo stato di salute delle imprese e clusterizzare queste ultime sulla base del modello stimato. Peraltro, nel dataset originario sono incluse alcune caratteristiche delle imprese, quali: la regione di provenienza (Region), la nomenclatura dell’attività economica (NACE), l’età dell’impresa (Young/Old) e il numero di impiegati (Employess); tali caratteristiche saranno utilizzate a poste- riori, una volta implementato l’algoritmo di stima e allocate le imprese nel cluster corrispondente, al fine di osservare le caratteristiche delle imprese in ogni gruppo. Prima di procedere alla stima del modello, si esegue un’illustrazione del dataset attraverso alcune analisi descrittive.Le variabili risposta e le covariate sono contenute, rispettivamente, in una ma- trice 𝑌2 di dimensione 796 × 8 e in una matrice 𝑋 di dimensione 796 × 4. > head(Y2) totalAssets sales AddedValue tfp leverage roe roi ros 1 23047 14238 3660 -1.2555883 2.901549 0.01120483 0.02399445 0.03883972 2 6704 1393 970 -0.7212241 2.494048 0.01971726 0.03117542 0.15003589 13 3591 4129 1160 -0.8318125 14.777778 0.34567901 0.03063214 0.02664083 14 2736 2968 979 -0.6694843 2.791837 0.09285714 0.05263158 0.04851752 15 3530 5893 882 -0.7582248 1.628980 0.06598984 0.04645892 0.02782963 21 1476 2528 1161 -0.6630925 4.541538 -0.40615386 -0.08604336 -0.05023734 > dim(Y2) [1] 796 8 > head(X) region nace age 1 Sicilia rubber and plastic products Young 2 Sicilia paper and paper products Young 13 Piemonte fabricated metal products, except machinery and equipment Old 14 Piemonte rubber and plastic products Young 15 Piemonte fabricated metal products, except machinery and equipment Young 21 Piemonte fabricated metal products, except machinery and equipment Young employees 1 68 2 18 13 25 14 18 15 21 21 40 > dim(X) [1] 796 4 Le funzioni summary e describe forniscono le principali statistiche descrittive delle variabili in esame. > ## install.packages("prettyR") > prettyR::describe(Y2) Description of Y2 Numeric mean median var sd valid.n totalAssets 27002.15 4149.00 2.332356e+10 152720.52 796 sales 45571.70 4360.50 1.748480e+11 418148.28 796 AddedValue 6285.74 1128.50 8.395771e+08 28975.46 796 tfp -0.85 -0.79 4.100000e-01 0.64 796 Per quanto concerne le caratteristiche delle imprese (covariate), sono riportate di seguito il summary e alcune tabelle di continenza dalle quali si evince che la maggior parte delle imprese costituenti il campione proviene da regioni del Centro e del Nord Italia (in particolare Toscana, Emilia Romagna, Veneto, Lombardia e Piemonte) e che il campione è composto in maggioranza da giovani imprese di piccole e medie dimensioni, ossia con un numero relativamente basso di dipendenti (da 10 a 50). Per quanto riguarda le attività svolte, le imprese considerate operano in tutte le varie classi di attività economico-industriali ad eccezione della produzione di tabacco. > summary(X) region nace Length:796 fabricated metal products, except machinery and equipment:164 Class :character machinery and equipment n.e.c. : 95 Mode :character food products : 56 rubber and plastic products : 54 other non-metallic mineral products : 41 textiles : 40 (Other) :346 age employees Young:507 Min. : 10.00 Old :289 1st Qu.: 16.00 Median : 23.00 Mean : 56.62 3rd Qu.: 43.00 Max. :500.00 > table(X$region) Abruzzo Basilicata Calabria Campania Emilia Friuli 21 7 8 23 100 28 Lazio Liguria Lombardia Marche Molise Piemonte 17 7 218 28 3 82 Puglia Sardegna Sicilia Toscana Trentino Umbria 20 5 17 66 17 11 Valle d'aosta Veneto 2 116 > table(X$nace) food products 56 beverages 16 tobacco products 0 textiles 40 wearing apparel 39 leather and related products 25 wood and of products of wood and cork, except furniture; articles of straw and plaiting materi als 24 paper and paper products 17 Printing and reproduction of recorded media 25 coke and refined petroleum products 4 chemicals and chemical products 27 basic pharmaceutical products and pharmaceutical preparations 5 rubber and plastic products 54 other non-metallic mineral products 41 basic metals 21 fabricated metal products, except machinery and equipment 164 computer, electronic and optical products 25 electrical equipment 29 machinery and equipment n.e.c. 95 motor vehicles, trailers and semi-trailers 9 other transport equipment 6 furniture 40 Other manufacturing 23 Repair and installation of machinery and equipment 11 > table(X$age) Young Old 507 289 > table(X$employees) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 7 19 28 23 39 55 38 33 45 32 39 21 13 7 15 21 7 7 10 9 28 6 13 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 8 12 14 6 3 6 5 15 6 6 5 5 13 6 4 10 4 6 1 5 2 2 3 57 58 59 60 62 64 65 68 69 70 71 75 78 80 82 84 85 90 95 96 100 102 103 3 1 1 8 3 1 5 1 4 2 1 2 1 5 1 1 2 4 2 2 2 1 1 105 110 117 120 125 130 131 138 143 147 150 160 163 175 178 180 183 188 190 198 200 205 216 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 220 222 230 245 248 250 260 265 270 271 272 278 286 291 300 310 330 340 350 371 380 384 400 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 5 420 440 474 500 1 1 1 21 2. Stima e selezione del miglior modello Si procede, ora, alla stima del modello, per mezzo della funzione MClust, disponibile nell’omo- nimo pacchetto il quale permette di stimare misture finite di distribuzioni normali, con differenti strutture della matrice di varianza e covarianza e numero di componenti della mistura. La suddetta funzione prende in input diversi argomenti; se forniamo solo la matrice dei dati, il numero di componenti della mistura e la parametrizzazione della matrice di varianza-covarianza sono selezionate automaticamente sulla base del Bayesian Information Criterion. > require(mclust) > Fin_Mix_Mod = Mclust(Y2) > summary(Fin_Mix_Mod) ---------------------------------------------------- Gaussian finite mixture model fitted by EM algorithm ---------------------------------------------------- Mclust VVV (ellipsoidal, varying volume, shape, and orientation) model with 4 c omponents: log.likelihood n df BIC ICL -23317.19 796 179 -47830.02 -47871.17 Il summary del modello mostra che il migliore è quello con matrice di covarianza variabile tra i gruppi, ovvero con volume, forma e orientamento variabile dei relativi ellissi (VVV) e con 4 componenti. Il valore della funzione di log-verosimiglianza massimizzata è di -23317.19. Il BIC del modello è pari a -47830.02. Come si può osservare di seguito, per la selezione del modello migliore, per ognuna delle para- metrizzazioni della matrice di covarianza, il pacchetto stima diversi modelli con un numero cre- scente di componenti (da 1 a 9) e seleziona quello che soddisfa il criterio (massimo BIC). Si evidenziano, inoltre, i migliori tre modelli selezionati in base al BIC. ## names(Fin_Mix_Mod) > Fin_Mix_Mod$BIC Bayesian Information Criterion (BIC): EII VII EEI VEI EVI VVI EEE EVE VEE 1 -170555.7 -170555.7 -78589.79 -78589.79 -78589.79 -78589.79 -72740.87 -72740.87 -72740.87 2 -159976.3 -126381.3 -75893.78 -58159.16 -71118.27 -55920.86 -71904.95 NA -54899.97 3 -153804.4 -118041.0 -75476.67 -54528.00 -58362.82 -53035.57 -71722.36 NA -50867.79 4 -153864.5 -114824.1 -72972.62 -53091.11 -55883.27 -51136.63 -70633.80 NA -49742.81 5 -153924.6 -112059.5 -69663.95 NA -55188.11 -50982.82 -66702.27 NA NA 6 -153984.7 -110222.6 -68884.65 NA -54057.78 -49921.62 -65725.85 NA NA 7 -150809.0 -109429.7 -68291.52 NA -53698.95 -49034.22 -65301.49 NA NA 8 -150869.2 -108606.2 -67791.61 -52044.23 -53537.48 -48676.39 -65180.44 NA NA 9 -150929.3 -108209.7 -67257.45 NA -52976.77 -48064.30 -65000.11 NA NA VVE EEV VEV EVV VVV 1 -72740.87 -72740.87 -72740.87 -72740.87 -72740.87 2 -53649.38 -70928.24 -53879.99 NA -52035.66 3 NA -67406.75 -50252.39 NA -49258.71 4 NA -63600.95 -50117.96 -51719.45 -47830.02 5 NA -63417.38 -50255.42 NA NA 6 NA -62956.27 -49231.61 NA NA 7 NA -62812.03 NA NA NA 8 NA -61624.35 NA NA NA 9 NA -62513.94 NA NA NA Top 3 models based on the BIC criterion: VVV,4 VVI,9 VVI,8 -47830.02 -48064.30 -48676.39 3. Caratterizzazione dei clusters Con un summary esteso, che comprende le stime dei parametri delle componenti della mistura, la struttura del clustering finale e i pesi della mistura, è possibile fare una caratterizzazione dei clusters stimati. Le 60 imprese classificate nel primo gruppo sono quelle che hanno: una redditività del capitale, degli investimenti e delle vendite negativa, un elevato indice di leva finanziaria ossia fanno mag- giormente ricorso al debito, il volume delle vendite e il valore aggiunto più bassi e la minore produttività totale dei fattori. Le 231 imprese appartenenti alla seconda componente si caratterizzano, invece, per valori piut- tosto buoni degli indicatori Nel terzo cluster rientrano 445 che hanno in media un volume di vendite contenuto, un basso ammontare di assets e un valore aggiunto non molto elevato, ma con indici di redditività comun- que positivi. Le restanti 60 imprese compongono il quarto cluster; esse si caratterizzano per i valori migliori degli indici, ossia elevati ammontare di attività, di vendite e valore aggiunto, indice di leva finan- ziaria inferiore e indici di redditività maggiori rispetto a tutti gli altri gruppi e, infine, una total factor productivity che seppur in media è negativa è comuqnue la più elevata di tutte. È possibile, dunque, concludere che le imprese che godono di un migliore stato di salute sono quelle della quarta componente, mentre quelle del primo cluster versano nella condizione peg- giore. Gli altri due cluster sono composti da imprese caratterizzate da uno stato di salute inter- medio, sebbene le imprese del secondo cluster si avvicinano maggiormente a quelle del quarto mentre le imprese del terzo tendono allo stato di salute peggiore. > summary(Fin_Mix_Mod, parameters = T) ---------------------------------------------------- Gaussian finite mixture model fitted by EM algorithm ---------------------------------------------------- Mclust VVV (ellipsoidal, varying volume, shape, and orientation) model with 4 components : log.likelihood n df BIC ICL -23317.19 796 179 -47830.02 -47871.17 Clustering table: 1 2 3 4 60 231 445 60 Mixing probabilities: 1 2 3 4 0.07546132 0.29316515 0.55590974 0.07546380 Means: [,1] [,2] [,3] [,4] totalAssets 4038.55193368 1.388963e+04 3544.00891411 2.737113e+05 sales 3763.15979708 1.295835e+04 3795.63054775 5.218232e+05 AddedValue 905.79367456 3.065647e+03 1013.77087742 6.301143e+04 tfp -1.02577786 -8.593128e-01 -0.85758857 -6.328977e-01 leverage 52.71235595 4.264984e+00 6.78796760 3.413032e+00 roe -8.83182548 8.442515e-02 0.16955939 2.107445e-01 roi -0.03383341 6.698955e-02 0.04974908 6.503873e-02 ros -0.05937026 5.201927e-02 0.04366567 6.165791e-02 Variances: [,,1] totalAssets sales AddedValue tfp leverage totalAssets 28034301.0334 1.596880e+07 2.974442e+06 -1.124102e+03 864421.032679 sales 15968804.2639 1.281101e+07 2.214843e+06 -4.945198e+02 292378.761744 AddedValue 2974441.7052 2.214843e+06 5.670050e+05 -4.347605e+01 97229.076260 tfp -1124.1024 -4.945198e+02 -4.347605e+01 3.757346e-01 -51.626991 leverage 864421.0327 2.923788e+05 9.722908e+04 -5.162699e+01 195759.222929 roe -263971.1129 -9.261075e+04 -2.898993e+04 1.911798e+01 -39544.682291 roi -299.5348 -9.017022e+01 -9.928931e+00 3.750133e-02 -5.912236 ros -593.5830 -2.127530e+02 -3.594413e+01 5.312045e-02 -19.240289 roe roi ros totalAssets -2.639711e+05 -299.53475228 -593.58304408 sales -9.261075e+04 -90.17022285 -212.75297260 AddedValue -2.898993e+04 -9.92893072 -35.94413278 tfp 1.911798e+01 0.03750133 0.05312045 leverage -3.954468e+04 -5.91223554 -19.24028900 roe 1.025062e+04 3.13655800 7.26536723 roi 3.136558e+00 0.01399960 0.01839277 ros 7.265367e+00 0.01839277 0.02838561 [,,2] totalAssets sales AddedValue tfp leverage totalAssets 1.685551e+08 1.111113e+08 2.782122e+07 -3.370544e+03 8.595230e+03 sales 1.111113e+08 1.124514e+08 2.173046e+07 -1.214809e+03 1.182107e+04 AddedValue 2.782122e+07 2.173046e+07 7.555128e+06 3.599605e+01 -2.144531e+02 tfp -3.370544e+03 -1.214809e+03 3.599605e+01 7.405335e-01 -5.467254e-01 leverage 8.595230e+03 1.182107e+04 -2.144531e+02 -5.467254e-01 2.102203e+01 roe -1.219499e+03 -6.070923e+02 2.932530e+01 1.722934e-01 -7.113850e-01 roi -4.440056e+02 -2.575205e+02 -6.645242e+00 5.150834e-02 -1.234153e-01 ros -2.826593e+02 -1.876295e+02 1.513172e+01 4.582815e-02 -9.757679e-02 roe roi ros totalAssets -1.219499e+03 -444.00558534 -282.65932125 sales -6.070923e+02 -257.52048834 -187.62953680 AddedValue 2.932530e+01 -6.64524219 15.13171872 tfp 1.722934e-01 0.05150834 0.04582815 leverage -7.113850e-01 -0.12341530 -0.09757679 roe 1.303685e-01 0.03593167 0.02771910 roi 3.593167e-02 0.01517351 0.01138550 ros 2.771910e-02 0.01138550 0.01097101 [,,3] totalAssets sales AddedValue tfp leverage totalAssets 6.043080e+06 5.180334e+06 1.062119e+06 -71.956651401 -2.260850e+03 sales 5.180334e+06 6.489499e+06 1.128399e+06 5.801543819 -9.626873e+02 AddedValue 1.062119e+06 1.128399e+06 3.238588e+05 44.900206940 -2.760563e+02 tfp -7.195665e+01 5.801544e+00 4.490021e+01 0.229620796 -8.258290e-02 leverage -2.260850e+03 -9.626873e+02 -2.760563e+02 -0.082582903 3.782042e+01 roe -1.083213e+02 3.262907e+01 1.682532e+01 0.029683346 5.806831e-01 roi -1.049848e+01 8.003583e+00 4.615191e+00 0.005251868 -6.542500e-04 ros 4.842211e+00 7.396491e-02 4.148106e+00 0.003210582 -1.211598e-02 roe roi ros totalAssets -1.083213e+02 -10.498479632 4.842210751 sales 3.262907e+01 8.003583265 0.073964910 AddedValue 1.682532e+01 4.615190638 4.148106058 tfp 2.968335e-02 0.005251868 0.003210582 leverage 5.806831e-01 -0.000654250 -0.012115978 roe 8.041491e-02 0.008928810 0.005316769 roi 8.928810e-03 0.001732127 0.001202488 ros 5.316769e-03 0.001202488 0.001191530 [,,4] totalAssets sales AddedValue tfp leverage totalAssets 2.418395e+11 6.540672e+11 3.755686e+10 -3.150822e+03 2.732823e+04 sales 6.540672e+11 2.068018e+12 8.666432e+10 -5.223943e+04 8.502227e+04 AddedValue 3.755686e+10 8.666432e+10 7.587509e+09 2.558070e+03 1.847957e+03 tfp -3.150822e+03 -5.223943e+04 2.558070e+03 4.141686e-01 9.628237e-04 leverage 2.732823e+04 8.502227e+04 1.847957e+03 9.628237e-04 7.628525e+00 roe -2.008993e+04 -6.213352e+04 -1.231056e+03 -3.777523e-03 -1.492614e-01 roi -3.155107e+03 -1.420097e+04 4.143129e+02 2.163253e-02 3.471990e-02 ros -4.191048e+03 -1.752779e+04 -7.068470e+00 1.357708e-02 -1.461897e-03 roe roi ros totalAssets -2.008993e+04 -3.155107e+03 -4.191048e+03 sales -6.213352e+04 -1.420097e+04 -1.752779e+04 AddedValue -1.231056e+03 4.143129e+02 -7.068470e+00 tfp -3.777523e-03 2.163253e-02 1.357708e-02 leverage -1.492614e-01 3.471990e-02 -1.461897e-03 roe 1.643063e-01 -1.708432e-03 1.769951e-03 roi -1.708432e-03 7.199310e-03 5.846660e-03 ros 1.769951e-03 5.846660e-03 6.206116e-03 Attraverso il comando successivo si ottengono graficamente i risultati della classificazione; in particolare è possibile mostrare il clustering finale e l’incertezza della classificazione (l’andamento del BIC è già stato mostrato in precedenza). > plot(Fin_Mix_Mod) Model-based clustering plots: 2: classification 3: uncertainty > (tab2 <- table(cluster2$region)); round(prop.table(tab2)*100,2) Abruzzo Basilicata Calabria Campania Emilia Friuli Lazio 7 3 3 4 28 11 4 Liguria Lombardia Marche Piemonte Puglia Sardegna Sicilia 1 72 9 20 6 1 12 Toscana Trentino Umbria Valle d'aosta Veneto 12 6 4 1 27 Abruzzo Basilicata Calabria Campania Emilia Friuli Lazio 3.03 1.30 1.30 1.73 12.12 4.76 1.73 Liguria Lombardia Marche Piemonte Puglia Sardegna Sicilia 0.43 31.17 3.90 8.66 2.60 0.43 5.19 Toscana Trentino Umbria Valle d'aosta Veneto 5.19 2.60 1.73 0.43 11.69 > mean(cluster2$employees) [1] 53.36797 > round(prop.table(table(cluster2$age))*100,2) Young Old 56.71 43.29 > # Cluster3 > summary(cluster3) region nace age Length:445 fabricated metal products, except machinery and equipment:104 Young:304 Class :character machinery and equipment n.e.c. : 51 Old :141 Mode :character rubber and plastic products : 29 wearing apparel : 27 furniture : 24 food products : 23 (Other) :187 employees Min. : 10.00 1st Qu.: 15.00 Median : 19.00 Mean : 24.15 3rd Qu.: 29.00 Max. :340.00 > (tab3 <- table(cluster3$region)); round(prop.table(tab3)*100,2) Abruzzo Basilicata Calabria Campania Emilia Friuli Lazio 12 4 4 14 52 12 10 Liguria Lombardia Marche Molise Piemonte Puglia Sardegna 5 112 16 2 49 11 2 Sicilia Toscana Trentino Umbria Valle d'aosta Veneto 5 47 5 6 1 76 Abruzzo Basilicata Calabria Campania Emilia Friuli Lazio 2.70 0.90 0.90 3.15 11.69 2.70 2.25 Liguria Lombardia Marche Molise Piemonte Puglia Sardegna 1.12 25.17 3.60 0.45 11.01 2.47 0.45 Sicilia Toscana Trentino Umbria Valle d'aosta Veneto 1.12 10.56 1.12 1.35 0.22 17.08 > mean(cluster3$employees) [1] 24.14607 > round(prop.table(table(cluster3$age))*100,2) Young Old 68.31 31.69 > # Cluster4 region nace age employees Length:60 machinery and equipment n.e.c. :14 Young:24 Min. : 11.0 Class :character food products : 6 Old :36 1st Qu.:241.5 Mode :character rubber and plastic products : 5 Median :360.5 basic metals : 5 Mean :333.7 other non-metallic mineral products : 4 3rd Qu.:500.0 computer, electronic and optical products: 4 Max. :500.0 (Other) :22 > (tab4 <- table(cluster4$region)); round(prop.table(tab4)*100,2) Abruzzo Campania Emilia Friuli Lazio Lombardia Marche Piemonte Puglia Sardegna 2 3 12 3 2 16 1 6 1 2 Toscana Trentino Veneto 2 4 6 Abruzzo Campania Emilia Friuli Lazio Lombardia Marche Piemonte Puglia Sardegna 3.33 5.00 20.00 5.00 3.33 26.67 1.67 10.00 1.67 3.33 Toscana Trentino Veneto 3.33 6.67 10.00 > mean(cluster4$employees) [1] 333.7333 > round(prop.table(table(cluster4$age))*100,2) Young Old 40 60 Da quest’ultima analisi emerge che 48 delle 60 imprese classificate nel primo gruppo (80%) sono imprese giovani e con un numero medio di 32-33 dipendenti. Sono localizzate per lo più in Lom- bardia (30%), Emilia Romagna (13.33%), Piemonte e Veneto (11.67%). Dunque, nel 2008, lo stato di salute peggiore ha caratterizzato le piccole-medie imprese, che non erano entrate da molto a far parte del mercato. Nel secondo cluster rientrano in percentuali prossime imprese più e meno giovani (56.71% e 43.29% rispettivamente), che impiegano in media circa 53 lavoratori. Anche in questo caso le regioni di provenienza sono soprattutto quelle del Centro-Nord, ma rispetto al gruppo prece- dente cresce la frequenza delle imprese in regioni del sud, quali Abbruzzo, Basilicata e Calabria e nelle due isole. Il terzo cluster, quello più numeroso e le cui unità tendono allo stato di salute peggiore, si com- pone per il 68.31% di imprese giovani e per il restante 31.69% di imprese mature con, media- mente, 24 dipendenti circa. Infine, vi sono le imprese di grandi dimensioni (circa 334 dipendenti in media) di cui il 60% opera già da tempo sul mercato; queste compongono il quarto cluster, che, come si è detto, nel 2008 si caratterizzava per il migliore stato di salute. In quest’ultimo caso, si restringe ulteriormente il gruppo delle regioni di provenienza, registrando comunque percentuali maggiori in regioni del Nord.