Metodi statistici teoria, Esercizi di Statistica

Scarica Metodi statistici teoria e più Esercizi in PDF di Statistica solo su Docsity! 1 UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE LARGO A.GEMELLI, 1 - 20123 MILANO Appunti di METODI STATISTICI PER LA FINANZA E LE ASSICURAZIONI a.a. 2015/2016 RICCARDO BRAMANTE DIEGO ZAPPA Milano − Settembre 2015 DIPARTIMENTO DI SCIENZE STATISTICHE R. Bramante – D. Zappa 2 Premessa Gli argomenti trattati in questo corso sono preliminari per la comprensione e l’applicazione di tecniche statistiche più avanzate in ambito finanziario/economico. La presentazione verrà accompagnata da esempi numerici svolti in Excel al fine di acquisire anche l’operatività e le potenzialità di alcune formulazioni. Per un proficuo apprendimento si richiedono le nozioni di analisi matematica e di statistica apprese nei corsi di laurea a tradizionale contenuto economico ed una almeno sufficiente conoscenza di Excel. La presentazione non ha pretese di esaustività ma di stimolo ad approfondimenti e anche di riflessione sull’impiego di assunzioni (vedi ad esempio il ruolo della v.c. gaussiana) che spesso trovano nell’evidenza empirica limiti di applicabilità. A tale scopo si suggerisce la lettura dei testi in bibliografia. Gli appunti con ulteriori integrazioni sono raccolti nel volume Zappa D., Nai Ruscone M., Bramante R. (2012) Appunti di metodi statistici per la finanza e le assicurazioni, EDUCatt, Novembre 2012 ISBN: 8883119649 ISBN-13: 9788883119644 5 CASUALE() CASUALE.TRA(inf;sup) DISTRIB.modello(valore; parametri; cumulativo) {modello: BETA, BINOM, BINOM.NEG, CHI, EXP, F, GAMMA, IPERGEOM, LOGNORM, NORM, NORM.ST, T} INV.modello(probabilità; parametri) RICERCA OBIETTIVO (GOALSEEK) Componenti aggiuntivi: Risolutore (SOLVER): consente di risolvere problemi di programmazione lineare e problemi non lineari (numerose sono le opzioni per controllare il processo di calcolo) Analisi dei dati: permette di effettuare agevolmente procedure statistiche tra cui: regressione, campionamento, verifica di ipotesi, correlazione,… R. Bramante – D. Zappa 6 1. Primo obiettivo del corso In Blackboard sono già disponibili alcuni serie storiche di titoli azionari quotati alla Borsa di New York ed il corrispondente indice (S&P 500). In generale i dati storici (attenzione alla frequenza di rilevazione) possono essere reperiti dai principali provider di mercato (Bloomberg, Reuters, Datastream, ….). Agevole e “free” è il download dei dati da Yahoo! Finanza (http://it.finance.yahoo.com). Come esercitazione, si scarichi la serie storica dei valori giornalieri degli ultimi 2 anni del FTSEmib (di seguito un esempio con dati dal 25/08/2010 al 28/08/2012). Il download comprende i campi 7 Date | Open | High | Low | Close | Volume | Adj.Close 1 Si proceda quindi con l’eseguire operazioni di EDA (Exploratory Data Analysis). Si riportano nel seguito alcuni grafici ed elaborazioni descrittive applicate alla serie Adj.Close Tracciato storico Analisi esplorativa del Trend Si ipotizzi di voler calcolare (utilizzando i minimi quadrati ordinari) i parametri dei modelli Retta : AdjCloset = α1+α2⋅t Polin. di ordine 2 : AdjCloset = β1+β2⋅t +β3⋅t2 dove t rappresenta il tempo. 1 Nel caso di serie riferite ad un indice di mercato, il campo Volume è pari a 0 non trattandosi di titolo quotato (a meno di un suo utilizzo in derivati che hanno il medesimo come sottostante). La serie Adj.Close comprende le correzioni dovute a operazioni societarie, es. split di azioni, stacco di dividendi, che in generale abbiano comportato variazioni non casuali sui prezzi di chiusura. Per ulteriori i dettagli, si rimanda ai corsi di finanza. R. Bramante – D. Zappa 10
 =  − 1 e
 = ln   per k=1,2 si ha
 = ln1 +
 = ln   ⋅…   =
!  !" Alcuni grafici ed elaborazioni per la serie rt -o-o-o-o-o-o-o-o-o-o- Data una serie storica si definisca media mobile di ordine (h) di una serie storica # $$%# = #% + #% +⋯+ # ℎ ()
* = ℎ − 1, ℎ, … -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 log(rendim(5)) 11 Si definisca la stima dello sqm mobile di ordine h di una serie storica # ,-.$%# = / 1ℎ − 1 #%! −$$%#%!" ()
* = ℎ − 1, ℎ, … (N.b. la media mobile col corrispondente sqm mobile possono essere assegnati ad un qualunque istante temporale dell’intervallo [t-h,h]. Una frequente scelta è assegnare il valore al punto centrale dell’intervallo temporale.) N.B. Nel seguente grafico è stata aggiunta la serie dello sqm mobile di ordine 15 Domanda : Quale commento si può dare circa la serie dei rendimenti? È una serie “omoschedastica”? -o-o-o-o-o-o-o-o-o-o- -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 sqm(log(rendim)(15) log(rendim(5)) R. Bramante – D. Zappa 12 Volendo invece considerare tutte le informazioni raccolte, un metodo alternativo può essere quello di introdurre un sistema di pesi che dia più rilevanza alle informazioni più recenti rispetto a quelle più lontane nel tempo. La risposta in questa direzione è l’impiego di modelli autoadattativi (livellamento esponenziale), il quale si basa sulla seguente relazione ricorrente ( )T 1|T T T|T 1ˆ ˆx x 1 x+ −= γ ⋅ + − γ ove con T 1|Tx̂ + si è indicata la previsione a un passo fatta al tempo «T» e con «γ» la costante di spianamento o livellamento «0< γ <1». Volendo applicare quanto prospettato al problema della stima del quadrato della volatilità si può porre ( )2 2 2R|T, R|T 1, T1 rβ − βσ = β⋅σ + − β ⋅ ove 2R|T,βσ previsione a un passo, effettuata al tempo «T» del quadrato della volatilità 2Tr quadrato dell’ultimo tasso di rendimento 1β = − γ fattore di decadimento (complemento ad uno della costante di spianamento) Tenendo presente l’aspetto ricorsivo si può scrivere ( )2 2 2R|T 1, R|T 2, T 11 r− β − β −σ = β⋅σ + − β ⋅ 15 Domanda: può servire per trarre informazioni sul mercato? Domanda: quali informazioni si desumono circa la dipendenza di rt da rt-1 ? Le stesse conclusioni le trarremmo se confrontassimo rt con rt-2, rt-3, rt-4,…? Statistiche descrittive di rt Rendim(c)= log(R(t)+1) Media -0.00022 Errore standard 0.000372 Mediana 9.62E-05 Moda #N/D Deviazione standard 0.008402 Varianza campionaria 7.06E-05 Curtosi 1.033879 Asimmetria -0.21032 Intervallo 0.058327 Minimo -0.03059 Massimo 0.027734 Somma -0.11041 Conteggio 509 y = 0.0453x - 0.0002 R² = 0.0021 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 r_t R. Bramante – D. Zappa 16 Tra le statistiche descrittive ci si limita a ricordare il dignificato delle statistiche di asimmetria e curtosi. Tali indici fanno parte dei c.d. indici di forma e vengono usati per saggiare di quanto la distribuzione osservata possiede forma differente dalla distribuzione gaussiana. Tra gli indici di asimmetria quello più usato è ( ) 3 1 1 13 1 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Me X Mo X M X Me X Mo X Me X Mo X γ µ µ γ γ µ σ γ µ < ⇒ ≤ ≤ −  = ⇒ = ⇒ = =  > ⇒ ≥ ≥ La stima (non distorta) è 3 1̂ ( 1)( 2) n X x n n s γ −  =   − −   ∑ Per la curtosi di usa in genere ( ) 4 2 2 24 2 0 3 0 0 distribuzione platicurtica M X distribuzione normocurtica distribuzione leptocurtica γ µ γ γ σ γ < ⇒ −  = − ⇒ = ⇒  > ⇒ 17 La stima (non distorta) è 4 2 2 ( 1) 3( 1) ˆ ( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3) n n X x n n n n s n n γ + − −  = −  − − − − −  ∑ Dalle statistiche descrittive emerge una leggera asimmetria negativa e una accentuata (lepto)curtosi Istogramma 0.00% 20.00% 40.00% 60.00% 80.00% 100.00% 120.00% 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 F re q u e n za Classe Istogramma Frequenza % cumulativa