Concetti di base sui vettori e le operazioni tra di essi, Slide di Fisica

Scarica Concetti di base sui vettori e le operazioni tra di essi e più Slide in PDF di Fisica solo su Docsity! Metodo scientifico, grandezze fisiche e loro misura La scienza è mossa da due motori principali:  la libera curiosità intellettuale  la necessità di soddisfare bisogni individuali e collettivi. Ciò si riflette in un equilibrio tra immaginazione (teoria, speculazione, ...) e tecnica (applicazione, produzione,...). Sia immaginazione che tecnica inducono domande sulla natura. Affinché domande e risposte producano conoscenza (scienza) occorrono un buon metodo e un buon linguaggio che permetta di rendere le conoscenze durature, progressive e universali (matematica). Introduzione Estensioni/riformulazioni di teorie fisiche I campi di indagine si estendono e la precisione delle misure migliora. Capita allora che certi principi cessino di essere validi. In questo caso si può generalizzare i principi noti o sostituirli con nuovi principi. In questo secondo caso, i vecchi principi mantengono comunque validità entro il campo in cui erano stati introdotti e verificati. La meccanica newtoniana è l’archetipo di teoria fisica (ruolo delle osservazioni, sviluppo dei concetti, linguaggio matematico,…). È anche il punto di partenza per le successive teorie (relatività Einsteiniana e meccanica quantistica). Osservazione quantitativa Lo studio di un fenomeno fisico consiste nella misura delle grandezze che lo caratterizzano e nell’individuazione dei legami che intercorrono tra esse. Cosa rende un’osservazione quantitativa? Si osserva un fenomeno scegliendo le condizioni migliori per estrarre la massima informazione. Si cercano condizioni ripetibili, riproducibili anche da altri osservatori. L’osservazione quantitativa richiede procedure operative per la misura di grandezze fisiche. Ogni grandezza fisica è associata al concetto di estensione. La procedura operativa richiede istruzioni su come operare il confronto tra la grandezza da misurare e un campione di misura scelto arbitrariamente. Il confronto produce numeri, universalmente accettabili, con un’incertezza sperimentale, anch’essa esprimibile con numeri. Procedure operative di misura  La misura diretta definisce grandezze fondamentali. Consideriamo una classe di grandezze omogenee tra loro e arbitrariamente ne scegliamo una che sarà la nostra unità di misura 𝑈. La misura 𝑥 di una qualunque altra grandezza 𝐺 della stessa classe è ottenuta da 𝑥 = 𝐺 𝑈 dove 𝑥 rappresenta la misura della grandezza 𝐺 rispetto all’unità di misura 𝑈. Dato che la scelta dell’unità di misura è arbitraria, se cambiamo unità di misura, anche il valore della misura di 𝐺 cambia 𝑥′ = 𝐺 𝑈′ = 𝑥 𝑈 𝑈′  La misura indiretta definisce grandezze derivate. La misura di una grandezza derivata dipende dalla misura di grandezze fondamentali legate alla grandezza da misurare da una legge fisica Errore accidentale e sistematico  Errore accidentale o statistico: insieme di accadimenti che possono influenzare la registrazione del dato sperimentale in modo casuale (aumentando o diminuendo il valore della misura).  Errore sistematico: un qualunque fatto che interviene a ogni atto di misura influenzando nello stesso modo il valore sperimentale misurato. L’incertezza nella misura è maggiore della sensibilità dello strumento (scostamento minimo apprezzabile dallo strumento) perché l’errore tiene conto di diversi fenomeni che intervengono all’atto della misura. Si ottiene una misura migliore acquisendo la misura più volte e calcolandone la media, proprio perché l’errore si presenta con valori statisticamente differenti. La precisione è definita come la deviazione standard dei dati rispetto al loro valore medio. L’accuratezza è definita come lo scostamento del dato sperimentale rispetto al dato reale (supponendo di conoscerlo). Cifre significative Il numero delle cifre significative con cui esprimiamo un risultato indica l’incertezza da attribuire alla misura. Di un numero:  La cifra meno significativa è la prima da destra diversa da zero (se il numero ha una parte decimale, anche lo zero è significativo), e la sua posizione decimale rappresenta l’ordine di grandezza dell’incertezza nella misura del valore della grandezza  La cifra più significativa è la prima da sinistra diversa da zero  Le cifre significative sono le cifre comprese tra i due estremi (inclusi) sopra definiti. Esempi:  0.0376, la cifra meno significativa è 6, la più significativa è 3, e quindi il numero di cifre significative è 3.  Se scriviamo1300, è chiaro che 1 è la cifra più significativa ma ci può essere confusione se la cifra meno significativa sia 3 o 0. Per rimuovere il dubbio, per i numeri maggiori di 1, conviene scrivere i numeri in notazione scientifica: scrivendo 1.3 ∙ 103, avremo due cifre significative, scrivendo 1.30 ∙ 103, avremo tre cifre significative Notazione scientifica Per poter esprimere in modo compatto sia numeri molto grandi sia molto piccoli si scrivono tali valori in forma esponenziale detta notazione scientifica 𝑎 ∙ 10𝑏 dove 𝑎 prende iI nome di mantissa e 𝑏 prende il nome di esponente. L’esponente serve a indicare l’ordine di grandezza, ossia la potenza di 10 che stima (entro un fattore 10) il valore della grandezza. Per determinare l’ordine di grandezza di un numero 𝑥 si procede nel modo seguente:  si scrive il numero in notazione scientifica, nella forma 𝑥 = 𝑎 ∙ 10𝑏  se 𝑎 < 5, l’ordine di grandezza del numero 𝑥 è 𝑏  se 𝑎 ≥ 5, l’ordine di grandezza del numero 𝑥 è 𝑏 + 1 Esempi:  massa della Terra = 5,981024kg → o.d.g. = 1025 kg  massa del protone = 1,6710-27kg → o.d.g. = 10-27 kg Analisi dimensionale Le equazioni della Fisica confrontano grandezze omogenee, grandezze cioè aventi le stesse dimensioni fisiche. I simboli per specificare lunghezza, massa e tempo sono 𝐿, 𝑀, 𝑇. Per indicare le dimensioni di una grandezza si usa il simbolo grafico []. Per esempio, [𝑣] = [𝐿] [𝑇] . L’omogeneità delle grandezze a confronto nelle equazioni della Fisica è alla base dell’analisi dimensionale, uno strumento potente per:  controllare la correttezza dei risultati di un calcolo o l’espressione di una legge fisica  trovare nuove relazioni tra grandezze fisiche (se si risolve un problema che, ad esempio, richiede di trovare la forza agente su di un punto materiale tramite altre grandezze assegnate, la relazione con cui si combinano queste ultime dovrà avere le dimensioni di una forza, cioè [𝑀][𝐿][𝑇]−2). Grandezze adimensionali Le grandezze adimensionali si definiscono come rapporto fra grandezze omogenee, cioè aventi la stessa unità di misura. Il loro valore è indipendente dal sistema di unità di misura scelto. 𝛽 = L / r Un esempio è l’angolo piano. Esso è la porzione di spazio intercettata da due semirette che convergono in un punto 𝑂. La misura di tale angolo è definita come il rapporto tra la lunghezza 𝐿 dell’arco di una circoferenza di raggio 𝑟 (intercettata dalle due rette e avente il centro nel punto di intersezione delle due semirette) e il raggio stesso, ossia: La grandezza è adimensionale ma per meglio evidenziarlo si preferisce assegnare all’angolo piano l’unità di misura radiante. [𝛽] = [𝐿] [𝐿] Grandezze fisiche scalari e vettoriali Operazioni tra vettori (somma, prodotto), scomposizione di vettori Rappresentazione grafica, vettori liberi e applicati I due vettori Ԧ𝑎 ≡ 𝐴𝐵 e 𝑏 ≡ 𝐶𝐷 (dove il simbolo ≡ indica l’identità, non la semplice uguaglianza) sono equipollenti in quanto hanno sia lo stesso modulo, sia la stessa direzione sia lo stesso verso (pur essendo due vettori distinti). Ciò in generale è vero per i vettori liberi, per i quali l’origine non è fissata e che quindi non variano se vengono traslati (cioè spostati mantenendone costante la direzione). Per certe grandezze fisiche, invece, si rende necessario specificare (oltre a modulo, direzione e verso) anche il punto d’applicazione, cioè la posizione dell’origine. In questo caso si parla di vettori applicati. Ԧ𝑎 ≡ 𝐴𝐵 𝑏 ≡ 𝐶𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Operazioni tra vettori: prodotto di un numero (scalare) per un vettore Dato un vettore Ԧ𝑎 e uno scalare (numero reale) 𝑚, il loro prodotto è definito da: 𝑏 = 𝑚 Ԧ𝑎 cioè un vettore di modulo pari a 𝑚 a, direzione uguale alla direzione di Ԧ𝑎 e verso concorde (se 𝑚 > 0) o opposto (se 𝑚 < 0).  Ponendo 𝑚 = −1, otteniamo il vettore opposto: 𝑏 = − Ԧ𝑎  Ponendo 𝑚 = 0, otteniamo il vettore nullo il cui modulo è nullo (|𝑏|= 0 mentre non ne sono definiti né la direzione né il verso  Ponendo 𝑚 = 1/ Ԧ𝑎 , otteniamo il versore: 𝑢𝑎 = 𝑎 𝑎 ossia un vettore di modulo unitario, adimensionale, la cui direzione e il cui verso sono uguali a quelli del vettore Ԧ𝑎. La definizione di versore è importante per la scomposizione dei vettori lungo rette orientate. Infatti, per ogni retta orientata, esiste un unico versore che ne rappresenta la direzione e il verso. Operazioni tra vettori: somma di vettori Dati i vettori generici Ԧ𝑎 e 𝑏, il vettore somma Ԧ𝑐 (vettore risultante), espresso dalla relazione Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 + 𝑏 si può ottenere attraverso:  il metodo punta-coda  il metodo del parallelogramma  il metodo della poligonale Operazioni tra vettori: somma di vettori con il metodo poligonale Quando si devono sommare più vettori è utile utilizzare la regola della poligonale, derivata per estensione della regola punta-coda. Si dispongono i vettori in sequenza in modo da far coincidere l’origine di ogni vettore con l’estremo libero del precedente. A questo punto il vettore somma risultante si otterrà semplicemente congiungendo l’origine del primo vettore con l’estremo libero dell’ultimo. In particolare se la poligonale si chiude, la somma è nulla. Operazioni tra vettori: somma di vettori La somma di vettori gode della proprietà commutativa: Ԧ𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + Ԧ𝑎 La somma di vettori gode della proprietà associativa: Ԧ𝑎 + 𝑏 + Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 + 𝑏 + Ԧ𝑐 Ԧ𝑎 𝑏 Ԧ𝑐 Ԧ𝑑 Il vettore risultante è 𝑅 = (𝐴𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ𝑗) + (𝐵𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐵𝑦 ෡𝑗) Per effettuare questa somma è sufficiente sommare le componenti lungo gli assi 𝑥 e 𝑦 separatamente 𝑅 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 Ƹ𝑖 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦) Ƹ𝑗 Operazioni tra vettori: somma tra vettori mediante somma algebrica delle componenti Supponimo di voler sommare i vettori Ԧ𝐴 𝑒 𝐵 Il modulo di 𝑅 e l’angolo che esso forma con l’asse 𝑥 possono essere ottenuti attraverso: 𝑅 = 𝑅𝑥 2 + 𝑅𝑦 2 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2+ 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑅𝑦 𝑅𝑥 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 Operazioni tra vettori: prodotto scalare Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà:  Il prodotto scalare è commutativo: 𝑏 ∙ Ԧ𝑎 = 𝑏 𝑎 cos 2𝜋 − 𝜃 = a b cos𝜗  Il prodotto scalare è distributivo rispetto alla somma: Ԧ𝑎 ∙ 𝑏 + Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 ∙ 𝑏 + Ԧ𝑎 ∙ Ԧ𝑐 Il prodotto scalare dei versori del sistema di riferimento cartesiano è dato da: Ƹ𝑖 ∙ Ƹ𝑖 = Ƹ𝑗 ∙ Ƹ𝑗 = ෠𝑘 ∙ ෠𝑘 = 1 Ƹ𝑖 ∙ መ𝐽 = Ƹ𝑖 ∙ ෠𝑘 = Ƹ𝑗 ∙ ෠𝑘 = 0 Operazioni tra vettori: prodotto scalare Notiamo come si possa scrivere il prodotto scalare come: Ԧ𝑎  𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜗 = a (b cos𝜗) Il termine tra parentesi (b cos𝜗) equivale alla lunghezza del segmento OHA dove HA è il punto in cui la perpendicolare passante per l’estremo libero del vettore 𝑏 interseca la retta orientata su cui giace Ԧ𝑎. Tale lunghezza va presa con segno positivo se ϑ < Τ𝜋 2 e con segno negativo se ϑ > Τ𝜋 2. Tale operazione prende il nome di proiezione ortogonale di 𝒃 su 𝒂. Alternativamente, raccogliendo i termini nel modo seguente Ԧ𝑎  𝑏 = 𝑏 (𝑎 𝑐𝑜𝑠θ), notiamo che il termine 𝑎 𝑐𝑜𝑠θ equivale alla lunghezza del segmento 𝑂𝐻𝐵. In definitiva, il prodotto scalare tra due vettori equivale al prodotto del modulo di uno di essi per la proiezione dell’altro sul primo. Operazioni tra vettori: prodotto vettoriale Si definisce prodotto vettoriale tra i vettori generici Ԧ𝑎 e𝑏 𝑏 il vettore Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 x 𝑏 avente  modulo pari al prodotto del modulo di Ԧ𝑎 per il modulo di 𝑏 per il seno dell’angolo 𝜗 compreso: c = 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜗  direzione perpendicolare al piano formato dai due vettori Ԧ𝑎 e 𝑏  verso individuato dalla cosiddetta  regola del pugno: chiudendo il palmo della mano destra secondo la rotazione che porta Ԧ𝑎 verso 𝑏 (lungo il percorso più breve, cioè secondo l’angolo convesso ϑ), il verso di Ԧ𝑐 è indicato dal pollice della mano destra.  regola della mano destra: disponendo la mano in modo che il pollice indichi la direzione di Ԧ𝑎 e l’indice la direzione di 𝑏 (ϑ convesso), il medio indica il verso di Ԧ𝑐 Scomposizione di vettori: scomposizione nello spazio Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣𝑟 + Ԧ𝑣𝑠 + Ԧ𝑣𝑡 = 𝑣𝑟𝑢𝑟 + 𝑣𝑠𝑢𝑠 + 𝑣𝑡𝑢𝑡 Nel caso 3D, si considerino tre generiche rette orientate 𝑟, 𝑠 e 𝑡 non complanari. Poniamo il punto di intersezione delle rette in corrispondenza dell’origine del vettore Ԧ𝑣 che si vuole scomporre. Iniziamo col tracciare un segmento parallelo alla retta 𝑡 passante per l’estremo libero di Ԧ𝑣: si otterrà così la proiezione (non ortogonale) di Ԧ𝑣 nel piano σ formato da 𝑟 ed 𝑠, che chiameremo Ԧ𝑣𝜎. Questo vettore componente può essere scomposto nei vettori componenti Ԧ𝑣𝑟 e Ԧ𝑣𝑠. Spiccando poi dall’estremo libero di Ԧ𝑣 un ulteriore segmento parallelo a Ԧ𝑣𝜎, si identificherà sulla retta 𝑡 il rimanente vettore componente Ԧ𝑣𝑡 che completerà la scomposizione. Scomposizione di vettori: rappresentazione cartesiana ortogonale nello spazio La scomposizione cartesiana ortogonale si avvale di rette orientate ortogonali tra loro aventi un’origine comune nel punto 𝑂 e definite dai versori ortonormali 𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑢𝑧, tali che 𝑢𝑥 × 𝑢𝑦 = 𝑢𝑧 𝑢𝑦 × 𝑢𝑧 = 𝑢𝑥 𝑢𝑧 × 𝑢𝑥 = 𝑢𝑦 e 𝑢𝑥 𝑢𝑦 = 𝑢𝑦  𝑢𝑧 = 𝑢𝑧  𝑢𝑥 = 0 La scomposizione cartesiana del vettore diventa Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣𝑥 + Ԧ𝑣𝑦 + Ԧ𝑣𝑧 = 𝑣𝑥 𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 𝑢𝑦 + 𝑣𝑧𝑢𝑧 Le componenti cartesiane sono date da: 𝑣𝑥 = Ԧ𝑣  𝑢𝑥 = 𝑣 cos 𝑣𝑦 = Ԧ𝑣  𝑢𝑦 = 𝑣 cos 𝑣𝑧 = Ԧ𝑣  𝑢𝑧= 𝑣 cos Scomposizione vettoriale: rappresentazione cartesiana ortogonale nel piano Consideriamo un vettore che giace nel piano 𝑥𝑦 e che forma un angolo arbitrario 𝜃 con l’asse 𝑥 positivo. Il vettore Ԧ𝐴 può essere scomposto nei vettori componenti Ԧ𝐴𝑥 e Ԧ𝐴𝑦, paralleli rispettivamente all’asse 𝑥 e y: Ԧ𝐴 = Ԧ𝐴𝑥 + Ԧ𝐴𝑦 dove 𝐴𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃 Il modulo e l’orientazione di Ԧ𝐴 dipendono dalle componenti tramite le espressioni: A = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 e 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1( 𝐴𝑦 𝐴𝑥 ) 𝑥 𝑦