NUMERI REALI: DEFINIZIONI, TEOREMI CON DIMOSTRAZIONI E PROPRIETÀ, Appunti di Analisi Matematica I

Scarica NUMERI REALI: DEFINIZIONI, TEOREMI CON DIMOSTRAZIONI E PROPRIETÀ e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! NUMER I REALI Lezione 1 04111 SIMBOLI E appartiene ¢ non appartiene ¥ per ogni ] esiste non esiste 71 esiste ed e' unico /uno ed un solo ⇒ implica / se . . . allora ⇒ equivale a /se e solo se : tale che E incluso / contenuto E incluso strettamente V oppure ☒ insieme vuoto LETTERE GRECHE 2 alfa Tgamma B beta J delta E epsilon in Omega IHSIEMI Definire un insieme significa dare un criterio di appartenenza . -Tabulazione (elenco) a _- {1.3,7} 1-EA 3Ea 7-EA P . 5 . l'ordine non conta a ={3, 1,73 e' uguale a a={1,3 ,7} RELAZIONI TRA INSIEMI - Uguaglianza a =B Aero hanno gli stessi elementi ogni elemento di A è elemento di B e viceversa × (✗ C-a)⇒ (✗EB) e ✗ (✗ C-B)⇒ (✗C-a) AEB e BEA Se vale solo la prima frase ✗ ( ✗C-a)⇒ (✗ C-B) si dice che a è contenuto / incluso in B AEB " incluso o uguale 1 dispari 12=1 3 dispari 32=1 5 dispari 52=25 Dimostrazione : Sia n EIN , n dispari ⇒ 3- KEIN : n = 2kt 1 ne =@Kt1)= = 4K2 -11-14K= 2 (ZKZ -12K)+1 In = ZKZ +2K E IN MENT na = 2h + 1-⇒ nz e' dispari EH→ (C.V.D) Enunciato : tnEIN n è primo⇒ ne' dispari → falsa 2e' prima e 2 e' pari (non dispari) 2e' un CONTROESEMPIO dell' enunciato ( che quindi è falso - Controinverso Enunciato : × PG)⇒ qcx) PG) = frase su × aG) = frase su × tx PG)⇒ acx) equivale a te non aG)⇒ non PCX) controinversa di ES: knEIN n è dispari ⇒ ne e'dispari controinversa kn C-IN nz e' pari ⇒ n è pari (2) (scrivere il contrario (dispari→pari) e invertire) Euclide teorema : non esiste un numero razionale il cui quadrato sia 2 dim : dimostriamolo per assurdo supponiamo per assurdo che esistano M . n E IN tali che (E)2=2 e supponiamo inoltre che m ed n siano primi tra loro ⇒ GI = 2⇒ ma = n= ⇒ maè pari ⇒ m è pari ⇒ e per (2) 7hE IN : m = 2h ⇒ Znz =MZ = (2h)2 = 4h2⇒ Zn2 = 4h2 ⇒ n2 = 2h2 ⇒ nz e' pari =p n e ' pari Sia m che n sono pari Assurdo perche ' me n sono primi tra loro Negazione di proposizioni → la negazione di " PG) eQQ) " è " non PG) oppure non QQ) " la negazione di " PG) o QQ) " è " non P'(×) e non Q(×) " la negazione di e ' : PG) e qG) non pcx) o qcx) pG)OGGI non pcx) e non acri non pcx) pcx) ' × vale pcx) 3- × : non pcx) 3-× : vale pcx) KX non vale pcx) tx (pG)⇒qcx)) ]× : vale pcx) e non vale aG) - CAMPI ORDINATI (mi riferisco a ☒ e IR) Assiomi → proprietà che affermo di essere valide RID E' definita in ④ un' operazione detta somma o addizione che ha le seguenti proprietà : 1) fa , b a+ b = b + a PROPRIETÀ COMMUTATIVA 2) ka ,b.ce☒ (a +b) + < = a + (b+c) PROPRIETÀ ASSOCIATIVA 3) esiste un elemento neutro per l'addizione chechiamiamo0 (zero) traEIR a+0 = a 4) esistenza dell' opposto faE☒ esiste un elemento (inverso di a per l'addizione tale che a + C-a)= O R) E' definita in ☒ un' operazione detta moltiplicazione o prodotto che ha le seguenti proprietà : 1) tra.be☒ a - b = b.a PROPRIETÀ COMMUTATIVA 2) V-a.beE☒ (a. b)- c = a. (b -c) PROPRIETÀ ASSOCIATIVA 3) Esiste un elemento neutro per il prodotto detto UHITÀ e denominato 1- (und tale che faE☒ a. 1-= a 4) Inverso del prodotto Per ogni a =/ 0 esiste un elemento detto INVERSO di a per il prodotto o RECIPROCO) denotato con a- 1- tale che a. a-1=1 5) V-a.beE☒ (a+b) . c = a - c. + b- a PROPRIETÀ distributiva - Relazione d'ordine si dice che E e' una relazione d' ordine su un insieme✗ se val = gono le seguenti proprietà 1) faEX a Ea PROPRIETÀ RIFLESSIVA 2) a. b EX se aEb e boia allora a=D PROPRIETÀ AHTISIMMETRICA 3) fa , b/ CE✗ se aEb e b Ec allora a EC PROPRIETÀ TRANSITIVA 1) ± c-E 2) ✗ C- E ±E × Un non ha un massimo Osservazione se e ha un elemento massimo , allora ne ha uno solo . Dim : Supponiamo che È e XÌ siano massimi di E , voglio dimostrare che È=È XT e' massimo di E⇒ 1) è c-E 2) ✗ €E ✗E XT È è massimo di e ⇒ (3)È C- e 4) × EE ✗ E Fa (4)HEE ✗ EE , È> Fa EE , PROPRIETÀ AHTISSIMETRICA se E è massimo si scrive è = ma✗E (e = mine) Es : Dimostrare che se E ha minimo allora esso e' unico . Oss : Non tutti gli insiemi hanno massimo . IN non hamassimo . Oss : se E e' finito ( cioè se ha un numero finito di elementi) allora ha massimo. Tab pag. 21 del Bramante -Pag Def : Sia EEX si dice che K C-✗ e ' maggioranze di E se ✗EE ✗EK i K non e' necessariamente elemento di E) Si dice che e' minoranze di E se ✗€ E KE X Oss: Se ti ha un maggiorante allora ne può avere tanti Se ✗= IR oppure ✗ = ☒ ed EI✗ ha un maggiorante, allora ne ha infiniti . Es: E = [1,2] EIR 2 e' maggiorarte di E perché ti€ E ✗E 2 3> 2 è maggiorarte di E (per la proprietà transitiva!) TKEE ✗E 2=3 ⇒ ✗=3 Oss: Se un maggiorarte di E appartiene ad E allora e ' il massimo di E Se E ha massimo allora esso e' un maggiorarte di E Il massimo di E e' un maggiorarte di e che appartiene ad E INSIEME LIMITATO SUPERIORMENTE Un insieme EEX si dice limitato superiormente se 7K€✗ : ✗EE ✗ EK ( cioè se E ha un maggiorante ) INSIEME LIMITATO INFERIORMENTE EE ✗ si dice limitato inferiormente se ZKEX : ✗ EE KE× (cioè se E ha un minorante) INSIEME LIMITATO EEX si dice limitato se è limitato siasuperior enteche inferiormente Oss : se E ha massimo allora e è limitato superiormente se E ha minimo allora E è limitato inferiormente ESTREMO SUPERIORE se E e' limitato superiormente si definisce estremo superiore di e il piu' piccolo dei maggiorenti di E (se esiste) . Esso si denota con il simbolo SUPE ESTREMO INFERIORE se E e' limitato inferiormente si definisce estremo inferiore di E il più grande dei minoranti di E (se esiste) l' estremo inferiore si denota con IHFE r Se E ha massimo allora MaxE coincide con l' estremo superiore di [ . Dim : Se E ha massimo allora è = ma ✗ E e' tale che I C-E e ✗ C-E ✗EI " è e' un maggiorarte diE 7 KEX Sia K un maggiorante di E ⇒ ✗EE ✗E K⇒ EEE⇒FEK ⇒ e e' il piu ' piccolo dei maggiorenti . MaxE = SUPE Es : Dimostrare che se E ha minimo allora minE = ingE SeE non è limitato superiormente allora si scrive SUPE = -100 Se e non e' limitato inferiormente si scrive IHFE = - 00 Proprietà dell’estremo superiore (PES) Proprietà dell’estremo inferiore (PEI) TEOREMA (Proprietà di Archimede) Def : Un insieme che soddisfi gli assiomi RaiRaiRs e C si dice campo ordinato completo . Oss : IR e' l' unico campo ordinato completo . Si dice che un insieme totalmente ordinato ✗ verifica la proprietà dell' estremo superiore se ogni sottoinsieme di ✗ non e limitato superiormente ammette estremo superiore . Domanda: la verifica P.ES. 7 Risposta: Sia a= Eg =[0,V2]n E ④ a=/ ☒⇐ OEA) ☒SupaEIR (c) IMPORTANTE : assioma di compl . ⇐> P.ES Cioe' se ✗ verifica (c) allora ✗ verifica P.ES . Se ✗ verifica P.ES . allora ✗ verifica (C) . (c)⇒ PES e PES ⇒(c) Si dice che un insieme totalmente ordinato ✗ verifica la PEI se ogni sottoinsieme di✗ non e limitato inferiormente ammette estremo inferiore Oss : (c)⇒ Pel⇐> PES 1" conseguenza ✗EIR In€ IN : n >✗ IN non e ' limitato superiormente Dim : Per assurdo supponiamo che 3- ✗ EIR : ltnE IN n EX IN e' limitato superiormente → questo implica per laproprietà dell' estremo superiore 3- c = sup IN CEIR Potenze con esponente reale C' è un maggiorarte di 1N(il più piccolo dei maggioranti) V-n-c.IN n Ec fine IN n + 1-E IN⇒ c- 1 è maggiorarte di IN c- 1- < c = sup IN assurdo! Infatti non può esistere un maggiorana strettamente minore del sup !!! 2" conseguenza del PES sia aEIR a>0 Siano mine IN M¥0 aE -984:)" = (Val" se m e' pari§ ah per a < 0 Sia a>0 sia be IRI b>O cosa vorrà dire ab ? (per esempio È ? ) 1-° caso : a= 1 16% 2° caso : a>1 Osserviamo che se a>1 e se × , e ✗2 E ④ con 0< ✗'<✗2 allora a ×' < a ✗2 be IRla scrivo b in forma decimale bo , bi ,bz.bs.ba , bn . . _ Mi c- IN bit {0,1/2,3/4/46,718,9} bo E ba , b, E bo , bi , bz E . . . E bo ,bi , bn . . . ⇒ cibo E aborti E a bo , biibz Sia E = { a" , aboib ' , . . . . abobibn . . . . } osserva che E e' limitato superiormente , infatti abo +1 e ' un maggi rante die Es : 1 , 4142 . . . =D bo = A bo.br = 1,4 bo , birba = 1,40 ↳+1=2 > bio ,birba . . . bn Pes⇒ 3- supEEIR Pertanto definisce ab-98Supe PROPRIETÀ (Caratteristica degli intervalli) 3° caso : Se a C- (0,1) e se ✗i ,✗z L con 0 < ✗il ✗2 allora a × ' > a ✗2 IÉY >TÉP⇐ I > È Sia b = bo ,bi.bz.bg . . . bn Sia E = cibo , ababi , . . . , aborbi.br} dove a boy a borb' 7 a barba ibn , . . . E è limitato inferiormente , per esempio abo +1 è un minorante di e per PEI esiste inge ab Et inge se a>o e bco ⇒ - b>o ab -98 1- a- b 1 e' un intervallo di IR se e solo se Xi e ✗z E 1 : ✗ i < ✗2 e KX : × , < ✗ < ✗ z risulta ✗EI •d- ✗ , ✗ ✗ 2