OPERATORI DIFFERENZIALI, Appunti di Bioimaging

Scarica OPERATORI DIFFERENZIALI e più Appunti in PDF di Bioimaging solo su Docsity! OPERATORI DIFFERENZIALI 1. Operatori che hanno come input un’immagine e come output un’immagine con una maggiore messa a fuoco di dettagli e accentuazione di contorni (MIGLIORAMENTO DELL’IMMAGINE). 2. Operatori che hanno come input un’immagine e come output i contorni estratti dall’immagine di input (SEGMENTAZIONE). 3. I contorni possono essere visti come discontinuità dei valori dei livelli di grigio e quindi li si può selezionare con una ricerca eseguita direttamente sui livelli di grigio. 4. Misure locali di livelli di grigio (natura locale dei contorni). 5. Intuitivamente: Sfocare fare la media, integrare Mettere a fuoco differenziare. 6. Gli operatori differenziali arricchiscono i contorni ma aumentano il rumore casuale di fondo. Modelli di bordi (caso mono-dimensionale) • Nelle immagini reali si possono trovare tutti tre questi tipi di bordi • Il bordo di un’immagine assomigliera’ ad una forma ideale sopra, a meno del rumore • Formulazione di modelli dei bordi per avere una loro descrizione matematica negli algoritmi di image processing • La performance di questi algoritmi dipendera’ dalle differenze fra i bordi reali ed i modelli dei bordi usati. Esempio monodimensionale )()1( xfxff −+=∂ )(2)1()1(2 2 xfxfxf x f x −−++= ∂ ∂ ∂ Proprieta’ della derivata prima e seconda • Le derivate I producono contorni di maggior spessore, le derivate II contorni piu’ sottili • Le derivate I hanno una i t i ’ f tr spos a p u or e a cambiamenti a rampa • Le derivate II hanno una risposta piu’ forte al dettaglio fine (quindi accentueranno molto anche il rumore) • Le derivate II producono un doppio contorno ai cambiamenti a gradino. Edge 1D: segnali e loro derivate Senza Rumore Con Rumore f( )x f ’(x) f ’’(x) Operatori del primo ordine (1) Si basano sul calcolo della derivata prima f(x) Ed . x ge f ’(x) threshold x Edge Edge detection 1D: schema f(x) Edge |….| >threshold Edge Thinning d dx () yes point no No Edge no No Edge Il di t di n’immagine f è: Operatori del primo ordine (2) • gra en e u ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ =⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −− ≈⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ ∂∂ =∇ xGyxfyxfxf yxf ),1(),( ),( • Gx e Gy operatori lineari, ma in generale non isotropici. ⎠⎝⎦⎣ −−⎠⎝ ∂∂ yGyxfyxfyf )1,(),( • Il vettore gradiente è diretto secondo il massimo accrescimento di intensità f: • Il valore in (x,y) della velocità di variazione nella direzione del vettore gradiente è dato dal modulo: 22),( yx GGfyxM +=∇= (operatore non lineare ma isotropico) , • la direzione del gradiente è data dall’angolo detto fase del gradiente: Operatori del primo ordine (3) )/(tan 1 xy GG −=α (operatore non lineare) Immagine Originale Modulo Fase Oss: Modulo e fase sono immagini della stessa misura dell’immagine originale. Approssimazioni del gradiente: 1 operatore di Roberts È ’ i i d l di h . • un appross maz one e gra ente c e usa le differenze diagonali • Si sfruttano le due maschere 2x2 G e Gx y per ottenere le componenti ┴ del gradiente: -1 1 0 0Gx zzGezzG == 0 1 6859 zzzzf −+−≈∇ 6859 yx −− • È molto sensibile al rumore 0 - 1 Gy • Maschere di ordine pari difficili da implementare, perché non hanno un centro di simmetria. Approssimazioni del gradiente: 2 operatore di Prewitt. • Si sfruttano maschere 3x3 che danno informazioni anche sulla direzione del bordo • L’operatore di Prewitt usa le due maschere: -1 0 1-1 -1 -1 -1 0 1 -1 0 1 0 0 0 1 1 1 Gx= Gy= )()()()( 741963321987 zzzzzzzzzzzzf ++−+++++−++≈∇ Esempio (operatore di Prewitt) Immagine originale Gx Gy Gradiente (operatore di Prewitt) Operatori differenziali del secondo ordine • La pendenza dell’attraversamento per lo zero della derivata seconda dipende dalla direzione in cui si calcola la derivata. Tale pendenza e’ massima se la derivata seconda e’ presa nella direzione l ll d l b d i l l di i d l dinorma e a a tangente e or o, c oè ungo a rez one e gra ente: ''2'''''''2' 2 yyyxyyxxxx fffffff ++ 2'2' yx ff • Questo tipo di operatore nonlineare e non isotropico e’ computazionalmente pesante • Marr e Hildreth utilizzarono l’operatore differenziale laplaciano: '''' 2 2 2 2 2),( yyxx ffy f x ffyxL += ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= (isotropico e lineare) • Marr e Hildreth dimostrarono che gli zeri del laplaciano coincidono con quelli della derivata seconda calcolata lungo la direzione del gradiente se la, variazione di intensita’ luminosa di f(x,y) lungo la direzione del bordo e’ nulla o al piu’ lineare. Operatore differenziale approssimabile mediante differenze finite: Approssimazioni del Laplaciano )]1,(),([)],1(),([),( 2 2 2 2 2 = ∂ −−∂ + ∂ −−∂ ≈ ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ y yxfyxf x yxfyxf y f x fyxf )1,()1,(),1(),1(),(4 )1,(),(),()1,(),1(),(),(),1( −+++−+++−= =−+−−++−+−−+= yxfyxfyxfyxfyxf yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf Il Laplaciano puo’ essere quindi implementato usando la seguente maschera: 0 1 0 1 -4 1 0 1 0 1. E’ invariante per rotazioni di 90° 2. E’ piu’ sensibile al rumore del gradiente (differenzia due volte) . 3. Per ridurre l’effetto del rumore, l’immagine deve essere prefiltrata con un filtro passa-basso. Esempi di operatori che implementano il Laplaciano 0 1 0 1 1 1 1 4 1 1 -8 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 _1 -1 -1 -1 4 -1 _I 8 -1 0 1 0 _1 _1 -1 ab cd FIGURE 3.39 (a) Filter mask used to implement the digital Laplacian, as defined in Eq. (3.7-4). (b) Mask used to implement an extension of this equation that includes the diagonal neighbors. (c) and (d) Two other implementations of the Laplacian. Estrazione di linee (Line Detection) • Problema: effetto della doppia linea • Esempio: figura binaria 486x486 figura scalata (il grigio medio rappresenta lo 0) Att: le linee con spessore maggiore della dimensione della maschera vengono trattate come regioni omogenee di cui trovare i contorni linee sottili rispetto alla maschera. , considerata come immagine, presenta contorni ed altre discontinuita’f2∇ Dall’immagine di contorni all’immagine “migliorata” su uno sfondo grigio. La figura originale f puo’ essere usata per recuperare lo sfondo ed ottenere l’immagine migliorata (con aumento del contrasto) g: ),(),(),( 2 yxfyxfyxg ∇±= (- se il coefficiente centrale della maschera laplaciana e’ negativo + se e’ positivo) )],(4)1,()1,(),1(),1([),( ),(),(),( 2 =−−+++−++−= =∇−= yxfyxfyxfyxfyxfyxf yxfyxfyxg , )]1,()1,(),1(),1([),(5 −+++−++−= yxfyxfyxfyxfyxf 0 -1 0 -1 5 -1 0 1 0 1 -4 1 0 0 0 0 1 0 - = 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 f(x,y) g(x,y))(2 yxf∇ Att. La maschera ha somma 1: l’applicazione a regioni uniformi le lascia inalterate. , Esempio Immagine originale Immagine filtrata I i i li t con Laplaciano mmag ne m g ora a ),(),(),( 2 yxfyxfyxg ∇+= LAPLACIAN of GAUSSIAN FILTER (LoG) (Marr-Hildreth 1980) Laplaciano del Gaussiano Gaussiano Derivata del Gaussiano )(G∂ )(2G∇2 22 21)( yx G + − , yx x σ∂ , yxσ Filt L G t i b di 22 , σσ πσ eyx = 2 22 2 4 222 22222 2),(),(),( σσσσ σ σ yxeyxyyxGxyxGyxG + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ =∂∂+∂∂=∇ ro o per es rarre or : • Poichè la derivata è un operatore lineare, fare il prodotto di convoluzione fra un’immagine ed il filtro LoG è lo stesso di fare prima il prodotto di convoluzione tra l’immagine ed il filtro di smoothing Gaussiano e poi calcolare il Laplaciano del risultato. Maschere per il filtro LoG (Mexican hat operator) ab Gio FIGURE 10.21 (a) Three- dimensional plot of the negative of the LoG. (b) Negative of the LoG displayed as an image. (c) Cross section of (a) showing zero crossings. o |-1|-2|-1| 0 (d) 5 x 5 mask approximation to -1|-2| 16|-2|-1| theshapein(a). The negative of o|-1|-2|-1| 0 this mask would Zero crossing n L Zero crossing be used in XJ \ 0 o|-1| 0 0 practice. Si ao i  ab | FIGURE 10.26 (a) Original head CT image of size 512 x 512 pixels, with intensity values scaled to the range [0,1]. (b) Thresholded gradient of smoothed image. (c) Image obtained using the Marr-Hildreth algorithm. (d) Image obtained using the Canny algorithm. (Original image courtesy of Dr. David R. Pickens, Vanderbilt University.) a) Versione scura di Esempio 1 un’immagine presa con il microscopio a scansione elettronica. b) I i d l mmag ne e laplaciano di a) calcolata con la maschera riportata sotto ove A=0. c) Immagine migliorata usando la stessa maschera con A=1. d) come c) ma con A=1 7 1 1 1 . . - - - -1 A+8 -1 -1 -1 -1 Esempio 2 Immagine biomedica scurita, elaborata con gli stessi operatori usati per l’i i dmmag ne prece ente. 1 1 1- - - -1 A+8 -1 -1 -1 -1 A=0 A=1 A=1.7 Metodi combinati di filtraggio spaziale 2. Per accentuare il dettaglio fine: Laplaciano (tutti -1 e 8 nel pixel centrale). La figura mostra 1. Immagine originale dello scheletro per la diagnosi di patologie l’immagine elaborata e scalata (immagine di bordi perche’ la maschera ossee. Problemi: range dinamico ristretto e alto era a somma 0). 4. Per rimuovere il contenuto di rumore. 3. Per ottenere l’immagine messa a f f rumore, qui il filtro mediano e’ rischioso. versione sfocata del uoco e con lo s ondo: sommiamo (maschera con coefficiente t l iti ) gradiente (bassa risposta al dettaglio, ma riduce il rumore cen ra e pos vo l’immagine di bordi precedente all’originale nei gradini e rampe) dell’imm. originale, da moltiplicare poi per il . Risultato: rumore di tipo sale e pepe. laplaciano. In fig. il gradiente di Sobel (buoni contorni)