Scarica Paniere Analisi Matematica 2 705 domande e risposte - Mercatorum-L9 Ingegneria gestionale e più Panieri in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity! Paniere Analisi Matematica II 1)La derivata di una funzione in un punto, geometricamente è: il coefficiente angolare della retta tangente nel punto al grafico della funzione; 2)Considerata la funzione y = log (x^2+1) la sua derivagta è (derivata di una funzione composta): 2x/ (x^2+1) 3)Considerata la matrice O i cui elementi sono tutti nulli e considerata una matrice A tale che abbia senso il prodotto AO. A cosa è uguale il suddetto prodotto? Alla matrice O con elementi tutti nulli 4)Il determinate di una matrice di ordine 2 è uguale alla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali; 5)La traccia della matrice identica di ordine 4 è pari a: 4 6)Il determinante di una matrice quadrata in cui due colonne sono tra loro proporzionali è: nullo; 7)Il teorema di Cramer assicura che, dato un sistema lineare di n equazioni in n incognite, il sistema ammette una e una sola soluzione: se la matrice dei coefficienti è non singolare; 8)Il sistema omogeneo ammette un’unica soluzione: se la matrice dei coefficienti è non singolare e la soluzione risulta quella banale; 9)Una base di uno spazio vettoriale è: un sistema di generatori linearmente indipendenti; 10)Il Lemma di Steinitz assicura che: Tutti i sistemi linearmente indipendenti hanno al più lo stesso numero di vettori di una base; 11)Dato il vettore (1,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori {(1,1),(0,1)} secondo gli scalari: a=1,b=-1 12)Il sottospazio generato da <(1,1)> ha dimensione: 1 13)Un’applicazione lineare trasforma il vettore nullo: sempre nel vettore nullo; 14)Un’applicazione lineare conserva sempre: la dipendenza dei vettori; 15)Data una retta ax+by+c=0 i suoi parametri direttori sono: (α,β)=(-b,a); 16)Se (α,β) sono i numeri direttori di una retta per un punto (x_0,y_0 ) si ha che: La retta è parallela all’asse delle ordinate se β=0; 17)L’equazione x^2+y^2+6x-2y+12=0 non rappresenta una circonferenza; 18)La conica x^2-2y=0 ha nel punto P=(2,2) y=2x-2; 19)Il Teorema della media è valido nell'ipotesi di funzione continua 20)Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura che: la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; 21)Riferendosi agli integrali notevoli, si prova che: ∫cos x/sin x dx= log |sin x |+c. 22)Mediante il metodo di integrazione per parti, provare che l’integrale: ∫log x dx= (xlogx-x)+c; 23)Con il metodo di addizione e sottrazione, e con il metodo di integrazione delle funzioni razionali provare che l’integrale ∫(x^2-5x+9)/(x^2-5x+6) dx= x+3 log |(x-3)/(x-2)| +c ; 47)Con il metodo di addizione e sottrazione, e con il metodo di integrazione delle funzioni razionali provare che l’integrale ∫(x^2-5x+9)/(x^2-5x+6) dx= x+3 log |(x-3)/(x-2)| +c ; 48)Data una f derivabile n volte in x_0, il resto R_n (x) è: un infinitesimo in x_0 di ordine superiore a (x-x_0 )^n; 49)Data la funzione periodica f(x) di periodo 2π, tale che f(x)=x, x [-π,π [. I suoi coefficienti di ∀ ∈ Fourier sono: a_0=0; a_0=0 k; b_k=(-1)^(k+1)∙(2/k)∀ 50)Data una funzione f che ammette entrambe le derivate miste f_xy, f_yx, continue in un punto (x_0,y_0 ), si ha: f_xy (x_0,y_0 )=f_yx (x_0,y_0 ) 51)La soluzione dell’equazione di Bernulli y'=1/2y - 1/y sono: y(x) = 2 + ce^x; 52)Se il ∆ dell’equazione caratteristica è negativo, le soluzioni dell’equazioni sono date da: y(x) = c_1 (e^αx) cos βx + c_2 (e^αx) sin βx, con α = -a/2, β = √(-Δ)/2; 53)La soluzione particolare dell’equazione y'' + y' + y = x è: y ̅(x)=x-1; 54)La soluzione particolare dell’equazione y'' - 2y' + y = sin x+cos x è: y ̅(x)= 1/2 (cos x-sin x ); 55)Ad ogni forma differenziale lineare definita nello spazio R^3 si può pensare associato: un campo vettoriale le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale; 56)L’integrale di flusso è: ∫_S (f∙n) dS e misura il flusso, per unità di tempo attraverso S nella direzione di n 57)L’integrale di superficie ∫_S x^2 - y^2 + y + 3z^2 dS dove S è la sfera di centro l’origine degli assi e raggio r, è: 4πr^4; 58)Sia F: T R^3 → R^3 ⊂ un campo vettoriale e S una superficie limitata da T, l’integrale di div F su T misura : il flusso totale uscente da T per unità di tempo; 59)Due rette nello spazio possono essere: parallele, incidenti, complanari o sghembe. 60)Intersecando l equazione della sfera con il piano coordinato xy si ottiene: l’equazione della circonferenza , giacente sul piano xy, con centro l’origine e raggio 61)Data una funzione, il rapporto incrementale ∆f/ ∆x è : [f(x+h)-f(x)]/h 62)La funzione f(x) = radice cubica di x essa è: Continua nel suo insieme di definizione, ma non derivabile. La La funzione, infatti, non è derivabile in x = 0 63)Una matrice si dice quadrata di ordine n se: Il numero delle righe è uguale al numero delle colonne e questo numero è pari a n; 64)Una matrice A= ‖a_ij ‖ si dice simmetrica se: è una matrice quadrata di ordine n che coincide con la rua trasposta A=A^T, ovvero tale che a_ij = a_ji, (i,j)∀ 65)Considerata la matrice O i cui elementi sono tutti nulli e considerata una matrice A tale che abbia senso il prodotto AO. A cosa è uguale il suddetto prodotto? Alla matrice O con elementi tutti nulli 66)Data una matrice quadrata di ordine n, se il suo rango è massimo, ovvero pari a n, la matrice: ha determinante non nullo ed è invertibile; 67)Il prodotto di due matrici invertibili è: invertibile e uguale a (AB)^(-1)=B^(-1) A^(-1) 68)Il sottospazio generato da <(1,1)> ha dimensione: 1 69)La bilinearità del prodotto scalare significa che: è lineare rispetto ad entrambe le componenti; 70)Considerato il sottospazio di R^4 con base W=<(1,0,-1,1);(2,3,-1,2)> il complemento ortogonale W^ :⊥ ha dimensione due ed è rappresentato da W^ ={(z-t,-1/3 z,z,t):z,t R}⊥ ∈ 71)Data un’applicazione f questa è lineare: se conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale (condizione sufficiente); 72)La retta passante per il punto (5,-7) e ortogonale al vettore (1,2) ha equazione cartesiana: x+2y+9=0; 73)L’intersezione della conica y=2x^2 e della conica x^2+y^2+2y-9=0 rappresenta: l’intersezione di una parabola con concavità rivolta verso l’alto e di una circonferenza di centro C=(0,-1) e raggio r=√10. Le due curve si incontrano in due punti (1,2); (-1,2) 74)L’iperbole riferita agli assi è: un’iperbole i cui assi coincidono con gli assi cartesiani e ha equazione xy=k; 75)Il risultato dell’integrazione definita è: un numero; 76)Il teorema di Cantor assicura che: f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇒ f è uniformemente continua; 77)Una funzione monotona in un intervallo [a,b] è: integrabile secondo Riemann; 78)Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura che: la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; 100)Dato il vettore (1,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori {(1,1),(0,1)} secondo gli scalari: a=1,b=-1 101)Siano B=(u_1,u_2,…,u_n ), B'= (v_1,v_2,…,v_n ) basi ordinate di uni spazio vettoriale V. La matrice del cambiamento di base da B a B' ha come i-esimo vettore colonna è dato dalle componenti del vettore u_i nella base B'; 102)Un sottospazio 2 dimensionale è rappresentato in un ambiente 5 dimensionale da: un sistema di 3 equazioni linearmente indipendenti; 103)Considerata la coppia di punti (A,B), il vettore applicato nel punto A e di secondo estremo B si rappresenta con: un segmento orientato; 104)Le immagini dei vettori di una base dello spazio di partenza sono un sistema di generatori per imf; 105)Sia f:V → V' un’applicazione lineare, risulta: dimV=dim imf+dim ker f; 106)Data una retta ax+by+c=0 i suoi parametri direttori sono: (α,β)=(-b,a); 107)L’equazione cartesiana della retta passante per il punto (2,-1) e parallela alla retta 2x+4y-3=0 è: x+2y=0. 108)Due rette nel piano possono essere: incidenti, parallele o coincidenti; 109)L’equazione x^2+3xy+2y^2+1=0 secondo la classificazione metrica rappresenta: Un’iperbole perché la matrice M_33 ha determinante negativo; 110)Il risultato dell’integrazione definita è: un numero; 111)Il Teorema della media è valido nell'ipotesi di funzione continua 112)La funzione gaussiana: non si annulla mai e non interseca, quindi, l’asse delle ascisse. 113)Il criterio di Leibniz assicura che la serie armonica alternata è: convergente. 114)Le derivate parziali della funzione f(x,y)=ax^2 + bxy + cy^2, a, b, c R sono:∈ f_x=2ax+by; f_y=bx+2cy; 115)L’essere (x_0,y_0 ) un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D della funzione di due variabili dotata di derivate parziali prime in (x_0,y_0 ), che si annullano nel punto; f_x (x_0,y_0 )=f_y (x_0,y_0 )=0 è una condizione necessaria; 116)Le soluzioni dell’equazione lineare di II grado omogenea a coefficienti costanti y''+2y'+1=0 sono: (c_1+c_2 x) e^(-x); 117)Se il ∆ dell’equazione caratteristica è negativo, le soluzioni dell’equazioni sono date da: y(x) = c_1 (e^αx) cos βx + c_2 (e^αx) sin βx, con α = -a/2, β = √(-Δ)/2; 118)L’integrale generale, calcolato con il metodo della variazione delle costanti, dell’equazione y''+y= (cos^2) x è: y (x) = c_1 cos x + c_2 sin x + sin^2 x + (cos^4 x)/3 - (sin^4 x)/3; 119)Dati due vettori, il loro prodotto vettoriale è: un vettore; 120)Cosiderata la funzione y= (x^2-1)/(x^2+1) la sua derivata è (derivata di una funzione composta): 4x/ (x^2+1)^2 121)La derivata di una costante è: uguale a zero; 122)La funzione logaritmo è: Strettamente monotona crescente x > 0 123)Si dice trasposta di una matrice A=‖a_ij ‖ di tipo m × n La matrice A^T = ‖ a_i'j' ‖ di tipo n×m, ottenuta scambiando le righe di A con le colonne; 124)Considerata la matrice O i cui elementi sono tutti nulli e considerata una matrice A tale che abbia senso il prodotto AO. A cosa è uguale il suddetto prodotto? Alla matrice O con elementi tutti nulli 125)Il determinante di una matrice quadrata in cui due colonne sono tra loro proporzionali è: nullo; 126)L’insieme dei vettori di R^n che hanno una coordinata fissa uguale a 0. W={(x_1,x_2,…,0, …,x_n )} è un sottospazio di R^n perché chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare; 127)L’intersezione di una qualunque famiglia di sottospazi di uno spazio vettoriale è: un sottospazio dello spazio vettoriale; 128)L’unione di un numero finito di sottospazi di uno spazio vettoriale è: in generale non è un sottospazio dello spazio generale, ma lo è il sottospazio generato; 129)Si consideri la combinazione lineare: a(1,-1,0,2)+b(0,2,-1,0)=0 Il sistema di vittori è linearmente indipendente perché gli scalari sono nulli; 130)Il Lemma di Steinitz assicura che: Tutti i sistemi linearmente indipendenti hanno al più lo stesso numero di vettori di una base; 131)Dato il vettore (1,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori {(1,1),(0,1)} secondo gli scalari: a=1,b=-1 132)Il sottospazio generato da <(1,1)> ha dimensione: 1 153)Una funzione f continua in un intervallo [a,b] e derivabile in ]a,b[ è monotona strettamente crescente se e solo se f'(x)≥0, x ]a,b[ e f'(x) non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in ]a,b[∀ 154)Considerata la matrice A=‖a_ij ‖ _ (i=1,…,m j=1,…,n) l’ennupla ordinata A_i =(a_i1, …,a_in ) K^n si chiama:∈ i-esima riga della matrice A; 155)Il prodotto righe per colonne di due matrici è: Associativo e distributivo rispetto alla somma di matrici; 156)Se a una matrice si sostituisce una linea con una sua combinazione lineare di linee ad essa parallele, il determinante è: uguale a quello della matrice di partenza; 157)Data una matrice quadrata di ordine n, se il suo rango è massimo, ovvero pari a n, la matrice: ha determinante non nullo ed è invertibile; 158)L’intersezione di una qualunque famiglia di sottospazi di uno spazio vettoriale è: un sottospazio dello spazio vettoriale; 159)La dimensione di uno spazio è: L’ordine comune a tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generabile e che non si riduce al solo vettore nullo; 160)L’i-esimo vettore u_i del riferimento B ha in B tutte le coordinate: nulle tranne la i-esima; 161)Siano B=(u_1,u_2,…,u_n ), B'= (v_1,v_2,…,v_n ) basi ordinate di uni spazio vettoriale V. La matrice del cambiamento di base da B a B' ha come i-esimo vettore colonna è dato dalle componenti del vettore u_i nella base B'; 162)Considerata la coppia di punti (A,B), il vettore applicato nel punto A e di secondo estremo B è caratterizzato da: Da un modulo (o norma), una direttrice, un verso; 163)Nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz |u∙v| ≤ ‖u‖ ‖v‖, u,v V si ha che:∀ ∈ l’uguaglianza vale se e solo se i due vettori sono dipendenti; 164)Per un’applicazione lineare sono equivalenti; monomorfismo ⇔ f conserva l'indipendenza lineare ⇔ ker f={0} 165)Data l’applicazione f:V → V' con dim V=n,dim V'=m si osserva che: Se l’applicazione è un isomorfismo allora m=n e la dimensione del nucleo è pari a zero, mentre quella dell’immagine è pari a m; 166)Data una retta ax+by+c=0 i coefficienti a,b, della x e della y rispettivamente, hanno il significato di: componenti di un vettore ortogonale alla retta; 167)L’equazione cartesiana della retta passante per i punti (1,-1); (-1,2) è: 3x+2y-1=0; 168)Due rette nel piano possono essere: incidenti, parallele o coincidenti; 169)Il teorema di Cantor assicura che: f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇒ f è uniformemente continua; 170)La primitiva della funzione f(x)=cos x è: F(x)=sin x; 171)Con il metodo di addizione e sottrazione, e con il metodo di integrazione delle funzioni razionali provare che l’integrale ∫(x^2-5x+9)/(x^2-5x+6) dx= x+3 log |(x-3)/(x-2)| +c ; 172)Per esplicitare i coefficienti binomiali presenti nella formula del binomio di Newton, si utilizza: il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente. 173)La seguente affermazione è vera: f continua f differenziabile⇐ 174)La lunghezza dei una curva continua φ(t) : I → R^n è: l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte, al variare di tutte le possibili poligonali; 175)La forma differenziale: ω = sinxdx + cosydy è: esatta e quindi chiusa; 176)La primitiva della forma differenziale: ω = (2e^y - ye^x )dx + (2xe^y - e^x )dy è: f(x,y) = 2x(e^y) - y(e^x); 177)Il dominio D={( x,y) R^2 :0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √(2x-x^2 )} è:∈ normale rispetto all’asse delle ascisse; 178)L’integrale di superficie ∫_S x^2 - y^2 + y + 3z^2 dS dove S è la sfera di centro l’origine degli assi e raggio r, è: 4πr^4; 179)Assegnate due funzioni derivabili, la derivata del loro prodotto è: f'g+fg' 180)Considerata la funzione y = log (x^2+1) la sua derivagta è (derivata di una funzione composta): 2x/ (x^2+1) 181)Il differenziale della variabile indipendente è uguale: all’incremento della variabile stessa; 182)La retta tangente al grafico della funzione nei punti di massimo e di minimo è: Parallela all’asse delle ascisse; 183)Una funzione f continua in un intervallo [a,b] e derivabile in ]a,b[ è monotona strettamente crescente se e solo se f'(x)≥0, x ]a,b[ e f'(x) non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in ]a,b[∀ 184)Il risultato del seguente limite è: lim x → +∞ (2e^x + 5)/(6-4e^x) applicando 1 volta il teorema di l’Hospital - 1/2 206)Il teorema della divergenza fisicamente dice: che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume V delimitato da S 207)Sia F: T R^3 → R^3 un campo vettoriale e S una superficie limitata da T, l’integrale di div ⊂ F su T misura : il flusso totale uscente da T per unità di tempo; 208)Due rette nello spazio possono essere: parallele, incidenti, complanari o sghembe. 209)Data una funzione, il rapporto incrementale ∆f/ ∆x è : [f(x+h)-f(x)]/h 210)La retta tangente al grafico della funzione nei punti di massimo e di minimo è: Parallela all’asse delle ascisse; 211)Geometricamente il teorema di Lagrange assicura che: la pendenza della retta tangente nel punto c è uguale alla pendenza della retta passante per gli estremi della curva e secante la stessa 212)Considerata la matrice A=‖a_ij ‖ _ (i=1,…,m j=1,…,n) l’ennupla ordinata A_i =(a_i1, …,a_in ) K^n si chiama:∈ i-esima riga della matrice A; 213)Una matrice si dice quadrata di ordine n se: Il numero delle righe è uguale al numero delle colonne e questo numero è pari a n; 214)La trasposta di una matrice triangolare superiore è: Una matrice triangolare inferiore. 215)Considerata la matrice O i cui elementi sono tutti nulli e considerata una matrice A tale che abbia senso il prodotto AO. A cosa è uguale il suddetto prodotto? Alla matrice O con elementi tutti nulli 216)La traccia di una matrice è uguale: alla somma degli elementi della diagonale principale. 217)Se a una matrice si sostituisce una linea con una sua combinazione lineare di linee ad essa parallele, il determinante è: uguale a quello della matrice di partenza; 218)La somma di sue sottospazi è diretta se e solo se: ogni suo elemento può scriversi in un unico modo come somma di un elemento dell’uno più un elemento dell'altro; 219)La dimensione di uno spazio è: L’ordine comune a tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generabile e che non si riduce al solo vettore nullo; 220)L’i-esimo vettore u_i del riferimento B ha in B tutte le coordinate: nulle tranne la i-esima; 221)Dato un vettore u e uno scalare a il vettore a∙u ha: stessa direzione di u e anche stesso verso se a>0, verso opposto se a<0. 222)Se la dimensione di V (spazio vettoriale di partenza) è maggiore della dimensione di V' (spazio vettoriale di arrivo) una base di V è necessariamente trasformata dall’applicazione lineare in: un sistema di vettori linearmente dipendenti di V'; 223)Data una retta ax+by+c=0 i suoi parametri direttori sono: (α,β)=(-b,a); 224)Data una retta ax+by+c=0 i coefficienti a,b, della x e della y rispettivamente, hanno il significato di: componenti di un vettore ortogonale alla retta; 225)La retta passante per il punto (5,-7) e ortogonale al vettore (1,2) ha equazione cartesiana: x+2y+9=0; 226)La retta passante per il punto (5,-7) e ortogonale al vettore (1,2) ha equazione cartesiana: x+2y+9=0; 227)La conica x^2-2y=0 ha nel punto P=(2,2) y=2x-2; 228)L’ellisse ha eccentricità: e<1; 229)Per esplicitare i coefficienti binomiali presenti nella formula del binomio di Newton, si utilizza: il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente. 230)L’essere (x_0,y_0 ) un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D della funzione di due variabili dotata di derivate parziali prime in (x_0,y_0 ), che si annullano nel punto; f_x (x_0,y_0 )=f_y (x_0,y_0 )=0 è una condizione necessaria; 231)Un’equazione differenziale del primo ordine esprime: un legame tra la funzione e la sua derivata; 232)Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine esprime: il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 233)Le soluzioni dell’equazione lineare di II grado omogenea a coefficienti costanti y''+y=0 sono: c_1 sin x+c_2 cos x; 234)Le soluzioni dell’equazione lineare del quarto ordine y^iv - y''' = 0 sono: y(x) = c_1 e^x + c_2 x^2 + c_3 x + c_4; 235)La soluzione particolare dell’equazione y'' - 2y' + y = sin x+cos x è: y ̅(x)= 1/2 (cos x-sin x ); 236)La forma differenziale ω= ((x-y)dx+(x+y)dy) / (x^2+y^2 )^α è chiusa in R^3 - {(0,0)} se α è: α=1; 237)Dati due vettori, il loro prodotto vettoriale è: un vettore; 238)Due rette nello spazio possono essere: parallele, incidenti, complanari o sghembe. 261)Per esplicitare i coefficienti binomiali presenti nella formula del binomio di Newton, si utilizza: il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente. 262)Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine esprime: il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 263)Le soluzioni dell’equazione lineare di II grado omogenea a coefficienti costanti y''+2y'+1=0 sono: (c_1+c_2 x) e^(-x); 264)La soluzione particolare dell’equazione y'' - 2y' + y = sin x+cos x è: y ̅(x)= 1/2 (cos x-sin x ); 265)La lunghezza dei una curva continua φ(t) : I → R^n è: l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte, al variare di tutte le possibili poligonali; 266)Si consideri la corona circolare di centro (0,0) e raggi 1 e 2, contenuta nel semipiano positivo y≥0. La corona si rappresenta come segue: C = {(x,y) R^2 : y ≥ 0; 1 ≤ x^2 + y^2 ≤4}∈ 267)Una superficie cartesiana è: una superficie che ha come sostegno il grafico di una funzione f: R^2 → R; 268)La retta tangente al grafico della funzione nei punti di massimo e di minimo è: Parallela all’asse delle ascisse; 269)Geometricamente il teorema di Lagrange assicura che: la pendenza della retta tangente nel punto c è uguale alla pendenza della retta passante per gli estremi della curva e secante la stessa 270)Considerate A,B "matrici moltiplicabili,si ha " (AB)^T=? B^T A^T; 271)La traccia della matrice identica di ordine 4 è pari a: 4 272)Dato il vettore (1,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori {(1,1),(0,1)} secondo gli scalari: a=1,b=-1 273)Se V=K^n e B è il riferimento standard di K^n, allora c_B è l’applicazione identica; 274)Un sottospazio 2 dimensionale è rappresentato in un ambiente 5 dimensionale da: un sistema di 3 equazioni linearmente indipendenti; 275)Considerata la coppia di punti (A,B), il vettore applicato nel punto A e di secondo estremo B è caratterizzato da: Da un modulo (o norma), una direttrice, un verso; 276)Se la dimensione di V (spazio vettoriale di partenza) è maggiore della dimensione di V' (spazio vettoriale di arrivo) una base di V è necessariamente trasformata dall’applicazione lineare in: un sistema di vettori linearmente dipendenti di V'; 277)Data una retta ax+by+c=0 i suoi parametri direttori sono: (α,β)=(-b,a); 278)L’equazione cartesiana della retta passante per i punti (1,-1); (-1,2) è: 3x+2y-1=0; 279)L’equazione cartesiana della retta passante per il punto (2,-1) e parallela alla retta 2x+4y-3=0 è: x+2y=0. 280)L’equazione cartesiana della retta passante per il centro degli assi e perpendicolare alla retta di equazione 2x+y-1=0 è: y=1/2 x 281)Geometricamente le somme integrali rappresentano: La somma delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti alla curva se la funzione è positiva; 282)Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura che: la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; 283)Due primitive della stessa funzione: differiscono per una costante; 284)Data una f derivabile n volte in x_0, il resto R_n (x) è: un infinitesimo in x_0 di ordine superiore a (x-x_0 )^n; 285)Data la funzione periodica f(x) di periodo 2π, tale che f(x)=x, x [-π,π [. I suoi coefficienti di ∀ ∈ Fourier sono: a_0=0; a_0=0 k; b_k=(-1)^(k+1)∙(2/k)∀ 286)Il criterio di Leibniz assicura che la serie armonica alternata è: convergente. 287)Il gradiente della funzione f(x,y)=3x+2y nel punto è: (3,2); 288)L’essere (x_0,y_0 ) un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D della funzione di due variabili dotata di derivate parziali prime in (x_0,y_0 ), che si annullano nel punto; f_x (x_0,y_0 )=f_y (x_0,y_0 )=0 è una condizione necessaria; 289)Le soluzioni dell’equazione lineare di II grado omogenea a coefficienti costanti y''+y=0 sono: c_1 sin x+c_2 cos x; 290)Data una funzione continua f: [a,b] → R il suo grafico G è: Il sostegno di una curva semplice e aperta di R^2; 291)Lo spazio duale di R^n è: L’insieme di tutti i funzionali lineari da R^n a R e ha la stessa dimensione di R^n; 292)Considerata una generica ellisse centrata nel centro degli assi x^2 / a^2 +. y^2 / b^2 e il suo quarto nel primo quadrante, l’area dell’ellisse e il baricentro del quarto di ellisse sono: m(E) = πab; B = (4a/3π; 4b/3π) 293)Nella definizione di superficie regolare la condizione che i vettori colonna sono linearmente indipendenti equivale a: φ_u (u,v) φ_v (u,v)≠0⋀ 316)Una serie convergente: non è necessariamente assolutamente convergente; 317)Il dominio della funzione f(x)=√(y-x^2 ) è: Le coppie dei punti (x,y) del piano che si trovano al di sopra della parabola di equazione y=x^2; 318)La seguente affermazione è vera: f continua f differenziabile⇐ 319)L’essere (x_0,y_0 ) un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D della funzione di due variabili dotata di derivate parziali prime in (x_0,y_0 ), che si annullano nel punto; f_x (x_0,y_0 )=f_y (x_0,y_0 )=0 è una condizione necessaria; 320)Considerato il modello di crescita esponenziale di crescita di massa di una cellula posta in un ambiente ideale. Se la massa della cellula si triplica in un’ora, la sua massa, trascorsa un’altra ora, sarà pari a: p (2) = 9p(0); 321)Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine esprime: il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 322)Il dominio D={( x,y) R^2 :0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √(2x-x^2 )} è:∈ normale rispetto all’asse delle ascisse; 323)Si consideri la corona circolare di centro (0,0) e raggi 1 e 2, contenuta nel semipiano positivo y≥0. La corona si rappresenta come segue: C = {(x,y) R^2 : y ≥ 0; 1 ≤ x^2 + y^2 ≤4}∈ 324)Il teorema della divergenza fisicamente dice: che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume V delimitato da S 325)Nella definizione di superficie regolare la condizione che i vettori colonna sono linearmente indipendenti equivale a: φ_u (u,v) φ_v (u,v)≠0⋀ 326)Assegnate due funzioni derivabili, la derivata del loro prodotto è: f'g+fg' 327)La funzione logaritmo è: Strettamente monotona crescente x > 0 328)Il risultato del seguente limite è: lim x → +∞ (2e^x + 5)/(6-4e^x) applicando 1 volta il teorema di l’Hospital - 1/2 329)Considerata la matrice A=‖a_ij ‖ _ (i=1,…,m j=1,…,n) l’ennupla ordinata A_i =(a_i1, …,a_in ) K^n si chiama:∈ i-esima riga della matrice A; 330)Una matrice si dice quadrata di ordine n se: Il numero delle righe è uguale al numero delle colonne e questo numero è pari a n; 331)Il prodotto righe per colonne di due matrici è: Associativo e distributivo rispetto alla somma di matrici; 332)Data una matrice quadrata di ordine n, se il suo rango è massimo, ovvero pari a n, la matrice: ha determinante non nullo ed è invertibile; 333)Il prodotto di due matrici invertibili è: invertibile e uguale a (AB)^(-1)=B^(-1) A^(-1) 334)Il teorema di Cramer assicura che, dato un sistema lineare di n equazioni in n incognite, il sistema ammette una e una sola soluzione: se la matrice dei coefficienti è non singolare; 335)Il sistema omogeneo ammette un’unica soluzione: se la matrice dei coefficienti è non singolare e la soluzione risulta quella banale; 336)Un sottospazio 2 dimensionale è rappresentato in un ambiente 5 dimensionale da: un sistema di 3 equazioni linearmente indipendenti; 337)Considerata la coppia di punti (A,B), il vettore applicato nel punto A e di secondo estremo B è caratterizzato da: Da un modulo (o norma), una direttrice, un verso; 338)Il prodotto scalare di due vettori è anche uguale a: u∙v=‖u‖‖v‖ cos φ 339)Un’applicazione lineare trasforma il vettore nullo: sempre nel vettore nullo; 340)La retta passante per il punto (5,-7) e ortogonale al vettore (1,2) ha equazione cartesiana: x+2y+9=0; 341)L’equazione cartesiana della retta passante per i punti (1,-1); (-1,2) è: 3x+2y-1=0; 342)L’equazione x^2+y^2+6x-2y+12=0 non rappresenta una circonferenza; 343)Il risultato dell’integrazione definita è: un numero 344)Il teorema di Cantor assicura che: f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇒ f è uniformemente continua; 345)Data una f derivabile n volte in x_0, il resto R_n (x) è: un infinitesimo in x_0 di ordine superiore a (x-x_0 )^n; 346)Per esplicitare i coefficienti binomiali presenti nella formula del binomio di Newton, si utilizza: il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente. 347)Le derivate parziali della funzione f(x,y)=ax^2 + bxy + cy^2, a, b, c R sono:∈ f_x=2ax+by; f_y=bx+2cy; 369)Considerato il sottospazio di R^4 con base W=<(1,0,-1,1);(2,3,-1,2)> il complemento ortogonale W^ :⊥ ha dimensione due ed è rappresentato da W^ ={(z-t,-1/3 z,z,t):z,t R}⊥ ∈ 370)Data un’applicazione f questa è lineare: se conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale (condizione sufficiente); 371)Per un’applicazione lineare sono equivalenti; monomorfismo ⇔ f conserva l'indipendenza lineare ⇔ ker f={0} 372)L’equazione x^2+3xy+2y^2+1=0 secondo la classificazione metrica rappresenta: Un’iperbole perché la matrice M_33 ha determinante negativo; 373)Si consideri l’intersezione della parabola con l’asse delle ascisse se il ∆=0 L’unico punto di intersezione è il vertice della parabola e quindi il vertice ha coordinate V=(-b/2a,0); 374)Mediante il metodo di sostituzione, provare che l’integrale ∫1/√(5x-2) dx= 2/5 √(5x-2)+c; 375)La funzione resto è: l’errore che si commette, sostituendo la funzione f con il suo polinomio di Taylor di ordine n e centro x_0; 376)Data una f derivabile n volte in x_0, il resto R_n (x) è: un infinitesimo in x_0 di ordine superiore a (x-x_0 )^n; 377)Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine esprime: il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 378)La soluzione dell’equazione di Bernulli y'=1/2y - 1/y sono: y(x) = 2 + ce^x; 379)Le soluzioni dell’equazione lineare di II grado omogenea a coefficienti costanti y''-y'=0 sono: c_1 + c_2 e^x; 380)La soluzione particolare dell’equazione y'' - y' + y = e^2x è: y ̅(x)= (e^2x)/3; 381)La soluzione particolare dell’equazione y'' - 2y' + y = sin x+cos x è: y ̅(x)= 1/2 (cos x-sin x ); 382)L’integrale generale, calcolato con il metodo della variazione delle costanti, dell’equazione y''+y= (cos^2) x è: y (x) = c_1 cos x + c_2 sin x + sin^2 x + (cos^4 x)/3 - (sin^4 x)/3; 383)Si consideri la corona circolare di centro (0,0) e raggi 1 e 2, contenuta nel semipiano positivo y≥0. La corona si rappresenta come segue: C = {(x,y) R^2 : y ≥ 0; 1 ≤ x^2 + y^2 ≤4}∈ 384)Sia F: T R^3 → R^3 un campo vettoriale e S una superficie limitata da T, l’integrale di div F⊂ su T misura : il flusso totale uscente da T per unità di tempo; 385)Dati due vettori, il loro prodotto vettoriale è: un vettore; 386)Il risultato del seguente limite è: lim x→+∞ (2e^x + 5)/(6-4e^x) applicando 1 volta il teorema di l’Hospital - 1/2 387)Si dice trasposta di una matrice A=‖a_ij ‖ di tipo m × n La matrice A^T = ‖ a_i'j' ‖ di tipo n×m, ottenuta scambiando le righe di A con le colonne; 388)Il prodotto righe per colonne di due matrici è: Associativo e distributivo rispetto alla somma di matrici; 389)Lo sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine n dice; che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque linea della matrice per i rispettivi complementi algebrici; 390)Il sottospazio generato da <(1,1)> ha dimensione: 1 391)Considerata la coppia di punti (A,B), il vettore applicato nel punto A e di secondo estremo B si rappresenta con: un segmento orientato; 392)Dato un vettore u e uno scalare a il vettore a∙u ha: stessa direzione di u e anche stesso verso se a>0, verso opposto se a<0. 393)La bilinearità del prodotto scalare significa che: è lineare rispetto ad entrambe le componenti; 394)Data un’applicazione lineare f:V → V' ker f,imf sono rispettivamente sottospazi di V e V’; 395)In una base di autovettori l’applicazione lineare è diagonalizzabile e la sua matrice rappresentativa è: una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori corrispondenti agli autovettori della base; 396)Data una retta ax+by+c=0 i suoi parametri direttori sono: (α,β)=(-b,a); 397)La retta passante per il punto (5,-7) e ortogonale al vettore (1,2) ha equazione cartesiana: x+2y+9=0; 398)Due rette nel piano possono essere: incidenti, parallele o coincidenti; 399)L’iperbole riferita agli assi è: un’iperbole i cui assi coincidono con gli assi cartesiani e ha equazione xy=k; 400)La proprietà additiva dell’integrale, se si interpretano gli integrali definiti di funzioni positive come aree di regioni piane dice che l’area dell’unione di due regioni piane, prive di punti in comune, è uguale alla somma delle due aree; 401)Il teorema di Cantor assicura che: f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇒ f è uniformemente continua; 424)In una base di autovettori l’applicazione lineare è diagonalizzabile e la sua matrice rappresentativa è: una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori corrispondenti agli autovettori della base; 425)L’equazione cartesiana della retta passante per i punti (1,-1); (-1,2) è: 3x+2y-1=0; 426)Due rette nel piano possono essere: incidenti, parallele o coincidenti; 427)L’ellisse ha eccentricità: e<1; 428)Una funzione monotona in un intervallo [a,b] è: integrabile secondo Riemann; 429)Il Teorema della media è valido nell'ipotesi di funzione continua 430)Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura che: la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; 431)Con il metodo di addizione e sottrazione, e con il metodo di integrazione delle funzioni razionali provare che l’integrale ∫(x^2-5x+9)/(x^2-5x+6) dx= x+3 log |(x-3)/(x-2)| +c ; 432)Lo sviluppo secondo la formula di Taylor di centro x_0 = 2 il polinomio: f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 è: 11+7(x-2)+4(x-2)^2+(x-2)^3; 433)Per esplicitare i coefficienti binomiali presenti nella formula del binomio di Newton, si utilizza: il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente. 434)Il criterio di Leibniz assicura che la serie armonica alternata è: convergente. 435)Considerato il modello di crescita esponenziale di crescita di massa di una cellula posta in un ambiente ideale. Se la massa della cellula si triplica in un’ora, la sua massa, trascorsa un’altra ora, sarà pari a: p (2) = 9p(0); 436)Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine esprime: il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 437)Le soluzioni dell’equazione lineare di II grado omogenea a coefficienti costanti y''+y=0 sono: c_1 sin x+c_2 cos x; 438)La soluzione particolare dell’equazione y'' - 2y' + y = sin x+cos x è: y ̅(x)= 1/2 (cos x-sin x ); 439)Data una funzione continua f: [a,b] → R il suo grafico G è: Il sostegno di una curva semplice e aperta di R^2; 440)La curvatura misura: la variazione della tangente, ovvero misura quanto rapidamente la curva si allontana dalla retta tangente alla curva nel punto; 441)La forma differenziale di R^3 : ω = ((e^x) cos y + yz)dx + (xz - (e^x) sin y)dy + xydz è: esatta e quindi chiusa; 442)Il dominio D={( x,y) R^2 :0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √(2x-x^2 )} è:∈ normale rispetto all’asse delle ascisse; 443)L’integrale di flusso è: ∫_S (f∙n) dS e misura il flusso, per unità di tempo attraverso S nella direzione di n 444)Il legame tra la continuità e la derivabilità di una funzione è espressa dalla implicazione: f derivabile in x0 → f continua in x0 445)Cosiderata la funzione y= (x^2-1)/(x^2+1) la sua derivata è (derivata di una funzione composta): 4x/ (x^2+1)^2 446)La retta tangente al grafico della funzione nei punti di massimo e di minimo è: Parallela all’asse delle ascisse; 447)La trasposta di una matrice triangolare superiore è: Una matrice triangolare inferiore. 448)Il teorema di Binet afferma che il determinante del prodotto di due matrici (sempre che il prodotto abbia senso) è: uguale al prodotto dei singoli determinanti delle due matrici; 449)Il prodotto di due matrici invertibili è: invertibile e uguale a (AB)^(-1)=B^(-1) A^(-1) 450)L’unione di un numero finito di sottospazi di uno spazio vettoriale è: in generale non è un sottospazio dello spazio generale, ma lo è il sottospazio generato; 451)La somma di sue sottospazi è diretta se e solo se: ogni suo elemento può scriversi in un unico modo come somma di un elemento dell’uno più un elemento dell'altro; 452)Il Lemma di Steinitz assicura che: Tutti i sistemi linearmente indipendenti hanno al più lo stesso numero di vettori di una base; 453)L’i-esimo vettore u_i del riferimento B ha in B tutte le coordinate: nulle tranne la i-esima; 454)Siano B=(u_1,u_2,…,u_n ), B'= (v_1,v_2,…,v_n ) basi ordinate di uni spazio vettoriale V. La matrice del cambiamento di base da B a B' ha come i-esimo vettore colonna è dato dalle componenti del vettore u_i nella base B'; 455)Il modulo (o norma) di un segmento orientato rappresenta: un numero non negativo che rappresenta la distanza tra i due punti, estremi del segmento orientato, rispetto ad una data unità di misura; 478)In una matrice quadrata di ordine n formano la diagonale principale gli elementi di posto ij tali che: i=j 479)La trasposta di una matrice triangolare superiore è: Una matrice triangolare inferiore. 480)Considerate A,B "matrici moltiplicabili,si ha " (AB)^T=? B^T A^T; 481)Se a una matrice si sostituisce una linea con una sua combinazione lineare di linee ad essa parallele, il determinante è: uguale a quello della matrice di partenza; 482)Data una matrice quadrata di ordine n, se il suo rango è massimo, ovvero pari a n, la matrice: ha determinante non nullo ed è invertibile; 483)Il sistema omogeneo ammette un’unica soluzione: se la matrice dei coefficienti è non singolare e la soluzione risulta quella banale; 484)L’unione di un numero finito di sottospazi di uno spazio vettoriale è: in generale non è un sottospazio dello spazio generale, ma lo è il sottospazio generato; 485)Si consideri il sistema W={(1,1,1,1); (2,2,1,1);(1,1,2,2)} esso è: linearmente dipendente perché il terzo è combinazione lineare dei primi due; 486)Il sistema di vettori S={(2,2,1,1); (2,2,1,1); (0,0,0,0)} è certamente linearmente dipendente perché contiene il vettore nullo; 487)Un sottospazio 2 dimensionale è rappresentato in un ambiente 5 dimensionale da: un sistema di 3 equazioni linearmente indipendenti; 488)Considerata la coppia di punti (A,B), il vettore applicato nel punto A e di secondo estremo B si rappresenta con: un segmento orientato; 489)Data un’applicazione f questa è lineare: se conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale (condizione sufficiente); 490)Se (α,β) sono i numeri direttori di una retta per un punto (x_0,y_0 ) si ha che: La retta è parallela all’asse delle ordinate se β=0; 491)Una funzione continua in un intervallo [a,b] è: integrabile secondo Riemann; 492)Una funzione monotona in un intervallo [a,b] è: integrabile secondo Riemann; 493)Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura che: la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; 494)Il criterio di Leibniz assicura che la serie armonica alternata è: convergente. 495)Le derivate parziali della funzione f(x,y)=ax^2 + bxy + cy^2, a, b, c R sono:∈ f_x=2ax+by; f_y=bx+2cy; 496)Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine esprime: il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 497)Le soluzioni dell’equazione lineare del quarto ordine y^iv - y''' = 0 sono: y(x) = c_1 e^x + c_2 x^2 + c_3 x + c_4; 498)L’integrale generale, calcolato con il metodo della variazione delle costanti, dell’equazione y''+y= (cos^2) x è: y (x) = c_1 cos x + c_2 sin x + sin^2 x + (cos^4 x)/3 - (sin^4 x)/3; 499)La forma differenziale ω= ((x-y)dx+(x+y)dy) / (x^2+y^2 )^α è chiusa in R^3 – {(0,0)} se α è: α=1; 500)La primitiva della forma differenziale: ω = (2e^y - ye^x )dx + (2xe^y - e^x )dy è: f(x,y) = 2x(e^y) - y(e^x); 501)Si consideri la corona circolare di centro (0,0) e raggi 1 e 2, contenuta nel semipiano positivo y≥0. La corona si rappresenta come segue: C = {(x,y) R^2 : y ≥ 0; 1 ≤ x^2 + y^2 ≤4}∈ 502)Considerata una generica ellisse centrata nel centro degli assi x^2 / a^2 +. y^2 / b^2 e il suo quarto nel primo quadrante, l’area dell’ellisse e il baricentro del quarto di ellisse sono: m(E) = πab; B = (4a/3π; 4b/3π) 503)La derivata di una funzione in un punto, geometricamente è: il coefficiente angolare della retta tangente nel punto al grafico della funzione; 504)La derivata di una costante è: uguale a zero; 505)I punti di massimo e di minimo: Annullano la derivata prima 506)Una funzione f continua in un intervallo [a,b] e derivabile in ]a,b[ è monotona strettamente crescente se e solo se f'(x)≥0, x ]a,b[ e f'(x) non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in ]a,b[∀ 507Una matrice si dice quadrata di ordine n se: Il numero delle righe è uguale al numero delle colonne e questo numero è pari a n; 508)La traccia della matrice identica di ordine 4 è pari a: 4 509)Il determinante di una matrice quadrata in cui due colonne sono tra loro proporzionali è: nullo; 510)La somma di sue sottospazi è diretta se e solo se: ogni suo elemento può scriversi in un unico modo come somma di un elemento dell’uno più un elemento dell'altro; 532)Il legame tra la continuità e la derivabilità di una funzione è espressa dalla implicazione: f derivabile in x0 →f continua in x0 533)La funzione logaritmo è: Strettamente monotona crescente x > 0 534)La funzione esponenziale a^x con base 0<a<1 Strettaemente monotona descrescente in tutto R 535)Considerate A,B "matrici moltiplicabili,si ha " (AB)^T=? B^T A^T; 536)Lo sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine n dice; che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque linea della matrice per i rispettivi complementi algebrici; 537)Il determinante di una matrice quadrata in cui due colonne sono tra loro proporzionali è: nullo; 538)Il teorema di Binet afferma che il determinante del prodotto di due matrici (sempre che il prodotto abbia senso) è: uguale al prodotto dei singoli determinanti delle due matrici; 539)I vettori (1,1),(0,1) sono: Sono una base perché sistema linearmente indipendente massimale. 540)Siano B=(u_1,u_2,…,u_n ), B'= (v_1,v_2,…,v_n ) basi ordinate di uni spazio vettoriale V. La matrice del cambiamento di base da B a B' ha come i-esimo vettore colonna è dato dalle componenti del vettore u_i nella base B'; 541)Un sottospazio 2 dimensionale è rappresentato in un ambiente 5 dimensionale da: un sistema di 3 equazioni linearmente indipendenti; 542)Data un’applicazione lineare f:V → V' ker f,imf sono rispettivamente sottospazi di V e V’; 543)Le immagini dei vettori di una base dello spazio di partenza sono un sistema di generatori per imf; 544)Sia f:V → V' un’applicazione lineare, risulta: dimV=dim imf+dim ker f; 545)In una base di autovettori l’applicazione lineare è diagonalizzabile e la sua matrice rappresentativa è: una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori corrispondenti agli autovettori della base; 546)La retta passante per il punto (5,-7) e ortogonale al vettore (1,2) ha equazione cartesiana: x+2y+9=0; 547)Due rette nel piano possono essere: incidenti, parallele o coincidenti; 548)L’equazione x^2+y^2+6x-2y+12=0 non rappresenta una circonferenza; 549)L’intersezione della conica y=2x^2 e della conica x^2+y^2+2y-9=0 rappresenta: l’intersezione di una parabola con concavità rivolta verso l’alto e di una circonferenza di centro C=(0,-1) e raggio r=√10. Le due curve si incontrano in due punti (1,2); (-1,2) 550)La conica x^2-2y=0 ha nel punto P=(2,2) y=2x-2; 551)La proprietà additiva dell’integrale, se si interpretano gli integrali definiti di funzioni positive come aree di regioni piane dice che l’area dell’unione di due regioni piane, prive di punti in comune, è uguale alla somma delle due aree; 552)Geometricamente le somme integrali rappresentano: La somma delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti alla curva se la funzione è positiva; 553)Due primitive della stessa funzione: differiscono per una costante; 554)La primitiva della funzione f(x)=cos x è: F(x)=sin x; 555)Data una f derivabile n volte in x_0, il resto R_n (x) è: un infinitesimo in x_0 di ordine superiore a (x-x_0 )^n; 556)La Serie di Taylor di centro x_0=0 della funzione f(x)=x^2+1 è: 1 + x^2 557)Valgono le seguenti implicazioni: f C^1 f differenziabile f C^0 f continua∈ ⇒ ⇒ ∈ ⇒ 558)Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine esprime: il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 559)Il teorema della divergenza fisicamente dice: che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume V delimitato da S 560)Una superficie cartesiana è: una superficie che ha come sostegno il grafico di una funzione f: R^2 → R; 561)Dato il campo di R^3 di componenti F=(y-z,z-x,x-y) il rot F è: (-2,-2,-2); 562)La funzione f(x) = radice cubica di x essa è: Continua nel suo insieme di definizione, ma non derivabile. La La funzione, infatti, non è derivabile in x = 0 563)Geometricamente il teorema di Lagrange assicura che: la pendenza della retta tangente nel punto c è uguale alla pendenza della retta passante per gli estremi della curva e secante la stessa 564)Lo sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine n dice; che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque linea della matrice per i rispettivi complementi algebrici; 588)Dato il campo di R^3 di componenti F=(y-z,z-x,x-y) il rot F è: (-2,-2,-2); 589)Due rette nello spazio possono essere: parallele, incidenti, complanari o sghembe. 590)Il legame tra la continuità e la derivabilità di una funzione è espressa dalla implicazione: f derivabile in x0 → f continua in x0 591)Geometricamente il teorema di Lagrange assicura che: la pendenza della retta tangente nel punto c è uguale alla pendenza della retta passante per gli estremi della curva e secante la stessa 592)In una matrice quadrata di ordine n formano la diagonale principale gli elementi di posto ij tali che: i=j 593)Una matrice A= ‖a_ij ‖ si dice simmetrica se: è una matrice quadrata di ordine n che coincide con la rua trasposta A=A^T, ovvero tale che a_ij = a_ji, (i,j)∀ 594)Il determinate di una matrice di ordine 2 è uguale alla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali; 595)Il determinante di una matrice quadrata in cui due colonne sono tra loro proporzionali è: nullo; 596)Il teorema di Cramer assicura che, dato un sistema lineare di n equazioni in n incognite, il sistema ammette una e una sola soluzione: se la matrice dei coefficienti è non singolare; 597)La somma di sue sottospazi è diretta se e solo se: ogni suo elemento può scriversi in un unico modo come somma di un elemento dell’uno più un elemento dell'altro; 598)Si consideri la combinazione lineare: a(1,-1,0,2)+b(0,2,-1,0)=0 Il sistema di vittori è linearmente indipendente perché gli scalari sono nulli; 599)Un sottospazio vettoriale: è esso stesso uno spazio vettoriale con le operazioni indotte dallo spazio vettoriale; 600)Una base di uno spazio vettoriale è: un sistema di generatori linearmente indipendenti; 601)Il modulo (o norma) di un segmento orientato rappresenta: un numero non negativo che rappresenta la distanza tra i due punti, estremi del segmento orientato, rispetto ad una data unità di misura; 602)Considerato il sottospazio di R^4 con base W=<(1,0,-1,1);(2,3,-1,2)> il complemento ortogonale W^ :⊥ ha dimensione due ed è rappresentato da W^ ={(z-t,-1/3 z,z,t):z,t R}⊥ ∈ 603)Le immagini dei vettori di una base dello spazio di partenza sono un sistema di generatori per imf; 604)Se (α,β) sono i numeri direttori di una retta per un punto (x_0,y_0 ) si ha che: La retta è parallela all’asse delle ordinate se β=0; 605)Il (primo) teorema della media assicura che: l’integrale della funzione, diviso (b-a) è compreso tra il valore minimo e massimo della funzione; 603)Due primitive della stessa funzione: differiscono per una costante; 604)Riferendosi agli integrali notevoli, si prova che: ∫cos x/sin x dx= log |sin x |+c. 605)Mediante il metodo di sostituzione, provare che l’integrale ∫1/√(5x-2) dx= 2/5 √(5x-2)+c; 606)Con il metodo di addizione e sottrazione, e con il metodo di integrazione delle funzioni razionali provare che l’integrale ∫(x^2-5x+9)/(x^2-5x+6) dx= x+3 log |(x-3)/(x-2)| +c ; 607)Per esplicitare i coefficienti binomiali presenti nella formula del binomio di Newton, si utilizza: il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente. 608)L’essere (x_0,y_0 ) un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D della funzione di due variabili dotata di derivate parziali prime in (x_0,y_0 ), che si annullano nel punto; f_x (x_0,y_0 )=f_y (x_0,y_0 )=0 è una condizione necessaria; 609)Un’equazione differenziale del primo ordine esprime: un legame tra la funzione e la sua derivata; 610)Le soluzioni dell’equazione lineare di II grado omogenea a coefficienti costanti y''+y=0 sono: c_1 sin x+c_2 cos x; 611)La soluzione particolare dell’equazione y'' - y' + y = e^2x è: y ̅(x)= (e^2x)/3; 612)La curvatura misura: la variazione della tangente, ovvero misura quanto rapidamente la curva si allontana dalla retta tangente alla curva nel punto; 613)Il rotore di un campo vettoriale F di R^3 è: il vettore di componenti ((∂F_3)/∂y - (∂F_2)/∂z, (∂F_1)/∂z - (∂F_3)/∂x, (∂F_1)/∂y - (∂F_2)/∂x) 614)La forma differenziale ω= ((x-y)dx+(x+y)dy) / (x^2+y^2 )^α è chiusa in R^3 - {(0,0)} se α è: α=1; 615)Considerata una generica ellisse centrata nel centro degli assi x^2 / a^2 +. y^2 / b^2 e il suo quarto nel primo quadrante, l’area dell’ellisse e il baricentro del quarto di ellisse sono: m(E) = πab; B = (4a/3π; 4b/3π) 616)Nella definizione di superficie regolare la condizione che i vettori colonna sono linearmente indipendenti equivale a: φ_u (u,v) φ_v (u,v)≠0⋀ 617)Data una funzione, il rapporto incrementale ∆f/ ∆x è : [f(x+h)-f(x)]/h 641)Lo spazio duale di R^n è: L’insieme di tutti i funzionali lineari da R^n a R e ha la stessa dimensione di R^n; 642)La forma differenziale: ω = sinxdx + cosydy è: esatta e quindi chiusa; 643)Il rotore di un campo vettoriale F di R^3 è: il vettore di componenti ((∂F_3)/∂y - (∂F_2)/∂z, (∂F_1)/∂z - (∂F_3)/∂x, (∂F_1)/∂y - (∂F_2)/∂x) 644)La forma differenziale di R^3 : ω = ((e^x) cos y + yz)dx + (xz - (e^x) sin y)dy + xydz è: esatta e quindi chiusa; 645)Considerata una generica ellisse centrata nel centro degli assi x^2 / a^2 +. y^2 / b^2 e il suo quarto nel primo quadrante, l’area dell’ellisse e il baricentro del quarto di ellisse sono: m(E) = πab; B = (4a/3π; 4b/3π) 646)Data una funzione, il rapporto incrementale ∆f/ ∆x è : [f(x+h)-f(x)]/h 647)La funzione f(x) = radice cubica di x essa è: Continua nel suo insieme di definizione, ma non derivabile. La La funzione, infatti, non è derivabile in x = 0 648)Cosiderata la funzione y= (x^2-1)/(x^2+1) la sua derivata è (derivata di una funzione composta): 4x/ (x^2+1)^2 649)La funzione logaritmo è: Strettamente monotona crescente x> 0 650)Data la funzione f(x)=x^2+4x+6 il punto di ascissa x=-2 è un punto di minimo relativo 651)Una matrice si dice quadrata di ordine n se: Il numero delle righe è uguale al numero delle colonne e questo numero è pari a n; 652)L’intersezione di una qualunque famiglia di sottospazi di uno spazio vettoriale è: un sottospazio dello spazio vettoriale; 653)Si consideri il sistema W={(1,1,1,1); (2,2,1,1);(1,1,2,2)} esso è: linearmente dipendente perché il terzo è combinazione lineare dei primi due; 654)Un sottospazio vettoriale: è esso stesso uno spazio vettoriale con le operazioni indotte dallo spazio vettoriale; 655)Il Lemma di Steinitz assicura che: Tutti i sistemi linearmente indipendenti hanno al più lo stesso numero di vettori di una base; 656)Dato un vettore u e uno scalare a il vettore a∙u ha: stessa direzione di u e anche stesso verso se a>0, verso opposto se a<0. 657)Data un’applicazione f questa è lineare: se conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale (condizione sufficiente); 658)Un’applicazione lineare trasforma il vettore nullo: sempre nel vettore nullo; 659)Le immagini dei vettori di una base dello spazio di partenza sono un sistema di generatori per imf; 660)La retta passante per il punto (5,-7) e ortogonale al vettore (1,2) ha equazione cartesiana: x+2y+9=0; 661)Se (α,β) sono i numeri direttori di una retta per un punto (x_0,y_0 ) si ha che: La retta è parallela all’asse delle ordinate se β=0; 662)Se (α,β) sono i numeri direttori di una retta per un punto (x_0,y_0 ) si ha che: La retta è parallela all’asse delle ordinate se β=0; 663)L’equazione x^2+y^2+6x-2y+12=0 non rappresenta una circonferenza; 664)La conica x^2-2y=0 ha nel punto P=(2,2) y=2x-2; 665)L’ellisse ha eccentricità: e<1; 666)Si consideri l’intersezione della parabola con l’asse delle ascisse se il ∆=0 L’unico punto di intersezione è il vertice della parabola e quindi il vertice ha coordinate V=(-b/2a,0); 667)Il Teorema della media è valido nell'ipotesi di funzione continua 668)Mediante il metodo di sostituzione, provare che l’integrale ∫1/√(5x-2) dx= 2/5 √(5x-2)+c; 669)Mediante il metodo di integrazione per parti, provare che l’integrale: ∫log x dx= (xlogx-x)+c; 670)La funzione resto è: l’errore che si commette, sostituendo la funzione f con il suo polinomio di Taylor di ordine n e centro x_0; 671)Le derivate parziali della funzione f(x,y)=ax^2 + bxy + cy^2, a, b, c R sono:∈ f_x=2ax+by; f_y=bx+2cy; 672)Il gradiente della funzione f(x,y)=3x+2y nel punto è: (3,2); 673)L’essere (x_0,y_0 ) un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D della funzione di due variabili dotata di derivate parziali prime in (x_0,y_0 ), che si annullano nel punto; f_x (x_0,y_0 )=f_y (x_0,y_0 )=0 è una condizione necessaria; 674)La curvatura misura: la variazione della tangente, ovvero misura quanto rapidamente la curva si allontana dalla retta tangente alla curva nel punto; 675)La forma differenziale ω= ((x-y)dx+(x+y)dy) / (x^2+y^2 )^α è chiusa in R^3 - {(0,0)} se α è: α=1;