MATEMATICA FINANZIARIA PEGASO LM-56, Prove d'esame di Matematica Finanziaria

Scarica MATEMATICA FINANZIARIA PEGASO LM-56 e più Prove d'esame in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity! MATEMATICA FINANZIARIA PROF. ROSARIO OLIVIERO Università Telematica Pegaso BOSS991 Page 1 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta (a/b)(c/d): =(ac)/(bd) 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…: 1/(1-1/2) Affinché un portafoglio composto da un attivo x e un passivo y sia immunizzato al tempo zero, è necessario che sia: V(0, x) = V(0, y) e D(0, x) = D(0, y) Al crescere del tasso i, indicare come si comporta il tempo di raddoppio di un capitale: diminuisce Al fine di realizzare un arbitraggio, la funzione valore a pronti deve seguire necessariamente una legge: Inusuale nella letteratura finanziaria Buoni del Tesoro Poliennali (BTP) Italia: Hanno durata di 4 anni ed interessi maggiori o uguali al tasso di inflazione. Le cedole sono pagate semestralmente e calcolate sul capitare rivalutato in base al tasso di inflazione. Comunque presi tre istanti successivi t,T,s una legge finanziaria scindibile ha la rispettiva funzione valore v: Tale che v(t,T,s)=v(T,s) manca la t minuscola (indipendente da t) Comunque presi tre istanti successivi t,T,s,, la funzione valore a termine v(t,T,s) v(t,TT)=1 Comunque presi tre istanti successivi, t,T,s, la funzione valore a Deve avere la seguente proprietà v(t,T,s) = 1; Con riferimento ad un contratto a pronti descritto dalla funzione v(t,s), l'intensità di rendimento a scadenza h è: - log(v(t,s))/(s - t) Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l'intensità istantanea di interesse sia: Indipendente dalla variabile t Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l'intensità istantanea di interesse sia: sia indipendente dalla variabile t Confrontando una legge a capitalizzazione composta, la struttura per scadenza prevede i seguenti tassi annui: 11%, 12%, 13% Considerando un'obbligazione acquistata al prezzo pari al valore di rimborso R e inoltre, con n cedole annue, ciascuna di un importo pari a C. In tal caso il tasso interno di rendimento è pari a (attenzione che un dato è sovrabbondante): C/R Consideriamo la funzione di utilità che ad ogni importo associa la radice quadrata. In tal caso l'utilità attesa del gioco di San Pietroburgo (con prima vincita possibile pari a 2) è pari a: 2.4142 Consideriamo la funzione z=exp(2x+y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a zero: Per ogni valore di x e y Consideriamo la funzione z=exp(x+y). La relativa matrice hessiana ha componenti: Tutte pari tra loro Consideriamo la funzione z=exp(x+y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a: Zero Consideriamo la funzione z=xexp(y). La relativa matrice hessiana ha componenti sulla diagonale principale: Pari rispettivamente a 0 e xexp(y) Consideriamo la funzione z=xy+exp(x-1)+exp(y-1). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a zero se: X=y=1 Consideriamo la funzione z=xy+exp(y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a: -1 Consideriamo la seguente operazione finanziaria X =(x,y), t=(1,2); sia V(X,0) il suo valore all'istante 0 e sia v(a,b) il fattore di sconto tra gli istanti generici a e b. La linearità della funzione valore ci assicura che: V(X,0)=xv(0.1) + yv(0.2) Consideriamo la seguente operazione finanziaria X =(x,y), t=(1,3); la duration all'istante 1 è paria a: 1; lOMoARcPSD|4201979 Page 4 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Data la (nota) legge finanziaria c(t) =C(1+lt), il tasso di interesse relativo al capitale maturato nel periodo (0,T), è paria a: I/C; Data la (nota)legge finanziaria C(t) = C(1+It), il tasso di interesse , relativo al capitale maturato nel periodo (0, T) è pari a: I/C Data la legge di capitalizz. c/(t)=Exp(0.99t) (dove in generale, Exp(X) indica il numero e elevato ad x), il tasso di interesse, dopo 10 anni, è pari a: Exp(9.9)-1 Data la legge di capitalizzazione c (t) = exp (0.6 t) dove, in generale, Exp (x) indica il numero e elevato ad x, il fattore di sconto, dopo 30 anni è pari a: 1/exp (18) Data la legge di capitalizzazione c(t) =exp(0.25t) l'intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni è pari a 0.25 Data la legge di capitalizzazione c(t)= exp(0.15t) l'intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni è pari a: 0.15 Data la legge di capitalizzazione c(t)= exp(0.7t) l'intensità di interesse dopo 8 anni è pari a: (exp(5.6)-1)/8 Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.11t) dove, in generale, Exp(x) indica il numero e elevato ad x, l'intensità istantanea di interesse, dopo 10 anni, è pari a: 0.11; Data la legge di capitalizzazione c(t)=exp(0.15 t) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero e elevato ad x), l'intensità istantanea di interesse, dopo 10 anni, è pari a: 0.15 Data la legge di capitalizzazione C(t)=Exp(0.15) dove in genere Exp(x) indica il numero elevato ad x, l'intensità istantanea di sconto, dopo 2 anni è pari 0.15 Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.15t) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero è elevato ad x), l'intensità istantanea di sconto, dopo 2 anni è pari a: 0.15; Data la legge di capitalizzazione C(t)=Exp(0.15t) dove in genere Exp(x) indica il numero elevato ad x, il tasso di interesse dopo 9 anni è pari Exp(6.3)-1 oppure (0.7x9)-1 Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.25t) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero e elevato ad x), l'intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni, è pari a: 0.25 Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.28t) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero e elevato ad x), l'intensità istantanea di interesse, dopo 20 anni, è pari a: 0.28 Data la legge di capitalizzazione C(t)=exp(0.4t) dove in generale Exp(x) indica il numero elevato ad x, il tasso di interesse dopo 5 anni è pari Exp(2) – 1 oppure (0.4x5)-1 Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.6t) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero e elevato ad x), il fattore di sconto, dopo 30 anni, è pari a: 1/exp(18) Data la legge di capitalizzazione C(t)=exp(0.70t) dove in generale Exp(x) indica il numero e elevato ad x, il fattore di sconto, dopo 10 anni è pari a 1/Exp(7) Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.7t) (dove in generale, Exp(X) indica il numero e elevato ad x), il tasso di interesse, dopo 8 anni, è pari a: Exp(6.3) - 1; Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.7t) (dove in generale, Exp(x) indica il numero e elevato alla x), il tasso di interesse, dopo 9 anni è pari a: Exp(6.3) - 1 lOMoARcPSD|4201979 Page 5 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.7t) (dove, in generale, Exp(X) indica il numero e elevato ad x), il fattore di sconto, dopo 10 anni, è pari a: 1/Exp(7); Data la legge di capitalizzazione C(t)=Exp(0.7t)(dove, in generale Exp(x) indica i numero e elevato alla x), l'intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni è pari a: 1/Exp(7) oppure 0.7x10 Data la legge di capitalizzazione c(t)=Exp(0.8t) (dove, in generale, Exp(X) indica il numero e elevato ad x), il fattore di sconto, dopo 20 anni, è pari a: 1/Exp(16); Data la legge di capitalizzazione c/(t)=Exp(0.70t) (dove in generale, Exp(X) indica il numero e elevato ad x), il tasso di sconto, dopo 8 anni, è pari a: 1 – Exp(-5.6); Data la legge di capitalizzazione esponenziale con intensità istantanea 0.1, essa sarà equivalente ad una legge ad interessi composti con tasso annuo pari a: 0.1052 Data la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.2, il tasso di sconto, dopo 3 anni, è pari a: Circa 0.45 Data la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.3, il fattore montante, dopo 5 anni, è pari a: Circa 4.5 Data la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4, il tasso di interesse, dopo 3 anni, è pari a: Circa 2.3 Data la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4, l'intensità istantanea di interesse, dopo 3 anni, è pari a: 0.4 Data la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4, l'intensità istantanea di sconto, dopo 3 anni, è pari a: 0.4 Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V = (1, 2), p= (1/2, 1/2), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a: V = (1, 2), p= (3/4, 1/4) Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V=(1, 3), p=(0.5, 0.5), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a: V=(1,3) p=(3/4, 1/4); Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V=(6, 2), p=(0.5, 0.5), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a: V=(2,6) p=(3/4, 1/4); Data l'operazione finanziaria (aleatoria)V = (1, 2) p = (1/2, 1/2), l'equivalente certo, secondo la funzione di utilità logaritmica, è pari a: 1.4142 Data l'operazione finanziaria con vettore dei flussi pari a (3, 1, 6), e vettore delle scadenze pari a (2, 4, 6), il suo valore all'istante 3 secondo la legge esponenziale, con parametro 0.3, è: 7.2298 Data l'operazione finanziaria X = (-13,8,7,10), t = (0,1,2,3): Ha sicuramente uno dei suoi tassi internidi rendimento che è nullo; Data l'operazione finanziaria x = (2, -4, 3), t = (1,2,4) e l'operazione Y = (1, 3, 3), t = (1,2,6), l'operazione somma s è pari a: (3,-1,3,3) (1,2,4,6) Data l'operazione finanziaria X = (2,4,6), t = (1,2,3) e l'operazione Y = (1,4,9), t = (1,2,5), l'operazione somma S è pari a: (3,8,6,9,) (1,2,3,5; Data l'operazione finanziaria X = (2,4,6), t = (1,2,3) e l'operazione Y = (2,4,6), t = (1,2,4), l'operazione somma S è pari a: (4,8,6,6,) (1,2,3,4); lOMoARcPSD|4201979 Page 6 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Data l'operazione finanziaria X=(2,4,6), t= (1 2 3) e l'operazione Y= (2 4 6), t= (1 2 4), l'operazione somme S è pari a (4 8 6 6) ( 1 2 3 4) Data una funzione f definita in un sottoinsieme X di R e, detti x e y due punti di X, il rapporto incrementale R(x,y) è pari a: (f(y)-f(x))/(y-x) Data una funzione f definita in un sottoinsieme X di R e, detti x e y due punti di X, la sua derivata (in x) è pari: Al limite di R(x,y) al tendere di x a y Data una funzione f definita su un insieme X e sia z un punto di accumulazione per X. Diremo che il limite per x tendente a z di f(x) è pari ad L se : Per ogni intorno J di L esiste un intorno I di z tale che, per ogni x (tranne al più z) appartenente a I, f(x) apparterrà a J Data una funzione f definita su un insieme X e un punto z di accumulazione per X. Diremo che f è continua in z se : F(z) è pari al limite di f per x tendente a z Data una funzione f differenziabile, se s(x,p)= f(x) - f(p) - grad f(p)(x - p), si ha che il limite di s(x,p)/|x-p|, per x tendente a p, è pari a: 0 Data una funzione f(x) definita in un sottoinsieme X di R, a valori reali non negativi, l'integrale di f è pari: All'area della regione compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di f(x) Data una legge di capitale c(t)=Exp 80,5t) dove in generale exp(x) indica il numero e elevato a x) l'intensità istantanea di interesse dopo 3 anni è pari a 0.5 Data una legge finanziaria a tre variabili con funzione valore v(t,T,s), l'intensità di rendimento a scadenza è pari a: –log(v(t,T,s))/(s - T); Data una legge finanziaria a tre variabili con funzione valore v(t,T,s), l'intensità di rendimento a scadenza è pari a: -log(v(t,T,s))/(s-T) Data una matrice quadrata A (nxn), diremo che il numero b è un autovalore di A se: Esiste un vettore v (nx1) tale che Av=bv Data una rendita perpetua unitaria anticipata al tasso i, in un regime a capitalizzazione composta, il valore attuale è dato da: (1+i)/i; Data una rendita posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta del 2%, il relativo valore attuale è pari a: 89.826 (8.983?) Data una rendita posticipata perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 10% il valore attuale è pari a 10 oppure 1/0.10 Data una rendita unitaria anticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il montante è pari a: 11.1687 Data una rendita unitaria anticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 9.1622 Data una rendita unitaria anticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso generico i, il valore attuale è pari a: (1+ i)/ i Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni in un regime a capitale composto al tasso del 2% il montante è pari a: 109.497 Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore è pari a: 8.1358 Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il montante è pari a: 10.9497; Formula: [(1+0,02)^10]-1/0,02 Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 8.9826 lOMoARcPSD|4201979 Page 9 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Dobbiamo ammortizzare un prestito di un capitale S in due rate anticipate costanti, ossia t=(0,1). In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i , l'importo della rata è pari a: (i+1)S/(2+1) Due flussi finanziari x (attivo) e y (passivo) si dicono immunizzati se hanno stesso valore attuale, stessa duration ed inoltre la convexity di x è maggiore della convexity di y. Due flussi finanziari x (attivo) e y (passivo) sono immunizzati se: hanno stesso valore attuale, stessa duration ed inoltre la convexity di x è maggiore della convexity di y Exp(3)=: 1+3+9/2+27/3!+... Generalmente nel ramo danni, il rischio, a cui vanno incontro le compagnie, è: Maggiore di quello corrispondente del ramo vita Generalmente, per trovare il tasso interno di rendimento i Il tasso che rende equa un'operazione finanziaria Generalmente, per trovare il tasso interno di rendimento i: Bisogna risolvere un'equazione polinomiale la cui incognita è v = 1/(1+i) Generalmente, quando si valuta un contratto derivato, si utilizza una funzione valore relativa ad una legge: Esponenziale Gli arbitraggi sono operazioni di compravendita: Con profitto sicuro, non rischiose Gli arbitraggi sono: operazioni di compravendita, con profitto sicuro, non rischiose Gli assi cartesiani sono: Due rette perpendicolari Gli interessi si pagano solo sul capitale effettivamente prelevato e non su quello a disposizione I contratti assicurativi, se non accade l'evento assicurato, hanno rendimento: Negativo I contratti assicurativi, se non accade l'evento assicurato: hanno rendimento negativo I mercati dei capitali trattano strumenti finanziari di durata: Superiore a 12 mesi I mercati dei capitali: trattano strumenti finanziari di durata superiore a 12 mesi I mercati over the counter sono: Non regolamentati I mercati privati sono diffusi: Nei paesi anglosassoni I mercati secondari trattano: Titoli già in circolazione I mercati secondari: trattano titoli già in circolazione I numeri interi si indicano con la lettera: Z I numeri interi: Possono essere anche negativi I prestiti revolving: prevedono la messa a disposizione di una certa somma (su una carta di credito) che può essere prelevata (intera o in parte) a discrezione del debitore. Gli interessi si pagano solo sul capitale effettivamente prelevato e non su quello a disposizione I prezzi delle azioni sono stabiliti: Dalla legge della domanda e dell'offerta I primi tre termini, dello sviluppo in serie della funzione exp(x+y), sono: 1+x+y Il debito residuo D(k) , all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = (1+i)D(k - 1) - (1+i)R(k - 1), dove R(k) indica la rata pagata all'istante k Il debito residuo D(k) , all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = (1+i)D(k - 1) − R(k), dove R(k) indica la rata pagata all'istante k Il debito residuo D(k), all'istante k, in un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = D(k-1) − C, dove C indica la quota capitale Il determinante di una matrice quadrata, avente due righe identiche è: 0 lOMoARcPSD|4201979 Page 10 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Il determinante di una matrice quadrata, avente una riga nulla, è: 0 Il determinante di una matrice quadrata: è una somma di più termini: ogniuno è il prodotto di elementi in modo che ne siano presi uno per ogni riga e per ogni colonna Il determinante di una matrice triangolare è: Pari al prodotto degli elementi diagonali Il dominio della funzione f(x,y)=1/(x+y) è: L'insieme dei punti del piano privati della retta x=-y Il dominio della funzione f(x,y)=log(xy) è: L'insieme dei punti del piano appartenenti al primo e al terzo quadrante, privati delle rette x=0 e y=0 Il grafico della funzione esponenziale con base strettamente compresa tra 0 ed 1: Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione logaritmo: Presenta un andamento che dipende dalla base (del logaritmo). Il grafico della funzione potenza con esponente a (0 Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione potenza con esponente a (0 <a <1 ): Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione potenza con esponente dispari: Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione potenza con esponente pari: È simmetrico rispetto all'asse delle ordinate Il grafico della funzione potenza con esponente strettamente negativo: Presenta un andamento strettamente decrescente Il leasing è un contratto che, in cambio del pagamento di un canone periodico: Consente, di avere la disponibilità di un bene e di esercitare, al termine del contratto, un'opzione di acquisto del bene stesso per una cifra pattuita, inferiore al valore di mercato del bene Il limite, al tendere di x a 1, della funzione f(x) = 3x+4 è: 7 Il limite, al tendere di x a 1, della funzione f(x) = 3x+4 è: Per ogni M > 0 esiste un numero N tale che, se x > N, allora f(x) > M Il limite, al tendere di x a zero, della funzione f(x) = (log(1+x))/x è: 1 Il mercato dei capitali è caratterizzato dal fatto che in esso Vengono trattati titoli di durata superiore ai 12 mesi Il montante m(t,s) (t < s) è uguale: Al prodotto dei montanti a termine relativi ai singoli periodi unitari Il numero di Nepero è pari al limite, per n tendente a più infinito, di: 1+1/n elevato ad n Il numero di Nepero è pari alla somma: 1+1/2!+1/3!+1/4!+… Il prodotto della matrice A per la matrice identica I è pari a: A Il rateo di un'obbligazione è: L'interesse maturato su una cedola in maturazione che non è ancora scaduta Il rendimento di un'obbligazione dipende: Dal tasso di interesse e dal prezzo di acquisto Il rischio di credito: è assente in tutti i mercati finanziari ideali Il risultato del confronto di operazioni mediante il criterio del valore attuale netto: Dipende dal tasso di valutazione scelto Il sistema 4x+2y=4, 2x+y=6: È impossibile Il sistema x+y=4, 2x+y=6: Ha per soluzione x=2, y=2 Il TAEG ( Tasso Annuo Effettivo Globale): è una misura del costo complessivo del finanziamento. Il TAEG è comprensivo di eventuali oneri accessori, quali spese di istruttoria, e spese assicurative, che sono a carico del cliente Il tasso interno di rendimento esiste ed è unico: Se il vettore dei pagamenti presenta una sola variazione di segni Il tasso interno di rendimento NON è (indicare l'affermazione sbagliata): Il tasso medio di crescita dei flussi attivi di un'operazione finanziaria Il termine n esimo di una serie è: Pari alla somma dei primi n termini di una data successione Il valore atteso del gioco di San Pietroburgo è: + infinito lOMoARcPSD|4201979 Page 11 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Immaginiamo di lanciare un dado a 6 facce e di ricevere una somma in euro pari al punteggio che esce (ovviamente si legge il numero riportato dalla faccia in alto e si suppone che il dado non sia truccato). Il valore atteso della somma ricevuta è pari: 7/2 Immaginiamo di lanciare una moneta: se esce testa (la relativa probabilità è 0.5) intaschiamo 2 euro, se esce croce intaschiamo 0 euro. Il valore atteso della vincita è pari a: 1 Immaginiamo di lanciare una moneta: se esce testa otteniamo 2 euro e se esce croce otteniamo 0 euro. Sapendo che la moneta non è truccata, la varianza della vincita è: 1 Immaginiamo di lanciare una moneta: se esce testa otteniamo 3 euro se esce croce perdiamo 1 euro, supponiamo che la moneta sia truccata, testa esce con probabilità 3/4 e croce con probabilità 1/4. In tal caso, la varianza della vincita è: 5/2 In base alla legge dei grandi numeri, ogni compagnia assicurativa: Ha interesse a stipulare il maggior numero di polizze possibili, se i rischi degli assicurati sono indipendenti tra loro In caso di funzione di utilità logaritmica, l'utilità attesa del gioco di San Pietroburgo (con prima vincita possibile pari a 2) è pari a 2log(2) In genere i contratti assicurativi hanno rendimento positivo solo se accade l'evento assicurato In genere le assicurazioni sulla vita hanno durata: Medio-lunga In genere l'importo relativo all'ultimo pagamento previsto da un'obbligazione con cedola C e valore di rimborso R è R+C In genere l'importo relativo all'ultimo pagamento previsto da un'obbligazione è maggiore di tutti gli importi previsti In genere, il flusso di importi che riceve il possessore di un'obbligazione, pagata una cifra P, con cedola C e valore di rimborso R, è: (-P,C,C,C…,C,C+R) In genere, la legge esponenziale è usata perché: Le corrispondenti grandezze assumono una forma alquanto semplice; In genere, l'importo, relativo all'ultimo pagamento, previsto da un'obbligazione con cedola C e valore di rimborso R, è: R + C; In genere, l'importo, relativo all'ultimo pagamento, previsto da un'obbligazione, è: il maggiore di tutti gli importi; In genere, l'importo, relativo all'ultimo pagamento, previsto dall'obbligazione con cedola I e valore di rimborso C, è: I + C; In genere, un contratto forward, stipulato in un'istante 0: Obbliga il possessore ad acquistare un bene in un istante successivo T >0 In genere, una polizza United Linked è caratterizzata: Dall'essere collegata al valore di un fondo In genere, un'opzione, stipulata in un'istante 0: Dà la facoltà, al possessore, di acquistare (o vendere) un bene in un istante successivo T >0 In prima approssimazione, se i è piccolo, log(1+i) è approssimativamente uguale a: i; In prima approssimazione, se x è piccolo, Exp(x) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero che elevato ad x) è paria a: 1+x; In prima approssimazione, se x è piccolo, Exp(x) (dove, in generale, Exp(x) indica il numero che elevato ad x) è paria a: 1+x<a<z In regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari all'1.2% prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario affinchè il mio debito venga raddoppiato e': 1/0.012 In un mercato finanziario ideale, le quantità di titoli da trattare sono: Sempre infinitamente divisibili lOMoARcPSD|4201979 Page 14 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 5% presto un capitale pari a 1000 euro. La cifra, in euro che mi verrà restituita dopo 2 anni è 1100 C(1+it) In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al10%, presto un capitale pari a 2500 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, è: 3000 In un regime a capitalizzazione semplice con un tasso annuo al 1% presta pari a 2000 euro. La cifra in euro, che mi verrà sostituita dopo 2 anni è: 2040 In un regime a capitalizzazione semplice se C è il capitale iniziale investito, i è il tasso annuo, allora CIT rappresenta: L'interesse generato dal capitale dopo t anni In un regime a capitalizzazione semplice, il tempo di raddoppio di un capitale investito: Dipende dal capitale iniziale; In un regime a capitalizzazione semplice, se M è il montante del capitale investito C dopo t anni ed i è il tasso annuo, allora: t= (M/C-1)/i In un regime a capitalizzazione semplice, se M è il montante di capitale investito, C dopo t anni ed i è il tasso annuo, allora: C=M/(1+it) In un regime a interessi composti, se il tasso i è piccolo, indicare quale uguaglianza è valida in prima approssimazione. log(1 + i) = i In un regime ad interessi composti, se il tasso i è piccolo, indicare quale uguaglianza è valida in prima approssimazione (lo studente si aiuti facendo delle prove con la calcolatrice scientifica, o con il foglio elettronico o con un programma per il calcolo scientifico, assegnando piccoli valori ad i): Log(1 + i) = i In una prima approssimazione se i è piccolo, log (1+i) è approssimativamente uguale a: i Indicare cosa è un titolo a cedola nulla: È un contratto che garantisce al portatore il pagamento, da parte dell'emittente, di una somma S in una certa data, dietro il pagamento di una somma C in una data antecedente (S > C) Indicare cosa rappresenta il fattore montante: Quanto si riceve per ogni euro investito Indicare cosa rappresenta il tasso di interesse: Il guadagno per unità di capitale investito Indicare cosa si intende con il termine “BOT”: Sono titoli emessi dallo Stato italiano per finanziarsi Indicare quale caratteristica hanno i pagamenti intermedi (dal secondo al penultimo) previsti dai titoli a cedola fissa: Sono identici Investo 1 euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 3%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è Log (1.03) Investo 1 euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7,1%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è pari log(1.071) Investo 1 Euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7,9%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è log(1.079) Investo un capitale all'istante t=0; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante All'istante t=1 Investo un capitale all'istante t=1; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=2 lOMoARcPSD|4201979 Page 15 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Investo un capitale all'istante t=10; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=11; Investo un capitale all'istante t=150; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=151; Investo un capitale all'istante t=20; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=21; Investo un capitale all'istante t=29.5; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=30.5; Investo un capitale all'istante t=360; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=361; Investo un capitale all'istante t=50; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=51; Investo un capitale all'istante t=928; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all'istante t=929; Investo un capitale unitario nell'anno 2024 supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4. Nel 2034 mi ritroverò una cifra (in euro) pari a: Circa 55 euro Investo un euro supponendo che sia vaida la legge di capitalizzazione composta al teso del 6.1%, l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: log(1.061) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso (annuo) del 2%; il tasso semestrale equivalente è: Un po' meno di 0.01 Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 0.32%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: log (1.0032) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 0.91%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è pari: log(1.0091); Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 2%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: Log(1.02) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 6.1%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è pari: log(1.061); Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7.1%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è pari: log(1.071); Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 7.9%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è pari: log(1.079); La condizione da imporre sulle derivate parziali seconde di una funzione f, di due variabili x e y, per avere un massimo è: La derivata seconda di f rispetto ad x deve essere negativa e il determinante dell'hessiano positivo La convenxity della funzione valore (se quest'ultima è espressa da una legge esponenziale in funzione dell'intensità istantanea), è definita come: il rapporto tra la derivata seconda della funzione valore e la funzione stessa; La derivata della funzione f(x)=xxx è pari a: 3xx lOMoARcPSD|4201979 Page 16 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta La derivata di una funzione f(x) costante è pari a: 0 La derivata parziale della funzione exp(x)log(y) rispetto ad x è pari a: Log(y)exp(x) La derivata parziale della funzione log(x+y) rispetto ad x è pari a: 1/(x+y) La derivata parziale della funzione xlog(y) rispetto ad y è pari a: X/y La derivata seconda della funzione y=x(x-1)è pari a: 2 La derivata terza della funzione y=3exp(x) è pari a: 3exp(x) La derivata terza della funzione y=exp(x-1) è pari a: exp(x-1) La duration coincide con la scadenza media aritmetica se: il fattore di sconto è pari ad uno; La duration di secondo ordine è una misura di: Dispersione La duration di un portafoglio, valutato all'istante 0 (quindi le scadenze coincidono con le vite a scadenza) è T (La media pesata di tutte le scadenze (i pesi sono sproporzionali ai valori attuali delle rispettive poste)). La duration di un portafoglio, valutato all'istante 0 (quindi le scadenze coincidono con le vite a scadenza), è: La media pesata di tutte le scadenze (i pesi sono proporzionali ai valori attuali delle rispettive poste); La duration di una rendita a rata costante R è: Indipendente dal valore di R; La duration di una rendita, valutata ad un tasso di interesse pari a zero, è: Pari alla scadenza media aritmetica; La franchigia è sempre: Minore rispetto al massimale La funzione di risarcimento, in un contratto con franchigia, è: Crescente rispetto al danno La funzione esponenziale con esponente frazionario n/m è pari: Alla radice m-esima della funzione potenza con esponente n La funzione potenza con esponente pari a - 0.5: Assume valori reali solo su numeri positivi La funzione potenza con esponente pari ad 1/2: Assume valori reali solo su numeri positivi La funzione v(t,T,s) deve essere tale che: v(t,T,T) =1 La funzione valore a pronti abbia le seguenti caratteristiche: v(1,4) = 0.1, v(1,6) = 0.2; una delle operazioni seguenti compone una strategia di arbitraggio consiste in: Acquisto, in t =1 del TCN unitario con scadenza all'istante 4 La funzione valore a pronti v(t, s) deve essere tale che: v(t, t) = 1 La funzione valore a termine v(t,T,s) deve essere tale che: v(T,T,s) = v(T,s) La legge dello sconto commerciale afferma che, se k è una costante positiva: v(t,s) = 1 – k(s – t) La legge di capitalizzazione commerciale è: uniforme e non scindibile. La legge di capitalizzazione commerciale è: Uniforme (nel tempo) e non scindibile La legge di capitalizzazione Composta è: Uniforme (nel tempo) e scindibile La legge di capitalizzazione esponenziale è molto usata perché: Le principali grandezze finanziarie, ricavate a partire da essa, assumono una forma relativamente semplice La legge di capitalizzazione esponenziale è: Uniforme (nel tempo) e scindibile La legge di capitalizzazione semplice è: Uniforme e non scindibile La legge esponenziale: È scindibile ed uniforme La legge v(t,s) = exp(0.5(sx s - tx t)) ha intensità istantanea di interesse pari a: S La matrice hessiana di una funzione ha per elementi: Le derivate parziali seconde della funzione La molteplicità algebrica è sempre: Maggiore o uguale a quella geometrica La norma del vettore (2, 2, 1) è: 3 La norma di un punto è sempre: Maggiore o uguale a zero La prima quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari al rapporto tra il debito iniziale e il montante di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) La probabilità di un evento può essere definita come:: il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili lOMoARcPSD|4201979 Page 19 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta L'integrale indefinito della funzione f(x)=xexp(x) è pari a: Xexp(x)-exp(x) L'integrale indefinito di f'(x) g(x) è pari a: F(x)g(x) meno l'integrale di f(x)g'(x) L'intensità istantanea di interesse, relativa allo legge v(t,s) = 1 - k(s - t), è: K/(1 - k(s - t)) L'interesse rappresenta: un guadagno per chi ha prestato un certo capitale L'inversa B di una matrice A è una matrice tale che: AB=BA=I, dove I è la matrice identica L'inversa di una matrice A è pari: Alla trasposta della matrice dei cofattori divisa per il determinante di A L'ipotesi della preferenza per la liquidità implica che: i titoli di durata più lunga siano considerati i più rischiosi. L'ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine afferma che: t ≤ T ≤ s => v(t,T) v(t,T,s) = v(t,s) Lo sconto è anche detto: Interesse anticipato Lo sviluppo in serie di f(x)=exp(2x) arrestato ai primi due termini è: 1+2x Lo sviluppo in serie di f(x)=xexp(x) arrestato ai primi due termini è: x+xx Lo sviluppo in serie di f(x)=yexp(x) arrestato ai primi due termini è: y+xy Log(1)=: 0 L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, -2, -2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente equa: Se l'intensità istantanea di interesse è pari a zero L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, 2, 2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente non equa: Per qualunque valore dell'intensità istantanea L'operazione finanziaria x = (- 4, -6, 10), t= (1, 2, 3): Ha sicuramente uno dei suoi tassi interni di rendimento che è nullo L'operazione finanziaria x = (4, 6, 10), t= (1, 2, 3): Ha tassi interni di rendimento immaginari L'operazione finanziaria x=(-13,8,10,7) t= (0 1 2 3) ha sicuramente uno dei suoi tassi di rendimento interno che è nullo L'ultima quota capitale non nulla, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti), di durata pari ad n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: alla rata L'ultima quota capitale versata dal debitore in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari al prodotto tra la rata e il fattore di sconto <-- da verificare L'ultima quota capitale versata dal debitore in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i è pari Al rapporto tra la rata ed il fattore montante Nel caso di contratti a termine (tre variabili), l'intensità di rendimento a scadenza h(t,T,s) è (t < T < s): - log(v(t,T,s))/(s - T) Nel caso di contratti a termine (tre variabili), l'intensità di rendimento a scadenza h(t,T,s) è: (t –log(v(t,T,s))/(s – T) Nel caso l'operazione finanziaria sia un finanziamento, il tasso interno di rendimento: E' interpretabile come un tasso di costo Nel software R, il comando per trovare un autovettore di A è: >eigen(A) Nella legge di capitalizzazione semplice, indicare che caratteristica ha l'incremento del capitale: dipende dal capitale iniziale, dal tasso scelto e dal tempo Nell'assicurazione di annualità, un individuo: Si assicura affinché, in caso di decesso, la compagnia assicurativa si impegni a corrispondere le rimanenti rate di un certo debito Nell'ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termime, la proprietà si scindibilità può essere espressa anche come: t ≤ T ≤ s => v(t,T,s) = v(T,s) lOMoARcPSD|4201979 Page 20 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Per applicare il criterio del rapporto ad una serie bisogna assicurarsi che: La successione originaria abbia termini tutti positivi da un certo indice in poi Per calcolare l'area del grafico sotteso da una funzione tra i punti a e b bisogna: Trovare una funzione F la cui derivata è f e poi calcolare la differenza F(b) – F( a) Per evitare arbitraggi non rischiosi, la funzione valore a pronti v(t,s) deve essere: Decrescente rispetto alla scadenza s Presto un capitale pari a 10 mila euro e mi viene restituita una cifra paria 13500 euro. Il montante, relativo a questa operazione, è: 1.35; Formula: 13500/10000 Presto un capitale pari a 10000 mi verrà restituita una cifra paria 13500. Il fattore montante relativo a questa operazione è: 1.35 Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000. Indicare qual è il tasso di interesse relativo a questa operazione: 0,2 Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000. Indicare qual è il tasso di interesse relativo a questa operazione: 20% Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000: indicare qual è il tasso di sconto: 16.67% Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000: l'operazione dura 4 anni. Indicare qual è l'intensità di interesse relativa a questa operazione: 5% Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000: l'operazione dura 4 anni. Indicare qual è l'intensità di interesse relativa a questa operazione: 0,05 Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000; l'operazione dura 4 anni. Indicare qual è l'intensità di interesse relativa a questa operazione 5% Presto un capitale pari a 8000 euro e mi viene restituita una cifra pari a 10000. Il fattore di sconto, relativo a questa operazione è: 0.8; Formula: 8000/10000 Presto un capitale pari a 8000 euro e mi viene restituita una cifra pari a 20000. Il fattore di sconto, relativo a questa operazione è: 0.4 Formula: 8000/20000 Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. Il fattore montante, relativo a questa operazione è: S/C; Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S. Il tasso di sconto, relativo a questa operazione è: (S – C)/S; Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S; il tasso di interesse, relativo a questa operazione è (S-C)C Presto un capitale pari a X e mi viene restituita una cifra x+y, il tasso di interesse relativo a questa operazione è: y/x Presto un capitale pari a X e mi viene restituita una cifra Y; il tasso di interesse, relativo a questa operazione è (Y-X)/X Presto un capitale pari ad a e mi viene restituita una cifra b. Il tasso di interesse, relativo a questa operazione, è: (b - a)/a; Presto una certa somma di denaro per un certo tempo t. A parità di tasso, indicare in che caso il regime a capitalizzazione composta mi è più conveniente: t > 1 Sapendo che l'operazione finanziaria, con flusso di importi pari a (8, – 4, – 5, 2), è equa secondo la legge esponenziale con un determinato parametro, lo è sicuramente anche quella con le stesse scadenze e con importi pari a: (80, -40, -50, 20) Se a è un numero reale diverso da zero, D(ax+b)= : A lOMoARcPSD|4201979 Page 21 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Se a è una matrice nxm e B è una matrice kxh, affinché sia possibile definire il loro prodotto è necessario che sia: M=k Se a, b c e d sono 4 numeri interi, a/b + c/d = (ad+bc)/(bd) Se a=(1,4,5) e b=(2,1,1), a+b=: (3,5,6) Se b è un autovettore di A si ha che: Det(A-bI)=0 Se consideriamo un capitale iniziale unitario, i = 3% = 0.03 e t = 4 mesi (=1/3=0.3333), indicare quale quantità maggiora la differenza tra i due montanti relativi alla capitalizzazione semplice e composta: 0.3333 x (1 ‒ 0.3333) x 0.03 x 0.03/2 Se consideriamo un intervallo temporale (0,T) e una costante positiva k, l'intensità istantanea d'interesse, all'istante t, relativo alla legge di capitalizzazione commerciale può assumere la sua forma: K/(1-kt) Se consideriamo un intervallo temporale (0,T) ed una costante positiva K, il fattore montante m(t), all'istante t, relativo alla legge di capitalizzazione commerciale può assumere la forma: m(t)=1/(1-kt) Se f è una funzione continua definita in un intervallo di estremi a e b, si ha che,: Se c è un punto interno ad [a,b], l'integrale tra a e b di f(x) è pari a f(c)(b-a) Se f è una funzione integrabile in un intervallo di estremi a e b, la funzione integrale F: Associa, ad ogni x in I, l'integrale tra a e x di f in dt Se f(x) = 4 ed a=4, F(x)=: 4(t-a) Se f(x) = exp(x) ed a=1, F(x)=: Exp(x)-e Se f(x) e g(x) sono differenziabili in un intervallo I e p appartiene ad I, il differenziale di fg, in p, associa ad ogni punto p in I, il numero: (f'(p)g(p)+f(p)g'(p))(x-p) Se f(x,y)= x + y, la derivata direzionale rispetto al vettore (1,1), vale: 2 Se fosse v(t,T)v(t,T,s) Di cui il primo positivo e gli altri nulli Se fosse v(t,T)v(t,T,s) Vendita (allo scoperto) del TCN unitario con scadenza in s Se fosse v(t,T)v(t,T,s) < v(t,s) (t < T < s), la strategia di arbitraggio genererebbe un flusso di importi: Di cui il primo positivo e gli altri nulli Se fosse v(t,T)v(t,T,s) < v(t,s) (t < T < s), la strategia di arbitraggio genererebbe un flusso di importi: Sia V(t,T,x) il valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l'importo x in s. Se fosse v(t,T)v(t,T,s) < v(t,s) (t < T < s), una delle operazioni che compone la strategia di arbitraggio sarebbe Vendita (allo scoperto) del TCN unitario con scadenza in s Se i(t,s,s+a) è l'interesse annuo e j(t,s,s+a) è l'interesse (entrambi riferiti ad operazioni a termine), in regime lineare, si ha: i(t,s,s+a) = j(t,s,s+a)/a Se i(t,T,s) è il tasso di interesse a termine (t < T < s) ed h(t,T,s) è la corrispondente intensità di interesse, si ha: H(t,T,s) = log(1+i(t,T,s)) Se il fattore montante, relativo ad un'operazione finanziaria è m, il corrispondente tasso di sconto è pari a: 1-1/m Se il limite per x tendente a z di f(x) è pari a 0, allora il limite per x tendente a z di 1/f(x) è pari a: Infinito Se il tasso di interesse anno i è piccolo la seguente uguaglianza è valida in prima approssimazione log(1+i)=i Se il tasso di interesse è pari a i, il tasso di sconto sarà uguale a: i/(1+i) Se il tasso di sconto relativo ad un investimento è pari a d, allora il corrispondente tasso di interesse sarà pari a: d(1-d) Se la funzione valore a pronti v(t, s) è descritta da una legge esponenziale, essa, al divergere di s, tende a: 0 lOMoARcPSD|4201979 Page 24 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Secondo la teoria delle aspettative pure: Il valore fissato dal mercato per i tassi a termine coincide con il valore che il mercato si aspetta per i tassi a pronti futuri Secondo la teoria dell'habitat preferito gli agenti: Hanno una convenienza ad investire su un determinato segmento di scadenze, ma sono disposti ad uscire da questo “habitat preferito" se i titoli di un altro segmento offrono un adeguato rendimento aggiuntivo Secondo la teoria dell'habitat preferito: gli agenti anno una convenienza ad investire su un determinato segmento di scadenze, ma sono disposti ad uscire da questo “habitat preferito" se i titoli di un altro segmento offrono un adeguato rendimento aggiuntivo Si consideri la legge di capitalizzazione con parametro 0.4, l'intensità istantanea di interesse cosrrispondente su base semestrale è pari a: 0.2 Si consideri la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4; l'intensità istantanea di interesse corrispondente su base semestrale è pari a: 0.2 Si dice che a è un punto di minimo relativo per f: A -> R se: Esiste un intorno I di a , tale che per ogni x appartenente ad A ed I, f (x) è maggiore o uguale ad f(a) Si dice che un autovalore b* della matrice A ha molteplicità algebrica a se il polinomio caratteristico det (A: Può essere diviso per (b Sia A la matrice dei coefficienti delle incognite di un sistema lineare. Se Det(A)=0 il sistema: È indeterminato o impossibile Sia f : A -> R una funzione dotata di derivate parziali prime in ogni punto di A. Sia a un punto interno ad A ; sia inoltre a estremante per f. Allora possiamo dedurre che: Grad f(a)=0 Sia f una funzione ad n variabili definita in un insieme I. Sia p un punto interno ad I e supponiamo che f sia continua assieme alle sue derivate prime e seconde in un intorno di p e che in tale punto si annulli il gradiente. Sia infine H la matrice hessiana di f in p. Si ha allora: Se gli autovalori di H sono tutti (strettamente) positivi, p è un punto di minimo relativo Sia f una funzione ad n variabili definita in un insieme I. Sia p un punto interno ad I e supponiamo che f sia continua assieme alle sue derivate prime e seconde in un intorno di p e che in tale punto si annulli il gradiente. Sia infine H la matrice hessiana di f in p. Si ha allora: Se H è definita positiva, p è un punto di minimo relativo Sia f(x) una funzione continua in [a,b]: sia F(t) la relativa funzione integrale: per ogni i in [a,b], si ha: F'(t)=f(t) Sia V(t,T,x) = valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l'importo x in s. Se fosse V(t,T,x) Di cui il primo e l'ultimo sarebbero nulli Sia V(t,T,x) = valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l'importo x in s. Se fosse V(t,T,x) < xv(t,T,s) (t ≤ T ≤ s), la strategia di arbitraggio genererebbe un flusso di importi: Di cui il primo e l'ultimo sarebbero nulli Sia V(t,T,x) il valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l'importo x in s. Se fosse V(t,T,x) Vendita in t (allo scoperto), per consegna in T, di x unità del TCN unitario con scadenza in s Sia V(t,T,x) il valore in T, pattuito in t, di un titolo che garantisce l'importo x in s. Se fosse V(t,T,x) < xv(t,T,s) (t < T < s), una delle operazioni che compone la strategia di arbitraggio è: Vendita in t (allo scoperto), per consegna in T, di x unità del TCN unitario con scadenza in s Siano t l'istante di acquisto del titolo, t +1 l'istante di rimborso o di rivendita del titolo v il valore di rimborso del titolo e p il prezzo di acquisto del titolo. Il rendimento è: (v(t +1) − p(t))/p(t) Storicamente, la scoperta dei numeri reali si deve: A Pitagora lOMoARcPSD|4201979 Page 25 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Supponendo nota C(t + 1), la quota capitale C(t) nell'anno precedente, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta (al tasso i), è uguale a: C(t + 1)/(1 + i); Supponiamo che il valore attuale di un titolo X sia minore del valore di una combinazione lineare di TCN aventi le stesse scadenze degli importi relativi ad X. In tal caso, per compiere un arbitraggio, una delle operazioni consiste in: Acquistare un titolo che garantisce il flusso di importi X Supponiamo che una funzione abbia derivate parziali in un intorno I del punto p e che queste siano continue in p. Allora sicuramente la funzione è: Differenziabile Supponiamo di investire un capitale C in un regime a capitalizzazione composta. Supponiamo inoltre che il montante del capitale investito dopo un tempo t sia pari al quadrato di C e che il tasso annuo sia i; in tal caso t è pari a: Log(C)/log(1+i) Supponiamo di investire un capitale C in un regime a capitalizzazione semplice. Supponiamo inoltre che il montante del capitale investito dopo un tempo t sia pari a quadrato di C e che il tasso annuo sia i; in tal caso t è pari a: (C-1)/i Supponiamo di investire un capitale C in un regime a capitalizzazione semplice. Supponiamo inoltre che il montante del capitale investito dopo un tempo t sia pari a quadrato di C; in tal caso il tasso di interesse è pari a: (C-1)/t Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a quote capitali costanti posticipate al tasso annuo i . Il numero minimo di annualità, in maniera che, però, la rata non superi una certa cifra R*, è: S/(R* ‒ iS) Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a quote capitali costanti posticipate per un certo numero di annualità n. Il tasso di interesse (annuo) massimo, in maniera che, però, la rata non superi una certa cifra R*, è: (R* ‒ S/n)/S Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a rate annue (eque) costanti anticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R*, è: Log((R* - Si/(1+i))/R*)/log(1/(1+i)) Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a rate annue (eque) costanti posticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra R*, è: log((R*−Si)/R*)/log(1/(1+i)) Teoria dei mercati segmentati (Culbertson, 1957) afferma che: Gli investitori scelgono di detenere titoli appartenenti ad un segmento dell'asse delle scadenze, senza tenere conto dei prezzi degli altri titoli Tra gli organi di vigilanza delle compagnie assicurative non c'è: La SNAI Tra le funzioni omogenee (di grado maggiore di zero) c'è: La funzione lineare Tra le leggi finanziarie scindibili annoveriamo: La legge esponenziale Tutti gli operatori di un marcato finanziario ideale sono necessariamente: Massimizzatori del profitto Un arbitraggio è un'operazione di compra-vendita non rischiosa che garantisce un profitto positivo - sicuro Un contratto derivato è: Un contratto scritto su un bene sottostante Un contratto forward stipulato in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t <T) pari a V(t,T)(S(T) – K) Un esempio di arbitraggio è: X=(1,2,3) t=(1,2,4); lOMoARcPSD|4201979 Page 26 of 27 Domanda (materia Mat. Finanz. 6CFU - Pegaso) Risposta Un esempio di funzione di sconto v(t,s) è uniforme, è dato da v(t,s)= : = 1/exp(s – t); Un funzionale lineare F è una funzione che ad ogni vettore numerico v associa un numero reale tale che per ogni vettore numerico v, w: F(v + w) = F(v ) + F(w) Un gioco consiste nel lancio di una moneta: se esce testa otteniamo 10 euro se esce croce perdiamo 0 euro. Supponiamo che la moneta sia truccata: testa può uscire con probabilità di 4/5; in tal caso il prezzo del biglietto per partecipare al gioco secondo il criterio del valore atteso, è pari a: 8 euro Un gioco consiste nel lancio di una moneta: se esce testa otteniamo 4 euro e se esce croce perdiamo 1 euro. Sapendo che la moneta non è truccata il prezzo del biglietto per partecipare al gioco (secondo il criterio del valore atteso) è pari a: 1,5 euro Un gioco consiste nel lancio di una moneta: se esce testa otteniamo 4 euro e se esce croce vinciamo 1 euro. Sapendo che la moneta non è truccata, l'utilità attesa del gioco nel caso di utilità logaritmica u(x)=log(x) è pari a: (log(4))/2 Un gioco consiste nel lancio di una moneta: se esce testa otteniamo 4 euro se esce croce vinciamo 1 euro. Supponiamo che la moneta non sia truccata e che la funzione di utilità sia il logaritmo in base 2 della vincita: In tal caso l'equivalente certo è pari a: 2 Un mercato Over The Counter (OTC): È caratterizzato dall'assenzadi uno specifico regolamento ; Un paese l'anno scorso ha realizzato un PIL pari a 200 miliardi di euro. Quest'anno il PIL è stato pari a 160 miliardi. Possiamo dire che il tasso di crescita è: Negativo Una funzione continua in un insieme chiuso e limitato: E' dotata di minimo e massimo Una funzione di n variabili avrà un matrice hessiana di lunghezza: Nxn Una funzione di sconto v(t,s) è uniforme se: Dipende dipende solo da s - t Una funzione è: Una corrispondenza che ad ogni numero (appartenente ad un opportuno sottoinsieme dei numeri reali) associa uno ed un solo numero reale Una funzione f, definita su un sottoinsieme X dei numeri reali, viene detta continua in un punto x se : Per ogni intorno J di f(x) esiste un intorno I di x tale che, se x appartiene a I, allora f(x) appartiene a J. Una funzione, definita in un intervallo I di R, è detta differenziabile in un punto p se: Esiste una costante A (dipendente da p), tale che il limite, per x tendente a p, di (f(x)-f(p)-A(p)(x-p) ) / |x-p| è pari a 0 Una legge finanziaria è scindibile se, indicato con v il rispettivo fattore di sconto, comunque presi gli istanti a, b, c, con a <=b <= c si ha v(a,c)= v(ab)v(bc) Una legge finanziaria è scindibile, se, indicato con v il rispettivo valore attuale: Per ogni istante a, b, c, con a < b < c, si ha v(a,c)=v(a,b)v(b,c) Una matrice di nxm elementi è: Una tabella formata da n righe: in ogni riga ci sono m numeri Una matrice è detta quadrata se: Il numero di righe è pari al numero di colonne Una misura m di un piano (cartesiano) è: Una funzione che ad ogni sottoinsieme associa un numero non negativo Una rendita è un operazione finanziaria: In cui tutti gli importi sono positivi Una serie alternante: Converge se il termine n-esimo, della successione generante, tende a 0 lOMoARcPSD|4201979