Parte sulle Serie Di Fourier, Dispense di Analisi Numerica

Scarica Parte sulle Serie Di Fourier e più Dispense in PDF di Analisi Numerica solo su Docsity! SERIE DI FOURIER Nelle serie di Fourier prenderemo segnali periodici e li approssimo con funzioni periodiche come seni e coseni. Una delle funzioni banali che prendiamo è l’onda quadra (da notare che molte volte prendiamo funzioni periodiche di ordine 1, in altre situazioni invece il periodo può essere maggiore o minore) nella quale analizzavamo il caso in cui la periodicità vale In queste funzioni conosco un periodo e lo ripropongo con periodicità Quindi l’idea sarà quella di trovare funzioni trigonometriche che approssimano questa funzione. Ad esempio vediamo: Ogni volta vado a sommare un termine -> concetto di serie L’idea è che non ci fermeremo a sommare 5 funzioni, ma ne sommo in un numero superiore arrivando quindi alla definizione di una serie numerica (limite). Proveremo che la somma della serie è: ‘Sembra un molare’ cit prof 25 . CHE FUNZIONI ANALIZZIANO ! · " · . · O & & · · * 3 -- - E Z & Lefunzioni PASSAnette UNESCPSSE e t (an +2) du((2n+2)x) FUNZIONE DISCONTINUA ⑧ · 3 PUNI Di - ---- 1 ------ - DISCONTINUIEA-- · " · & A In questo caso ho una funzione dispari, ma per altre funzioni verranno fuori anche dei coseni e quindi tratteremo anche funzioni pari. TEOREMA [SVILUPPABILITA IN SERIE DI FOURIER] NB una funzione a tratti è diversa da una a salti -> nella funzione a tratti posso avere punti angolosi, cuspide etc. nella funzione a salti, invece, si hanno discontinuità. Consideriamo le seguenti successioni numeriche: -> 0 qui non serve in quanto sen (0) fa zero Posso mettere qualsiasi cosa essendo funzioni periodiche Con tali scelte di si ha che: • nei punti in cui è continua ho la seguente identità: Esso è chiamato sviluppo reale (in quanto tratto numeri reali -> potrei vedere anche ossia Chiesto all’esame (solo enunciato) SIA F : -R Un Senate 21-periodico OSSIA : · f(z) + 2 = f(z) Questo Vol dire essere funzione 25-periodica · f [1 ASATI 70 = to < +1 ... tp = 25 PUNTI ANGOLOSIA ↳ FUNZIONE RISTRETTA IN OGNI INTERVALLO ali Che Flato , at , flaita, "..., f) Sono 2 E Negli eventuali J tp-1 ; tp[ to ...t , f e 'Hanno dell Discontinuite Eliminabili & Di SALO .. POSSONO ANCHE NON ESISTERE an : = = (f(t) . cosCut) at Con nohe bm := Ff(t) . sercutton CON n= 1 Distinzione (an(n20 E (bn)n11 FUNZIONE CONTINUA E DISCONTINUA SON MOLI tER F f(t) = do (an . Cos (not) + bu . su(n-+) 2 Ma da dove viene il teorema precedente? Deriva dalla teoria della decomposizione rispetto a una “base” (o sistema totale) ortonormale (con infiniti elementi) negli spazi di Hilbert. Cosa è uno spazio di Hilbert? È uno spazio vettoriale con un prodotto vettoriale in modo tale che lo spazio vettoriale risulti completo rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare. Ora definiamo tutti questi concetti. PRODOTTO VETTORIALE CON PRODOTTO SCALARE. Def) Sia uno spazio vettoriale su si chiama prodotto scalare su X ogni funzione con le seguenti proprietà: Quindi in questo caso prendiamo spazi di funzioni, non di vettori Se prendo le funzioni sono continue e hanno spazi infiniti, quindi ho infiniti vettori dentro lo spazio delle funzioni continue 1) (positività) 2) (simmetria) 3) (linearità su ogni argomento) OSS: Mettendo assieme (2) e (3) viene la linearità anche sul secondo argomento In tal caso si dice spazio con prodotto scalare (definito sps). A = 4 - 1 + 1 - * + 8 - 1s + 000 -- - IR -- ... 1 = ExI Re , x2 , x 3 , xn <v,> 10 # PROPRIZEE<, > = 0 Se Solo de 25 = 0 PRODOTTO SCALARE W = W, WE Cu+ V , w) = <U , w) + <, w > < X . v , w> = J <v , w , , WE , E (E , c , <) spaztescue PRODOTTO Esempio) Spazio vettoriale di dimensione infinita Pongo: possiamo dire che È un prodotto scalare! Esempio) Si può provare che questo è un prodotto scalare. Le funzioni seno e coseno sono ortogonali perché l’ integrale (in un dato intervallo) del loro prodotto da un risultato nullo. DEFINIZIONE ORTOGONALITA E ORTONORMALITA. Sia uno spazio con prodotto scalare (sps), due vettori si dicono ortogonali se Un insieme indicizzato in X si dice ortogonale se Un insieme si dice ortonormale (con ) se si ha: Esempio) è ortonormale rispetto al prodotto scalare standard. è ortonormale in =R CON <U, : = UVI = U28 + ... t Unt LU , wE Ove u = (42 , ..., un v= (v1 , ..., Wh) I = C([a , b] , R) f ,gE < f ,g : = F(t-g(t)a+ (2) Simmetria OK ! + d unb(3) Lineariza or ! - ANGOLO (1= See =0 Fu(t) =0 =D f(x) = 0 x+ [a , b] O CONTINUA (E,,.) u . ET <u , ) = 0 (v(i =1) <Vi = 0 , CON iF]. - [vi(i=]) 1+I Vi ,I <i , vz = Sz : = xitE · IN R3 , ((1 , 0 , 0) , (0 , 1 ,0)) · Anche <(1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 01 , (0 , 0,1) R3 . · In ([-,]) Col prodotto Scalar i due Vettori =ex, veCos A SON ORTOGONAM , INFAT CUEAux x=u(2x) = - CoS(2x) = O 2 . 2 -A DEFINIZIONE DI NORMA INDOTTA DA UN PRODOTTO SCALARE. Sia uno sps, poniamo e si chiama norma indotta dal prodotto scalare. OSS) Se è ortonormale, allora Esempio) Quindi per normalizzare il seno dobbiamo dividere per la sua norma. Ne segue che ha norma OSS) ogni vettore si può sempre normalizzare e ha norma 1. PROPRIETÀ GENERALI DI PRODOTTO SCALARE E NORMA. Sia un sps, allora: 1) disuguaglianza di Cauchy Schwarz 2) positività della norma 3) omogeneità della norma 4) disuguaglianza triangolare DIMOSTRAZIONE DI CAUCHY SHWARTZ. È banale se suppongo allora Linearita prodotto scalare Norma indotta di un vettore con se stesso (x,.,. >) Ilull := FUEE [vi(i=]) IWill =1, Infatt Iill = Vi , vi) = 1 = 1 - =L Per De . Di ORTONORMALE I Dixone I eux I. u + 0 U Tull (7 , 10 , ·7) kn , > / = Hull. II20Il, E Hull0 , Ul U = 0 11x - ul) = (x) . l ull ER 1(u+ v/ < lu +1) XuiE =0 Oppure =0, UFO e VO. 0 = InzfW = UxJw , utteFu, u + >u , dus + dwus + or: TEOREMA: PROPRIETÀ DI MINIMO DELLA PROIEZIONE. Sia X un sps, sia fissato, sia un insieme ortonormale in X e sia Poniamo (detto coeff di Fourier di x rispetto Allora posto: si ha: Pn(x) è detta proiezione ortogonale di x su V Inoltre è ortogonale ad ogni vettore di V. Dim) 1 Osservo che è ortogonale ad ogni Infatti: 2 Da (1) si deduce che è ortogonale ad ogni Infatti: Chiesto enunciato e dimostrazione n= 3 / = I usua + u = 1U21 u2 + us ... Per Induzione - - ↓· eiSONO ORTOCONN 1, 42 , 43 SOA 2 A 2 ORTOGONALI xt[ Suz, ...., unle = V:= SPAN Gu......, unl Xi F X , Lis Xi = 1....., N Ui) . COMBINAZIONI LINEARI di 11, . n Un n(x) : = x141+ ..... + xnUn = E=y Xi . Ui => 1Ix-In(x)I1 =min(1x-yll oveyEVS 1x- y x 11x - Pn(x)Il - => Pr(x) P · e x-Pn(x) u1 ....., Uh . X-Pn(x) ,His X , uit - n(),ui = - Lineare -- ↳ COL Sostiuisco · [FF , ↓ Fourier Delo dimostrade Xi CHE IL PROPOTTO PORTO FUORI ESSENDO COEFFICIENTE SCALARE SIA NULLO n per La Dimostrazione = xi - EX. UK, Uis = k =1 LINCARIZE RisaneSolo ↓ k = i E xi- x . Lur , Mil - k=1 - Si = Seeki (Deeener OQUI DIROSTRIAMO Che IL Vel Re Rosso Ortonorrale A Tutte Le SUA COMBINAZIONI INC = Xi - Xi . 1 = 0-Ri OK Per De di Ortonortale X -Bn(x) YEV. (x - Rn(x) , y> (x - Pn(x), dini = Ove-V ↓ N y =Edini Lineariza A =0 (ix-Pn(x) , ui) = 0 i =1 =0,vepi (1) 3 Provo la proprietà minimizzante. -> prendo e voglio provare: Questo è equivalente a provare: Ma: Sono ortogonali (Per quando derivato in (2) essendo: LEMMA: identità fondamentale della proiezione ortogonale. Sia X e sia fissato. Sia infine un insieme ortonormale in X. Allora: Dim) Per finire provo che: Ma infatti: Chiesta dim e enunciato NB. Per applicare Pitagora devo vedere se i vettori sono ortogonali tra loro. y ->T ((x -y(), 11x -In(x) ((x -y(23 11x -Rn(x)112 11 x -y()2 = 11x - In(x) + Bn(x) -y /12 = * - ⑧ = INFAtti : · Pn(x) & Pn(x) -y =T v 0 Pn(x) -y - - EV EU POR per iPotesi DOE . INIZIALE PITAGORA In(x-yet ↓ ⑦ 11x - Pn(x)(2 +11Pn(x) - y(l) = 11x -Pn(x)IR Wa - O UN SPS => =>↑ xET Su1, ...., unl -> => => -- 11x(12 = 11x -Bn(x)/12 + xi EFF. Di Fourier Ove xi = <X , uise Pn(x) = 2 Xi . ui i = 1 11 x (12 =1= n(x) + Pn(x)/1 - vedi (2) ↳E Poich P(x) Una Neva DiMOSTRAZIONE COMBINAZIONE DI41.... Un PRECEDELCO ↓ X-P(X) Ortogonale A OGNI elemento di V. PIAGORA ⑦ 11x - Pn(x)()2 + 118n(x)/12 /Ifn(x)12 = Xi . (1Pn(x)(1 = 11 xiui (1 = 1x 1 . 41 + ... + xnun/ = SONO A2 A 2 ORTOGONALI Perche 41 ... un lo 30 No PITAGORA Generalizzato 11 x14 e + ... + xnUn12 OmOGELEA ↳ ((x1) well) ... (in).un) 1 (essendo un 1 SISTEMA ORTONORALES = (x1+ .... + (xn= x22 + .... + xn2 Cud Corollario) Disuguaglianza di Bessel Nelle disuguaglianze precedenti vale: Dim) Dalla disuguaglianza fondamentale della proiezione: Problema) vorrei Esempio) in prendo 4 vettori ortonormali: Da qui non consideriamo gli spazi sps di dimensione finita che si riducono ad (per qualche n) -> qua il problema è banale: se sono la base canonica: Le allora: Quindi: e tutto è banale. I xe Love Xi = X , 4i >, Xi=1 ...n) 11 x (1 2 =1n(x)( + xi 2 xi2 and i =1 , A +oo Pn(x) Ex XxE] R . U3 XERK P2X · · B3(x) U1 U2 R4 · U3 V2= SPAN/Un,424 ↑ UK 1 = SPAN quel ↳ 1DISTANZ: X-P1(X) 2distanza : -P2(X) 30 diSTANZA : x - x - Coincidono ↓ NOLLA Rh U1 ......, Un (1 , 0 , ..., 0) (0 , 1 , 0 , ..., ) , ..., (0...., 0 , 1 x = (x1 ....., xn)ERN < X , kit = x , (0, ..., 1 ...., 0)) = Xi ↓ - Posizione PRODOTTO i-esisa S erA so S -NAE-RD Pf(x) = x 1 . 41 = (x1 , 0 , ..., 0 22(x) = x1. 41 + x2. uz = (x1 , x 2 , 0 , ...., 0 R3(x) = (x1 , x 2, x3 , 0 , ..., 0 (x) = x 24x + ... + XnUn = (x1 ....., xn) Ossia ossia x coincide con la sua serie di Fourier. Infine vale l’identità di Parseval: Cenno di dimostrazione) Dalla identità fondamentale: Si completa come se fossero quasi in Mandando segue: Ergo vale l’identità di Parseval se e solo se: Ossia Ossia: Riassumendo) se provo quest’ultimo fatto ne segue la identità di Perceval. Quindi dimostro Sfruttando il fatto che è completo e sfruttando la disuguaglianza di Bessel si può dimostrare (ma noi non lo faremo) che -> Quindi ancora non so che vale x, ma so solo che esiste. x ==0X e 11 x /12= zo X 11 x/ = 11x-In(x)/1 + XR EN · X x - PnLX) PnLX) Rn n + +001(x))2 =l0x - Pn(x))) + XR2 Identita di Perteval tur +o x -Pn(x))) = 0 em 11x-Pn(x) = 0 n- +00- DISTANZA Pn(x) DAX x =lu n +o In (x) El - x = luPn(x) xEx n- +oo & x x 7 Pn(x) in F . h- +00 Xk . UK k=1 -> il non avere buchi mi dimostra che esiste il limite Ora dimostro la totalità di per dimostrare che Voglio provare che essendo totale mi basta provare: E provo quest’ultima: fisso ESEMPIO IMPORTANTE. è un sps di Hilbert (difficile da provare) con Si può infine dimostrare che: ProeZiONINei- 1 xun Diversi sparu x= 1SPAN-SPAN 43 SPANU1 E x = XR . Ur . x -0XRUE - us , Unt = 0 ne ↓ Lessere Una farIGLIA TOTALE FASI CHE L'UNICO Vettore theVerifica Cio E IL vettore NullO ENG +OO LINCARIZA X- XUR ,UnE k=1 FACILE = unxum , unt ↳ "Lineariza" =xn PER LINEARITE PORTO in senso esteso ↓ FUORI = xn- X. Ur , Unz =O n= 1 - 2 ORCONORMALE - 521xkEnen = xn-X1 = 0 Come LOVE Converge ↓ -= = (2(5-a ,]) = 25 : I- A , A] -R)F(Ec + +00) A < f , q) = / F(xg(t)d . JERGO I==VIC( - I POSSO CALColare A Distanza PUNtuale Tra Le CURVE IIII .I ( (((()) , - Per N Questa Quela Che LOGlio ! fNI ↑ PREUDO IIII , FACCIO ILQUADRATO - - N ↑ E Integro iltutto (ZIPO MEDIA INTEGRALE) - -- => Ilf-l = (F(-() d elegata all'area (non alle distanza III ↳ QUINDI QUIX MISURARE LE DISTANTE NON USO IL CONCETO DI PUNTUALE è ortonormale (facile) e totale (difficile). Dunque dal teorema di Fisher-Rietz segue che Questa si rivela essere una serie di Fourier definita in un precedente teorema “puntuale”. Infatti: Analogamente Dunque il teorema di Fisher-Rietz: Che è la stessa serie del teorema di “sviluppabilitá in serie trigonometrica” Questa è una identità in Per arrivare allo sviluppo puntuale c’è molto lavoro da fare e vengono fuori (che coincide con Ove è continua) US U3 I I L , F(t) := [ cost such , run cos (n. e r VARIARE A dieNtY FELI-A,] VALE : f= F , URL.UR In LA,] = , , u utf, cost c + F, sucht)> .Seuht) + <f, coscnt) >.ton · .= Lo Chiaraoco do IPRIMO TERRINE Serie Fourier =f . uat) . = F(zeu(ntdt lte bn ⑩ = an . Cos() . f(t) = +beteut + d1 cost + ... + bnbu(nt) + anCoSCnt) + .... = = (ancos(net + baseu (n+) 22 I- A , A] . f(++) + f(++ f(t) f 2 Secondo membro) Devo trovare la norma quadra ? Sostituisco con la funzione di prima Da cui: ESERCIZIO (dove la funzione non è è pari o dispari) 1) Trovare la serie trigonometrica di: 2) Trovare S(t) la somma della serie 3) Che identità viene ponendo (nella somma della serie)? Si nota visibilmente che è a salti (ricordiamo la def di C1 a salti: funzione che tranne un numero finito di punti compreso nello stesso periodo (in questo caso -pi e pi) si configura come una funzione deriva bile tranne negli estremi. La derivata prima deve avere i limiti finiti, così come anche la funzione stessa). Quindi si può applicare il teoria di sviluppabilita in serie di Fourier. PUNTO 2) tale teorema garantisce che la sua somma deve fare la media dei limiti unilaterali e questo vale in tutti i punti: Conviene disegnare più pezzi anche se la periodicità è compresa fra 2pi 02 + (02 = 4.I IIf112 (If = <f , f) = Dove f(t) =+ = f (t)dt = -A = + +at = []*Fo - A =(A - (--3))= A 2= = E se - [-5 ,O] PROUNGATA PERf) = te]o, periodicit t = A f Ca Per f(t) - ↑ ↑ ·i · ⑳ · ⑳ t -A In tutti questi punti è continua e quindi anche nello zero è continua il pigreco ed è un punto di discontinuità Nei punti di discontinuità devo fare la media dei limiti unilaterali In vista di (3) si noti la somma della serie calcolata in pigreco: La somma è: PUNTO 1) (f non è né pari ne dispari) Divido l’ integrale -> Prendo un periodo, ma tanto si ripropone per tutti i punti per periodicità Integro per parti: 1) Trovo a0 2) Trovo an S(t)= f(+ +) + f(+ E Se F E CONTINUA IN EFLE) line destro ↑ =0 LimiteSInised 2 F E DISCONTINUA int=H +FLE) 2 x+ F- A , Al S(t) - ⑳ A12 · · ⑳ ↑ ⑳ ↑ ⑳ ↑ A -A - x t= -A S(t) = S O x -Ac+ 10 * + xOct CA x + =A O s(A)= Definizione Di do = taf = ( Xn21an= F(t) . Cos(n . t)at = = 0 . cos(tat ++.cost- f'(t) = 1 O f(t) g'(t) I f(t) = He(n. Dunque la serie di Fourier è: Allora: 3) Trovo bn Integro per parti: Posso metterci il valore assoluto: PUNTO 3) Prendendo t= = = [ on- O n I O J == . [coscht] * O 1 = [COSCA) - COS(01] = =-2) - 1 S(t) = do = m= nn2 Xn22 bn= f(e)seu(nt) - = / .untateucht- f'(t) =1g(t)= - 3S(nt) f(t) g'(t) I N = (+J = =Scott: (ancos(ht) +brite(nt) = = 1 . cos(nt) + 1 . xu (nt) = Converge MOLO In Freu QUI HO UNAa - A Questa CON11 NON PARTE CHE 1 ... 1 En Converga Oscilla Converge lentamenta 2 Per MIRACOLO S()= -1 .Coscheu(le