Prodotto Cartesiano di Insiemi e Rappresentazione su Piano e Spazio Cartesiano, Schemi e mappe concettuali di Matematica

Scarica Prodotto Cartesiano di Insiemi e Rappresentazione su Piano e Spazio Cartesiano e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity! I-4 R2 ED R3 – PIANO E SPAZIO CARTESIANI 1 PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI 1 I-4 R2 ed R3 – Piano e spazio cartesiani Indice 1 Prodotto cartesiano di due insiemi 1 2 Rappresentazione di R2 sul piano cartesiano 2 3 Sottoinsiemi di R2 e regioni del piano cartesiano 2 4 R3 e sua rappresentazione nello spazio cartesiano 5 5 Soluzioni degli esercizi 6 1 Prodotto cartesiano di due insiemi Dati due insiemi A e B, definiamo prodotto cartesiano di A e B, e lo indichiamo con A×B, l’insieme di tutte le coppie ordinate del tipo (a, b), dove a ∈ A e b ∈ B. Formalmente A×B = { (a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B } . 1 Si faccia attenzione che le coppie sono ordinate, quindi l’ordine in cui considero gli elementi è rilevante. Gli elementi che costituiscono la coppia si dicono le componenti della coppia. Vediamo qualche esempio. • Siano A = {a, b, c} e B = {1, 2}. Allora A×B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } . A ribadire che l’ordine è importante, si noti che ad esempio (a, 2) appartiene ad A×B, ma (2, a) no. • Siano C = {a, b, c, d, e, f, g, h} e R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Allora C ×R = { (a, 1), (a, 2), . . . , (h, 7), (h, 8) } . Se pensiamo che C voglia dire colonna e R voglia dire riga, vedi rap- presentazione a fianco, le coppie dell’insieme C ×R costituiscono il modo che si usa nel gioco degli scacchi per identificare la posizione di un pezzo sulla scacchiera. Ad esempio il re bianco si trova all’ini- zio della partita in posizione (e, 1), gli alfieri neri in posizione (c, 8) e (f, 8) e i pedoni neri in posizione (x, 7), con x ∈ C. 8rmblkans 7opopopop 60Z0Z0Z0Z 5Z0Z0Z0Z0 40Z0Z0Z0Z 3Z0Z0Z0Z0 2POPOPOPO 1SNAQJBMR a b c d e f g h • Z × Z è chiaramente il prodotto cartesiano di Z per se stesso. Si tratta di tutte le (infinite) coppie ordinate a componenti intere. • Un fondamentale esempio di prodotto cartesiano è R×R, che si indica anche con R2, cioè l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali. 1La notazione (a, b) è purtroppo la stessa che si usa per indicare un intervallo di R. Risulta in genere chiaro dal contesto se si sta parlando di intervalli o di coppie ordinate. A. Peretti – Corso di Matematica 2021/22 UNIVR – Sede di Vicenza I-4 R2 ED R3 – PIANO E SPAZIO CARTESIANI 3 SOTTOINSIEMI DI R2 E REGIONI DEL PIANO CARTESIANO 2 2 Rappresentazione di R2 sul piano cartesiano R 0 1 r x y 1 1 a A b B (a, b) R2 Così come R può essere rappresentato sulla retta cartesiana, analogamente possiamo rappresentare R2 sul piano, detto piano cartesiano. In un piano geometrico consideriamo due rette cartesiane ortogonali.2 Rappresentiamo l’elemento (0, 0) con il punto di intersezione delle due rette, che chiameremo origine del sistema cartesiano. Rappresentiamo poi i due elementi (1, 0) e (0, 1) con i due punti unità sulle due rette.3 La corrispondenza tra gli elementi di R2 e i punti del piano (e viceversa) è ora immediata. Per rappresentare una coppia (a, b) basta rappresentare a sull’asse delle x (punto A nella figura), b sull’asse delle y (punto B), tracciare la perpendicolare all’asse delle x passante per A e la perpendicolare all’asse delle y passante per B; l’intersezione delle due perpendicolari è il punto che rappresenta la coppia (a, b). Viceversa, dato un punto del piano, tracciando le perpendicolari ai due assi troviamo due punti (A sull’asse x e B sull’asse y), determiniamo i numeri reali che tali punti rappresentano sulle due rette cartesiane (siano rispettivamente a e b) e abbiamo la coppia (a, b) che corrisponde al punto da cui siamo partiti. Abbiamo così definito una corrispondenza biunivoca (ad ogni elemento di R2 corrisponde un punto del piano e viceversa) tra gli elementi di R2 e i punti del piano cartesiano. Capiterà a volte di identificare gli elementi di R2 con le relative rappresentazioni. 3 Sottoinsiemi di R2 e regioni del piano cartesiano Ovviamente i sottoinsiemi di R2 possono avere una loro rappresentazione sul piano cartesiano. Vediamo alcuni casi semplici e significativi. Consideriamo il sottoinsieme di R2 definito da Y = { (x, y) ∈ R2 : x = 0 } . La sua rappresentazione consiste dei punti di ascissa zero: sono tutti i punti dell’asse y (per questo l’insieme si chiama Y ). In modo analogo l’insieme X = { (x, y) ∈ R2 : y = 0 } viene rappresentato dall’asse x. x y X Y x y a Ya b Xb L’insieme Ya = { (x, y) ∈ R2 : x = a } viene rappresentato dalla retta parallela all’asse y e passante per il punto (a, 0). Al variare di a si ottengono tutte le rette verticali. L’insieme Xb = { (x, y) ∈ R2 : y = b } è rappresentato da una retta parallela all’asse x (quindi orizzontale) e passante per il punto (0, b). 2Si tratta di due rette perpendicolari, cioè che intersecandosi formano nel piano quattro angoli retti. 3Come noto si è soliti servirsi di una retta orizzontale, chiamata asse delle ascisse e di una retta verticale, chiamata asse delle ordinate. L’elemento (1, 0) viene rappresentato sull’asse delle ascisse, mentre (0, 1) sull’asse delle ordinate. Chiameremo spesso, come di consueto, asse delle x l’asse delle ascisse e asse delle y l’asse delle ordinate. A. Peretti – Corso di Matematica 2021/22 UNIVR – Sede di Vicenza I-4 R2 ED R3 – PIANO E SPAZIO CARTESIANI 4 R3 E SUA RAPPRESENTAZIONE NELLO SPAZIO CARTESIANO 5 Esercizio 3.2 Si descriva il sottoinsieme A di R2 definito da A = { (x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ y < 1 } . Lo si esprima poi attraverso un prodotto cartesiano. Esercizio 3.3 Si descriva il sottoinsieme A di R2 definito dal prodotto cartesiano A = (−∞, 1]× (0,+∞). Esercizio 3.4 Si descriva il sottoinsieme A di R2 definito dall’intersezione dei due insiemi A1 = (−∞, 0]× [−1,+∞) e A2 = [0,+∞)× (−∞, 1]. Esercizio 3.5 Si descriva il sottoinsieme A di R2 definito dall’unione dei due insiemi A1 = (−∞, 0]× [0,+∞) e A2 = [−1,+∞)× (−∞, 1]. L’insieme A si può scrivere attraverso un prodotto cartesiano? 4 R3 e sua rappresentazione nello spazio cartesiano La definizione di prodotto cartesiano di due insiemi si può facilmente estendere al prodotto cartesiano di un numero qualunque di insiemi. Quindi, se A, B e C sono tre insiemi, si definisce prodotto cartesiano di A, B e C, e si indica con A×B × C, l’insieme di tutte le terne ordinate del tipo (a, b, c), dove a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C. Formalmente A×B × C = { (a, b, c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } . In tutta generalità, se A1, A2, . . . , An sono n insiemi, si definisce prodotto cartesiano di A1, A2, . . . , An, e si indica con A1×A2×. . .×An, l’insieme di tutte le n-uple ordinate del tipo (a1, a2, . . . , an), dove a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An. Formalmente A1 ×A2 × . . .×An = { (a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An } . Un esempio di prodotto cartesiano di tre insiemi è ovviamente R × R × R = R3, l’insieme delle terne ordinate di numeri reali. Non è difficile intuire che R3 si può rappresentare nello spazio cartesiano. Non ripeto la costruzione della corri- spondenza biunivoca che associa ad ogni elemento di R3 un punto dello spazio e viceversa, dato che è del tutto analoga a quella vista per R2. Nello spazio cartesiano si hanno tre rette ortogonali che si incontrano in un pun- to, detto anche qui origine del sistema cartesiano (che rappresenta la terna (0, 0, 0)). Gli assi sono generalmente indicati con le lettere x, y, z (o talvolta x1, x2, x3). La raffigurazione del sistema cartesiano nello spazio e la disposizione degli assi sono quelli che si vedono nella figura qui a fianco. z y x Vediamo brevemente qualche sottoinsieme di R3. • L’insieme A = { (x, y, z) ∈ R3 : x = 0 } è rappresentato nello spazio cartesiano dal piano che contiene gli assi y e z (sinteticamente il piano y, z). • L’insieme B = { (x, y, z) ∈ R3 : y = b } è rappresentato nello spazio cartesiano dal piano, parallelo al piano x, z, e che passa per il punto (0, b, 0). A. Peretti – Corso di Matematica 2021/22 UNIVR – Sede di Vicenza I-4 R2 ED R3 – PIANO E SPAZIO CARTESIANI 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6 • L’insieme C = { (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0 } è rappresentato dal semispazio delle z non negative, cioè il semispazio che sta al di sopra del piano x, y, que- st’ultimo compreso. Naturalmente la disuguaglianza z > 0 definirebbe lo stesso semispazio, ma privo del piano x, y (cioè senza il bordo). • Se vogliamo indicare l’asse z dobbiamo scrivere l’insieme{ (x, y, z) ∈ R3 : x = 0 ∧ y = 0 } = { (0, 0, z) : z ∈ R } (cioè l’insieme dei punti in cui x e y sono nulli e z è un qualunque numero reale). Si possono poi definire facilmente gli intervalli in R3, come prodotti cartesiani di tre intervalli di R. 5 Soluzioni degli esercizi Esercizio 3.1 Si tratta di un semipiano: la parte di piano che sta alla sinistra della retta di equazione x = −1, bordo escluso. L’espressione attraverso un prodotto cartesiano è A = (−∞,−1)× R. Esercizio 3.2 Ricordo che la scrittura −1 ≤ x ≤ 1 ∧ y < 1 significa −1 ≤ x ≤ 1 e nello stesso tempo y < 1. Si tratta quindi della parte di piano che sta alla destra della retta di equazione x = −1, alla sinistra della retta di equazione x = 1 e al di sotto della retta di equazione y = 1. Il bordo è solo in parte compreso (bordo laterale compreso, bordo superiore no). L’espressione attraverso un prodotto cartesiano è A = [−1, 1]× (−∞, 1). Esercizio 3.3 Si tratta della parte di piano che sta alla sinistra della retta di equazione x = 1 e al di sopra della retta di equazione y = 0. Per quanto riguarda il bordo, quello laterale fa parte dell’insieme A, quello inferiore no. Esercizio 3.4 Si tratta di un segmento: quello di estremi (0,−1) e (0, 1). Esercizio 3.5 Ci sono vari modi per descrivere A. Uno è il seguente: A è dato dai punti del piano che non appartengono né all’insieme (0,+∞)× (1,+∞) né all’insieme (−∞,−1)× (−∞, 0) (fare attenzione alle parentesi: qui devono essere tutte tonde). L’insieme A non si può scrivere con un prodotto cartesiano dato che A non è un intervallo. Si osservi quindi che l’unione di due intervalli non è necessariamente un intervallo (è così sia in R sia in R2). Lo studente rifletta ora sui seguenti quesiti e arrivi da solo a dare le risposte: • l’unione di due intervalli di R2 può essere un intervallo? Si costruiscano situazioni in cui questo accade; • quando l’unione di due intervalli di R è un intervallo? Si distinguano condizioni sufficienti e condizioni necessarie. • quanto trovato in risposta alla seconda domanda vale anche in R2? A. Peretti – Corso di Matematica 2021/22 UNIVR – Sede di Vicenza