Probabilità e Inferenza - Appunti completi Statistica prof. Elena Stanghellini, Schemi e mappe concettuali di Statistica

Scarica Probabilità e Inferenza - Appunti completi Statistica prof. Elena Stanghellini e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Statistica solo su Docsity! Videl Bizità” Imtzo du ziome a0 | probabi@ita - fapolriome (VW) — Gampiome (m), mumerozita” ch puovterma > dle evidembe dl campione voglio avre info nue''mfero popoaviome Campiome roppzezembabio. > studiate e0emembi di probabilita: Llegnemb | di po babi Gta” «| EsPeRIMEWTO (CASUALE (i peh'bile Laibibdalà ProvA ‘Esperu imem lo carsale : Appezirmemle 10 ei ik mom puo” essere previsto com cenlezza. Ls: lamus memela, wtraziome carte, lanuo dadi. - Caraleziohche . ESPERIMENTI RIPETIBILI | mePe stone comdizigmi + ESITO WON PREVEDIBILE, ma porro emulare ; possibili zbulta' (co. tenta 0 croce) mega mimusasta Evento e&@mentae è (w) — possibife sidultalo & uno prova è arperimmembo comale Sperio degli cvembi 5. (omega miudiota — imma | di fut i cisultati! possibi?! Evento A £ S > dm possibile Lolfoimvieme di S e se € puo amche S corimudere com S A Ss . Prova: Gmaa di ama mometa a: {T,0} E seu Pio. . Prova: mus di 2 momok Alea) (0 i Prova: lamus di 3 imomele Dn = {(rr, T), TO, (rielmi lt lele) (cITT (cre), (cer) (660)} imsieme. diserelo di mumezi che possibi bite l aintibae. Al esce tt 2 lat fa" «| _ ETTI] tb, elmi +ecl} BD “ee T 2 of" = {TTC,TCT,CTT} + Prova: si misuza | la durata di uma fompadima sn cre da fe os sXET} © cosriovo massime tearico ©: "durota memo peri a (400 ne" fx: tod «x ©] soi ltimsierne dell'asse rente Riclaui DI IWSIERISTICA .Iusieue muoevenrare — A= fw: Wa AI ol Grmega elle Mom oppatheme ad A HA DS . Tusieue viowe — AV B = {w: Wells w éBÎ e + zove + An 8 = fw: weA vwé 8] . Lusieue DI wrerse B 6 4. Ogmi noltermaieme d' o e um evemto 2. Negazione o evento comfrauo (A): l'eemfo che » verfita de A mom pi vere fica) 3. Umiome d' due evemb: evento che si verifica de almeno ume fra 428 2 vecifico. (Au B) 3. Tutezserniome di due eum: evemfe che si lia de 2 vouticamo dal A che B(ANB PRoprIETA*: (Au8)n (Anc)= A v(Bac) (AnB) u (Anc) = An (600) he 038 (AUB) a (An8) (AnB)u (An8) Av(8n8) = Aud =A An (808): Ana sa n Possiamo notare l’analogia fra questa espressione e la nozione di distribuzione condizio- nata nell’ambito di una tabella doppia della parte di statistica descrittiva. Intuitivamente, è come se in una tabella doppia conoscendo le distribuzioni condizionate della variabile che definisce le righe, volessimo ricavare le distribuzioni condizionate della variabile che definisce le colonne. La formula sopra ci serve per effettuare questo tipo di operazione. Probabilità congiunte Probabilità condizionate di B dato A B B Totali B B Totali A P(ANB) P(ANB) P(A) P(B| A)= P(B |A) 1 A P(AnB) P(AnB) P(A) P(B|A)= 2632 P(B|A)= PAS 1 Totali P(B) P(B) 1 Se volessimo la probabilità condizionata P(A | B), o anche P(A | B), dovremmo dividere le probabilità della prima colonna della tabella di destra per il relativo totale, ovvero P(B). Ovvero: Probabilità condizionate di A dato B B B _ P(ANB) Si - PI A P(A|B)= GR P(A| B)= FORD 7 _ P(ANB) _ P(ANB) A P(A | B)= P(B) P(A | B) — PE) Totali 1 1 Ei viediri INDIRENDEATI Dy41} Si dice Re Ae B domo 2 evombr adipemdemti ne P(BIA) = P(8) Def.2. Se Ae B soma 2 eventi llWbipewdenti 92 P(AnB)= P(A)-P(B) de due defimiviomi zi smplicama a vicemda: P(BIA) : - } 0 —- Cioe implica che omehe iL vicevereda. e vers]: P(A1B) = P(A) Loempio: Mms di 3 momete A: ere Tal 1° Mama PA) = Va P(6) = #8 P(An B) = 14 B: ee T 2 volte P(BIA). 4.4 z 3 .- P(8) dla 2 % A e B mom some «mdipemdembt pezche* P(BIA) 7 P(B) Lrempio : A: rece Tal 1° lamas P(B) = 2/8 = 4/4 PA) = Yz B: ene C 00 2° 3° Qmua > {Tcc, ced} (An8) = Tec - 1/3 P(BIA) = #8, 2-4. P(8) 42 3 4 A e B como umdipemdembi peeche* P(BIA) = P(B) ÉZ venti | WCompaTIBICI Due eventi ri epcMudima a vicemda \auers 59 ms MeompaTIBILI de ie veni ficacai dl dmo implica Re l'altre mom de e veri finto. Aa8B=$ Trorema! d' Bayes — P A= evento ci Ge PI, ..., PC.) P(AIC.) ..., P(AIC) > P(CIA) Dime stro ome : sbabilita «Re um evento abbia uma cara rultosto che um'alita (comoxemde & pzobebilita” delle cause) P(ANC:) P(c) P(AIC) È P(Gj) P(A16;) À EP(anc3) > P(A) st P(ANC) c E PETER P(C)-P(AIC P (CIA) = HPA H+ A P()- P(Alc) + P() P(4|€) *—____——___—_' Re ___._TY P(AnC) + | P(An CT) \S(0p®, Loempio As Bent diventato imroli bi” Feobobilità a PRIARI : Cis l'padito. dl Was" P(C.) = o P(C2) = 9,05 P(Cs)= 92 PG) = 0,65 Ca 3 "ire peribilie fa" P(ALCI) »l 08 |> n cauea deli pndifa del Graie > abit le P(AIC:) = 4 A = Spere impreniste A Eialcn î de C, i ‘pbza > Pesbabiltà al PosrerioRI è aspemdo che A si Caf ala P(C.IA) - 19,1 -0,8 - 0,358 01. 0,8.+0,054 0,2-0,S PIA) * 0.247 PCGIA) = a, 435 P(GIA) = a LA z PCGIA) = 4 Variagici (Casuaci & AcEATdRIE Der; |S defimioce vattabile conta o aleotorin X | uma fenvione definita ms spazio degl de lUtk de cea ad Ogni ef&mente w ld 1° um murmmero (rele XK(W)= x. Si indica com_X & faumeiome 0.0 vito com ui x css %4a ad um ele membe di n um mhmero zeale. Si imdica com. x um portico Bce wlre apumbo dalla Pumerome X. Kax(w) Da) > COR) os] + x REALI TEAUONE Lrompo: con@ IScRETA, 7 IR “m' de T mer 13 fame” | Amo 3 monete {(T;, Te, Ta), CT, Ca, Ta), (T.,, Th, Cs), (T., (5,6), (C,T,T2), ((,G,T3) (CT ,C3)) (0,G., ()} X = vewabif casual x. =. possibile valore dea vaabie conual Probabilita che X avume ie valne » {0 20 | x. — Fovzione dI Pedd=4 > Lo 3 p(X4%) =d Î box: x) p(X 3 e) ba BILITÀ” Loemopi ©: mel fmi di 3 mamele Distebverdve di [PROBABILITA sm cat vi comadena. O m' di T: x | £60) | eventi AL nescorn de o | 41/8 | cce m° di pio 41 3/8 | Teo, cre, cer Handle e psn 2| 88 |rTe TT, TT emta relativa 3 | 4/8 TIT 4 geo = P(X=0) = 4/8 Elaegrazoni di | dustetbizioni disorck pis iii ct . TRASFORMAZIONE LWEARE DI purpcial gle ax +6 Rappresenta l'arde'me de ninna del | femsememo e = Ax +b Loppresemtalo da &a owiodb: do 73 o : ‘TH 5 ]aj-GK . Mariana = = VG) = i Ga) = lal ox det de) per evitare & cOmpemattiome «Py Le Elda mem. megativa (ed e mula he le velo 2 X assume um dmico volare com pzobabilita 4 IL suo vole e' Aeg rzamde quam maggiore e la dispersi ome der valbai di Si altame aQa meda Lbeviazione Tammaro = € = E Esempio: peotoli di tambi perte x = mumero de pere difettosi ‘n 5. ehationi X = Bw (5; 091) XK 3 {0,12 3/4,5Ì ? mumero povibili & pesa difello de = p(xso)= _£' 901° 0,88 = 0,951 —> 0 45% de: per mom fa aleum dfelto fo = p(x 1) = 5! go. 0,88 - 0,048 > un 5 estrazioni ha probabilita di poxazne 1140! +1 defelero € del 4,81 2 3 a) p(x 32) 5! 991 0,38 - 0,001 —> in 5 estrazioni ln protobibita di forare do + P 213% 4 dfellori € debe 0,001 fr E(*) > 5:00, = 005 —> mumero Gallen di persi difellvi Va) = 5- 0,01: 0,983 0064355 —— varia bibita urpelto al valre attero . DisthiBuzione. VaForue X a {4,z,._ n] com _X uniforme He geo: + Wx nm Lx fe = 4(41203040814)» £ 4 23 4) 5 6 Si dimestta he il valle altere di x > \E (x) = m+4 e V(x)- n° -a 2 2 Esempio : lamas d' um dado equilibrato Legame ha, BwamaLe è Berwoveli a'Se mei > A vavsibilita» comuale del binomiale caimade com Dermou 04 e Se mez DA vavabilh» coouile che comf E mumero di ruccemi sn 4 operimenti comorcutivi di bipe Bermouliame o Poem A vavabil coouale che conta 4? mumero di accemi in m esperimenti qualsiasi comorcativi di tipo Bermoulliame I mumene di sequemze de 06/1 com 04 otra totale sempe ù 0: soce x {0,4} Sid: testa p(x-1)=0,5 a la cmometa <° equilibeata p(x=1)= 0,7 a la imometa mom. è eqarGibrata Se feco 2 lame: na {(0,0), (4,0) (0,4), (4,4)} > vorsiabi? coruale yi Va comta il mumeza di niccenni {oJalz}blal al defle Led dui lib) & tetta p(y so) = (1-p) p(y=2): pps p° I p(4=1) = (4-p)pt -p)p 3 2 (p'(4-P)) tom 2 folte bimormia®e 21 x Dim AA Er  Se Ae ® semo indipemdemti P(ANB) = P(A) P(8) domdo di uma mometa. > PT) = P P(E) = 4-p p(7,7)=p(MaT): pipe 2 Cortiuziome vortabile bimomi ole Xe la vorwabi& che comta le pi(T.C) = pt, n Ca) = p C1-P) 34 tote um 2 fama amdipemdemti p(C.T) = p (CAT) = (4-p)p3d pile.) 5 pla Ca) = (4-P)(A-p) + lo x Be (4-p) piro zi pia ep) FICHE aL (4-p)p > 2p.(4-p) p(*52): 2! L z| af > mi 3 Bma' consecutivi — 3 tertime (T TL) T), (T,€,T) lele) n P pi-) | (49)? nin gercvale, Bornalli fe emere visla come (A veruabile camale Ae comta 1 mumeo Am (MM ripeliami di un topezcimenta Bormoufiamo di prtometzo (pè Xx Bim (3, p) ® (04,4) > apfo come 4 Testa e 0 Goce compize 4 mumera. di succomi e cnche 2 30mma X = semma di m petizioni di uma vorobi@e h' Beznoul4 L (1,p) MS. XA A 4_190.,, 0,00 lild 00 0,0,1,0,0 2,9,9, 1,9 090,094 (x>4)= p(X5)i p(Kez)i + p(Xim) 5 d4- px) cleat: P il P 4- feobabitha dele” eno Sprto Misrblavzione [di Phrssbal (DX F| Pois A) da Foo: a° e om d> 0 Xx {0,4,2,...,+0} x! a Grand ette |coraltovs hehe 2 Vacore atteso = Ecm. = A Vagina = 0 = Veg = A L * Tx dle” Senaro Lelio = 0= Joi x! Xy Pois (2) di Peivem tz0va oppliaziome Fo amis i? femormeme alestoue Fio Late tomziste me@ comtare & 4 nel utomvemee de um evemla 5 I conuole Um um dato imferva ll I | È im | FC) = N di tempo © d spanie To 12364 x Toi a Gombiamemte del Ly mediana > p3=0,5 ll cambiate di°A 52 im questo coò Labor bi Xi mumero di Ben Be contattano um cal cemfin im um'ora X + Pois (5). -> im media di «opelamo 5 ‘(chiamate d'a @ —& Fo) = p(xs0) = 5 el. 90067 iui p0 44) a lello on de p($=3) = elet zlolatei «! Se chiede p(x>3) = 4 - (0,0067 +90337+ 90842) degome heal Paison le | Bimoamiale lim n! _ p (CET AMI RA el com A5 mp > volae altero della xi! moto x (0-*)! imemiale Apptossi amuiome aceguala. he M > 500 |, m molto gramde P Aneempio X + Bim (490, 0,15) À = 400: 0,18 45 4 > 500 P mp TT do = 45 e: 0,0000 Al 115 so dio) = 45% e°- 0,0ss6. P(X=10). doo! p(4-p)". mM; 500, 400, 500 40! 40! 90! P 0,15 Qunari ei VARIABILI COUTIWLE. STAUDARDIEZATE rome di viporbaome Fx) Gagaidezine smo. variabile conte pelioda. le cm ni / ef: + defimixe quamb& d Bvelo p quel valore di x indicato com x tale cui Pa pro bobuli tac de X aa Ss de xp league e P P PT > xp è P(Xsxp)= P > pis Quello dl quamtile Fa) F(xp) = p Xp pa ACMIITZA und peo bobi& fa i Sa peu a p K aeempi . Se p=0,5 > Xp 3 meckamo . Se pei > Xp 3 3° deu& L Quantile dii Quello pi3_0,8 xx U(-5,5) F(*) =0,8) —> x=08 Inverso dePa Pmtiome di vporlivione VARIABILI Casvati |STAUDARDIZZATE Dati X./,0,,9. Cituiod int botichi& E [SN BE | POZE O a - 0) > dim. è? e XL. A com os dl e bal Sx OK 0% 0 Tx Valore! altro + E C3) + Pa Mx ox 0% : 4 044 —> dim. Vari (E) lata |A ot DE +07 = Vaziamza 3 7: Th Desio pere voriohi@; (corua& | camlimue 1 Disrriaveione (dl Gauss le | WORMALE VIA j z X (4,0) E a) Du, funzione di = go: A e dm xcR, pelk, eR demoita Jar f D € = - so “o e XK 6 + 0 E = A (puoverere ame megphivn) 034 00 LV(x) = o (aempre poritiva.) L amediama = meda EA 3 valore alive Grafico Propriera*: Leo 4. Simmetua imtoemo oPa media 2. Ha umiumie puote im wi G derivata peoma. si ammu = pamke di max cod CODA DX ; . ; i a. Ha due pumti di Am. AE AGO HI ART e comeava im (eo, pr) e coseno altzove 4.1 boom fo = Gm der =0 x - x +90 Osservazi 04): + Più' di 3i uvicima ap = moggiori scmmmo & probabilita «Piè « si a0Qomfama! doblo | media = mimoti sammmo probabilità Vatinwomi [dei pocarmett 40, SL Vail Mi Sh»a 0° Trascazione Sousa Ci LI Diverse A 7A, fr i | fe Vaziamia 4 umo misura del dispersione altame o. media Veriabile comale Marudee | STAUDARNIZEATA E i W(0,4) dl de: Al gd. IRR E(z) = 0 V(a)=4 è? Fumzione | di viporbiziome dl zl = Fin) è DC) da - P(Zse)- P(ZEca) Sf —+ Utilizzo tavola ET Ie È (0) 510,5 ded Lol |z|>84s }d94 PROPRIETA: de 1-de) Di Li pla den Pe) 4° da) o £ de) s 4 £ selmpi com utilizzo delli tavoli D(-349) = A, d (3.49) = 4-4 =© D(425) = Q994% d(5) “|a P(-425) = 4} d (425) = 4-9,8945 = 0,1056 D(-4) I ya p(astsb)= pla<t<b) = d (6) -d (a) Lisdenpi com utilizzo delli tavoli p(osts4,25)= p(o0<t<4,25) = Dese) i d (0) = 0,894 - 0,5 = 0,334 p(-425 860958) = p(-425<8<09588) = D (0,58) - De429) = 0,180 - 4 + 0,8944 = 06134 Fa) >o e pi?o N Risultato zar megaliro Edesbpil: XX 0) P 5005 —> xp=334 p.3 9,99 > Xp 5 23,2 2 XX (400) p=g,05->xp--17,33 % 100 ©2008 - 46653 #6,34 EEN Lrzzz=-% © -1645 =» 409 godi di Gbeeto pr0,99 > Xp "435,812. 400 + J200 2,326 = 432,88 Reblmio me! com A \distu butiome mozmmale lu gfenmde, = 30 = hi oppòmima.a A LA TONIO sE NWU (04) > xe ex) Vans T=4 = potamefzo 4 grade di porta eee lee VAI tza di Ges x: Lg + X) mn Distibaigole f - Student Tat(a) Te IRÈ ‘zii Sha sob Gt) T3 grade di Obertke £ (7) 50% vale nltaso: mediama 3 mode + ima g° ubi ama shimdaz o'arata — pensione densita com TEINÈ, telR e be cosravre V(T) = DE com \Z>2 T.3 100 0,4 zi=10 93 Quamdo te gronde &. T- studemt emomi glia o uma mormal | (0,1) 0,2 +4 aumenta t megggoto ra’ lalterào del pics e o! mimate (nota (falftrto dell code. ts3 tas ° + Simmanetia cllormo al& o 4 a ° 2 4 9,05 “Toss Toss Calculo dei quambli 4 Si trio sui e; mme ta quombili + A lo = ©. se t*0 ir egrande: Te) "assarmiglia” ad uma 4) (0,4) Graziana E T-shudemt NORM ALE A do dustabuzione T- student Rainae code + perali (signi a | ehe rfamme pro a quelle deMo motard - CONTROWTVITIVO) Arempio (di probobi lità le B.T(=) coruma vale al masione 91332 e del 0,30 LN Dara za simueraa b ti, = 4372 Se mi serve -1,372 fer la “apeicini dl quanti sro P_dcimmeibiia 4-0,90 = 9,40 A E(=) 0 = meda = imediama = pe 95 quanti .IT* b(40) . T* t20) p= 0,35 + te 34,812 p> 0,35 — ta =1,658 €p > 4,655 p=0,05 + la = -1842 p= 0,05 — la =-14658 | è» = -4,645 Relfiziale (cdm dite | didiatutibali 2% U Mrs bai bro bipebdedti | > TLV |A t(=) Vin X (x) \v/e % 0,95 A forta di valore crsoluto, +€ gpamb& mali | Gouodiama +7 piu piccol |» az3e + viimo a 0 E As0,05 VariagiLi cAsUAdI SOPPIE —> (x,4) Defializione e ulilàzo Soma voviobil: che oneuame od Sjgmi evento elemenfore. w 2 valsa! comu mtioma@mente imdib com x Wa dle vorriabili caduol, »' Imdkcame com X e Y 4 Ponome eroe d'oorete e mbe i (x.9) VaRiae ii (opPle | disckete S; defim: see Fumione d po bobilita omgiunta, la probobi Gi. del veu ficozzi omgiurle du Xx eV 2h d&9)= P(X=x, Y=y) DÈ Zog *4 > P(a) d(4)>0, Vag Asempio : lama di due momeli : -Q = {T, ET), Tc)ccÌ meme ta equi Ébroto “m. di votte «Re esce total" t4 . momehi com deverza fesa o, of]tememb " x 9 4 wW|plw)|x | 4 dos 0-4 Semena. = A TT 4/4. |.2 o o 1/4 o TOT TC 1/4 A A cr | 4/4 4 Pi x_lA o 2 J(0o) 34/2 cc 4/4 Q o 2 4/4 o JG9 = 0 4 Pro bobi ita imortgiima li Lazampio 3 da» - J(4) = PX 3) dog] 0.4 | Acginli o 1/4 o | PX) = % Ax 34 x la o Ya | P(*=1) = 4/2 er 395 False Di p(m4) = POL) 24/4 o |p(*=2)=4/4 Morgimdi | A/Z 41/2 A A? d-4/4 +4 4/2824/8 © 4 pey 3 04/2 + 4-42 = ala AA = Volo | im Melgi covospelio ameegima È Vaie bob ali doppie combp muel Le multiple COUTIWUE > oca xl che gum ame voli im um amlevalto. dell'ove IR Fumu gme [di densita comgiumfa de = 0 Vx,y +20 +20 Ss s S8.89) dx dg = ld > Volume Probabili bi (bi P(asX<b,,a,e Ye b.)= Ss Î L4) dx dy Elatidab di demaita anorgimoli Fd: Sfepd Sy (6).= SFC9) da Vircia bi& connal multipli (> xx, adi Mal Ww_ > (XX, Xn) n Ki Ka igm ATA Famuome! di pzobobi lite cemziumta CASO DISCRETO Fot rim)!= p_(Xar (Ka l, Kts lm) J(4Ka, vm) è O Wa x), LX.L Jura, vm) =1 *, ("a Km CASO COHTINUO J(4re, rm) è ol Vela cal St | SSIS fi, dx, dx... damn 34 it | vimregrote amalhplo m O Celmbla bachi Bimeovil di vantabili | casua@ Rendimento di azioni Sklmba ‘e Bomca imlera 100 = XK, 20 <a X,,Xa,,..:,%m dix) se; a V(ri) = 0. ‘com LIZ, n Y 3 QX, +, +... Og Km 3 Laixi Chll £(Y) © valbre alto = £ i pui V(Y) x aio; sleDl} tal a): c(X,X;) Lnempio: Xi le Xa 3 ‘rendimento di due tibo& queta” E(X.) 4 V(x.) = 2 4 (X.) = - 028 V(X)= 05 Ya 2% £(Y): 4:44 (-2)(-0,25) = 4,5 V(Y)= 24 2%0,5 -2.2:4:0,75 = 4 > 1400 X, +20, 3 porto foglio som = Y Media! Cadtproraria = (oso moterole! mportaaite : [mom più ofprofemd'anem ta Ga nm m Kad Dx: Daki comi oe. le 45 41,2,..,m m 43 994 m combi maiome. Umeote LX): 1 x com 454,2... V(K.): o Xe imdipem dembi Bata fx Piegoszome prece demfe: LG) Zac sd fc fa n VR) Loi e 3 wi oi: di mi m cl Tueorraamsado !! Legge cd gran di Imimetd [el [Hesegaha. ARS cemteale XK, Km pucceniome di variabili como du. d. dmdipemdemb e Val@.fa) A 4 demb tamente destubucte a com_4 34,2)... Perche" im motuto Vox (X.)= o apiote & dotubuzione H me RI Lublxi m ii al crescere di mme gromde erosione 2 Legge du gramd mme Linn p(lXnul®E)s0 Vere e squivbiate > Lim P(IXn:4lSE)+ VE>0 EVENTO EVENTO A prerumdene dala distubuniome dell@ Xi Aplibzone ‘ Xi | Bim (4,p) 4342), n > Bermoulli com. perametzo p £ (Ka) = p «_ [Mz = \ele (p) Xi a Be (p) Var (Km) + P(4-P) Va k Fe: e(A:P) +Vabre | alloo A apna È n ( ind ) P (08 4) Î + Pro babi ifa> (d' aueceno « Vaviamra. (Vi) = p (4-0) Applico fa Gage de gromoli: mam eni Frega emta telativa Lic p(IXm-wal$ E) 34 m upelizioni de succesi x- 00 041414 009011141 —- mm € piccolo a. piacene eTTreecrrr. Xm= Abi 40* AL croxoce dem la probobi @ta- di avvicima ad cla %, cosuma valore mele'imtervallo (la eh + E), oe um volice molle viumo af. Per Xi * Bim (4,0,3) culi bare di 4000 ruccensioni pcmulote com (A 3 10,400 Freguenta relativa dei duccensi | femde allo Fagumeo teorica > per & legge du gremdi mumen Istognmene (m =10) Istogrmena ((m = 1900 ) 7° 40 1 È i b P 6 si 4 14 | 1 LITIO 1 bia “” pis ol au. | 94 0,6 Lemde Lo gui ama Si addemzamo im temo add p_393 iaia ta Xx f(x ® T porameteo imcogmilo firametzo © cohnle caraltensbia el popolione Im Inferemza quasto prometeo e imcogmite Sporto dei pozoamebz è “Teta moiucolo ® Atala XK fm. sonpiegali im uma soviela" comi D- Alzo Xa Pois (2) OE IR° » Xi “ Ierza di uma peo ma Lob 0.3 (A, o 5) = { (40°): cir te 18°} XIID4, 48) Ka Bez(p) ©: [9,4] Metodi d im ferem fa 4. STIMA] PUSTU ALE (x, SL X%m) E ser om 0 =p ® 2. Sua | pee IrervaLLo (%, 0%) =] 3. Veriaca KR A (xa. Je) La delle ipotesi \al Tesr SL SS A paztize da um campio me oxervalo (%,,1..| XL) chie eum pumfo mel apro N, omdiame a omdd'ore | um | PARTICOLARE PUUTO mella Sparto dei persimetui ® A partire da um campione omwervalo (%,..., XA) cla e um pumto melo apoto Lo, andiamo a omdglote um msieme di vazoRI Mello spotto de pernometu delle IPOTESI «Si suddivide O spezie n du fingo campiomi im 4 tequomi (Ae R). Mel cons dim wi il paro appete i aa agiome R_ amd'amo acce laze «mo por ico fme da aus pprio (4): Sto lo dpoio © suddiviso im allze 2 tegi8 mi : © e ® Soil Campi eme appoebieme all tegioma R__—— acceltiamo la compellra ®, Sil campi ome apportiene alla tesioma A_— acceltiamno & compellna. ), Sranki CHE Cau PIOAMARIE Derroizione + ar delimizce AMaliobca compio matia| e shtisdica uma frontone 3 dell compi éme cowale. (Xi, Xa,..., Km) IT] 3 (X.,/X2,...,Xm) > (detato di uma proprio dotuburome L di probobiito = destburiome campiomaia voabile cook perche Ju mziome d' verbi: conali i Menia | CaupioWaRIA X = A 2° x Pala A ” pls X = # successi |, Dx x n0m9 vorobili conuali di; Bermou®i mn m del ke Bermou Cama i VagianER CaupiowariA SI i 2] (xe no) vetone mom distorta mid Lmedia campio mawun mimi le 00 voriamza| —> 6 Î . SrarisricHe d'ormwe + Xu £Xy S| 8 Xii Valdi ordimabi im made ctescemle Defimivom dotuburome! campiomonia. + XK fp, 0°) LR) E) «V(k)s at: Y0) LA-(5) - LIZ] Ldempio Mia “mi di figli pre aomiglia” X 0.01 0,0 0,256 .M(@) = o id 0,3 0,3 0,408 245] e ||6%s0) | MD: > 3) 04 DEI 0,436 10 16 9640 d J A 2* Spodio campiomaio xi de Ma) x d Xx 0 o 9,01 90 90 4= 040.0 ò 4 0,03 0,5 0,5 « o z 0,95 40 2,0 22213195 0 3 9,01 4,5 4,5 4 o 09,03 0,5 05 37942 24,0 4 4 9,03 4,0 9,0 2 3 IZ 0,05 2,5 0,5 3 3 90,01 3,0 9,0 Distacbutiome di X (vaciabile coruale quasi) PROSABILLITA' La x SR) XÎA (F-4)LR) 2 006 ———> (0-46)(9,01) 99 90 0,00 0,5 0,06 0,03 0,073 40° 4,18 0,13 0,068 4,5 03 q48 0,003 209,31 9,62 0,050 25 0,10 0,25 0,981 3,0 9,01 0,03 0,020 4,00. 4,60 0,320 4 tV, A (0°. 2 4 Distzibuziome di s° ( veriamia compiomenia. ) DI s° sl da xfoo (x) "0 . EE) - a: 46 X * media d ogm compiame > (x XY 4 5! 2 | PROBABILITA, S| FG) SF) Come se diemtcore uma AAT varia bi & cosun& 09,0 0, 386 0,00 0,5 0, 46 0,23 4,0 0,46 0,32 45 002 908 Abbiamo verificato che : 400 0,64 AA) E i ESY=o* VR) «Z (5°) = 8: VA  £ FFICIENTA Da fimbzione. bovota | s errare gua den bce omedes | ([Meom Spare Lor) Defemito USE (T) © wiame per azaltorienze gli stimato efhiuenti Um stimatore e ePaemte sn uma deleemimati. cQoe di stimato 2 (2 we MSE(T) e minimi im que close VO. Alell, ox degli sbimeton cosselli umo stimmalize © efficente quoto & voviamdo € mimiaa ASE(T) = £[(T-0)°]= B°(Mi Va (7) Tel& sbomfore Se bo di oatore e' correlto (B(T) =0) > MSE(T) = Ver (T) ES(T) = JUSEG) |T_-0| > errore di ohma \\y £[(T-0)] > media dell'onzne di sha ol quadra fo fi Voilio Ro emfzambi nom piccol più piuole e ameg do e“ e ara (per MSE cRa pa Ven MSE(T), MSE(Ta) MSE (T.)<_MSE(T2) D) Sicuramente xegliro Li Porsamo eistere vifuationi din ceue : = 49M O si luazismi compleve ? men & fremo use) wse(13) J i. MSE(T), HSE(T+) R sla ls 0 Cori apre Li Imre: fegvare umo shimotae corre lto, è MSE (1) mimimo VI valore e ri 0, cori Vi porroma e@»ee obmatoei com HSE midqliore ol im pleume regiomi dello sposa para meta . TAV 0<45v0>35 TV V45<0<35 dle vazsamee desi AHmroksri Vi (x) i SÌ m  CousistEnzA Proprieta che È 2ferimente all comp or tomembe delle shimmafoze al caestere di m Lom pllTn-0)s €) 4 comlf o ms co (Ta) Umo atimafore e comsistemfe co dela uma contamte E piccol a piacere il Cromite perm che temde a imPimito. delta probabi Uta: di avre um errore di lima im lat cod luto mimore di E Ce ugua de a 4. Legge du' geomeli mem > Um p(1Xm 4|t) = 4 Ind i Media campiom qua e° rd shimefre comnstemle pr 4 bgge dei grand numer Comziblemea im | media guadralica Lim \ASE (Tm) > 0 meo v comaistemta Parazerro | StimaToRE MSE Stima della vaziamze “ x ? A X_. ASE(R) = Vee (3) Vev (K)= S = 0° e m A A A P P_ ASEG)= Va (6) Van, (6) = P(4-È) = p(4-P) n mo o 5° Lc AN Aa Ver, (B) + SÈ dom nm LS ot. Bey, ter mia Sthiola per intera Usl (Lim tersalh; di comidemta.) Defimitiome. : dale i campione codua le (XK, X Hal Xu) PANZA funrome gemeraPuce tuate î@ i omai fo x (0) TT ee DARLA) È Si Fodalo: o diapodizlonme due stabiokehe campiomoe (4, e LI) Stimarore per iwrervao : (41,42) > vawsabi& corale E E BLOG) ST LL + la (X.,%,.., Ka) * pai sos VA) = {1-2 com _& piccolo -—- shmatow per inizi Uivello d' Pica Stati sh che Campiomene STIMA PER \NTERVALO : (e, Ci) — enerlaziome L=, (x%.1..1X»] = valre di Ai osservato mel campiome €, î €] Ci. Mazily Xm) Aupiezzà imteeva00o > Al = La -Li > imiuza de preusiome piu e° Grade < e limfoermetiome ra piu e* PiccaLa > e L imfoemezione na 0 Lempio : X =. reddito pro capite im Uombuia MEDIA CAUPOVARIA Lem, Coro (lede) che racchiudono il prometto n comuna probobifth cevoli Var (3) © I I rho | da fssato a puwou' Corco E è p (Iryuls €) 34-a _> Propueta': Xi ax (09 2) RI mai Sr 00% 0-3 dela A PT popolriome sostituisio PLm @ sha avre: uma T- studemt O (T C] "16 2 I mpomgo che È | - € SK E ea Sme ) J L “OI E, 2 2 Axa : E = bt, NS Ta XA Lt (m-1) 9% E Sr ATTiEA L'ntermtes. d' Ie x - ta VS/m > 0, fm comflidenta | _J 2 2 ISSERVATO : Ar Kat, la VSm SER N Te deD 2 2 4-3 As 2 ba NSm IISTTA T z 0 Vorcio bile corale + Sala da um compiome al'bto Laeapio i Xe A (6°) com 0 * mam mato e 4-3" 085 Om. = 0,05 Ca mpisme ossetva fo &/a = 9,0 25 (470,75; 486,44 ; 473,38; 49542, 473,33) 4° e6/2 = 0,975 XK 3 17% 758 ChE 52,932 — xx) stimatore me) corretto des s Alea) > p (Era gi Tu £ E.) tl £.3 Arras - 2,tr6 |50,932/2 = 463,726 2 2,776 - quamfle im co pome min 134e 0,935 IR 0,- 477,358 + 2,776 |52,932/2 = 433,956 a = 43,064 a pouf di 1:4 & memo ‘mf mabio > Toteevg d' comftdemzo = 0,95. «0, 857. (448,726) 483,356 ) Ae deescere dim la Meeimo& e QI TI bhiden} \temdomo| a cwinu dere  @ RARA n > 50 L= K- 8°. A (0,4) approsai mahvamemte uma Spurio, VS7m 4,3 x ea 57 Pro lobi &'ta' che mom comlen I € ) De © 40 pozametzo |: & P(3£ |R-zl Se fe 50 = mom e' più vero 57m I Te $ \S7m ET (ixe ampli: ZUCA tig del rionali Quamds El: da = p(-E < gal €) Tibdido dl: u LE si ES DE eS° a A=2 el L S°/n a Zizdabalal: 2 ms 400 x 3 15,52 S = 244% A4-% = 0,30 a=\0,10 © amfervalla mom combeme 0 parame fzé + 0,05 z 4. = 0,35 7] 2 SS quamtile Big = 4,645 2 453 come Lita % 45,52 - 1,645 {2541/100 = 44 306 comtieme la media n deu: imterv ol l.3 45/524 4,645 (2457/100| = 46,334 cpl colui a 54,628 sa " Vial Ul dele ipotesi Sin 02 para me zo di intere ve, l'ipotesi e uma comgeltaza che viguozc. @ iporesi vuza > (Ho: de cd tela appor bieme_ al solto»pozio “Teta lo” che |a run volfa € um saltormieme delle prio “Teta" itaresi Acrervanva SH, : Oc ®@ Cc tek appor bene al solto»potio “Teta o megato che |a sua volto e'|um \sgltarmieme dela prio “Teta" ®. 0 ©, - ® icoresi semeeice : l'ipotesi imckviclia un pumto. ben preciso melo prio porsamelerco “amo” Fed hl: A=0, IPOTESI. COM POSTA > l'ipotesi inciiiclie um inter vello’ melo prio prememetzica Cimtervo 00" Es: 4: 0>98, Test stamsmco | proce luca. che a perbze dle opercazomi camp'ismaze comdace od. accelfoze uma dell® due poter: Ze mpio : Xx HW (4,0%) Ho: po Hi pre Se aceto Ho P vbiuto H, e viceversa (Se acelto H vfiuto H, Probabilita di' ettore Errore del T TIPO » vera Ho ima lo ufiato ll, bare del evidenze calmpiomatie Arrore del IT mpo è vocal, ma & ufiubo sl, base del evidente campi omarie Acella Hi Rofiuta È, Ho | scelta coretta eztote del I tipe (&) IP. SEMPLICE nm d e i 44 -di>n H, | erzoze del Tlio scelta corcelta di (8) Mm IP. COMPOSTA P (Ref ace HolHo) » pzob. di commettere ereoze del I {po P (Hem ufiutaze Hel H,) ? prob. di commettere ovroze del I lpo P (ReRutore Hal H,) > PatewtA| del Tesr = ufutore He quamdo Hi e vera " HW R =? " Liempio: vnore di pero doto da um| moceRimazio che imbuota 239 Com quale P de reo te sccelfaze (04 wfiutare um'ipote; mula. Oseroze il campiome — (x I, Ka, chien Xm) ci calealize uma media X Vvatuabile cova (prima del campiorma mento ) vasone Stud X solo Ho +XK AA, D) setto Hi LANE ole um certo valore + pRusib:le H w'spetto Com quale cale acebzo ie valre celtica è de' glia 7 cè Ho (Ci p_(Refiutare Ho 1h) com e cercalo piccolo (a = p. trote] Valete soglia (Zia) tale che: priormvzalitaza la p3ò babilfe>, che um nlbee delB, media campiomoria sia amimote del valore soglia sole Ho oa bava. perth), d x |P f (064,1) >| & la Stamdor deo : He sp Xila Mo eri |) ma AN(0,1) Era e More z - Kira Mo RIT La Ita Jada tere Ae Ina du, fe tia (P rote) probabile he ' dio Yeno A, Se XK ha va lare. eleso pio De ho um valore molto gramde > 4 Se vedo valo: plwibil viume ad po aLeta accelto Ho H So ld = |xl_L LL Ririvro * H H Stesso togioma mente com . 2 cam 07° mole Xx A (4,0) Ho it "fio H, AS po a quambile © CA Tia Bid. Fical | fo Na PLL pre Rel) (E |) p (Ma Non) tra Xa TA 7 T TE +e lla Ka 3 - È (2 U sha: = & Dai ra | > valace cutico Se Xx £ pai CA ez Tio e Bal > Ririvro |) * mote Hi: AGFA upoteni oCleemofiva umidizeziomo@e a DX Hi: AA apoteni oCteemotiva umidizeziomele a SX Hi: a = o. poteri oCteemohiva bidizezi ama 7. p (Refiutore HolHo) ewae ( Accebtoze |.) 2P.memerzore P( avra A fp el A a Xe Kid accelto sole a valo compio ta Xaj, 2X- % E, gl= Soil 4 1 Lei SUORA ATITtE Xe A =; Cilea ES Xe +€,. TETRA EI Tua ® Kafs Wed Jelln_ o SX x) £ «) 4% (> probobilita de mem ore ettoze niù x #6] TE): d- a Se Tim “Cia Fa x z E Me) So mig0iamza com _imbervol& de comfdemzo imc9g mifo membre ora ho come -mcogmite i due ostzemi Se Xx Kg VX>X e Rici 2 © E (FIVTO [e È pin Xx - Mo 9 meme se |E_|= Ei: | 2 | ZII Jola | 7 ve mn Cazaone d_imtervalls i di comfidemta, | Xe V(,4, ot) com o mete Hi TICI com (le 21) cmrenvallo di Uvelle di comp: demta (4 - 4) per a h, | faF fo | (ita) > RI | cl bielle a | Esempio è [ | ad | € | na) [He pal e 1) n X 34T7 458. com a = 005 «fi € H, AF ATE xI è 172 € (471,56; 183, 956) > AH, imtervalto d com fi demta. Alta cadi di verifica del0e ipotesi sul me db cem Mmi-H gol Hei Corta He gesze IG - XeZlo L t(m-1) nelto Ho ma Se XP Xu To 4 ElL 5 m eresse RE ne O» tl | | drone Sn FreSES I »Rk de Er e rtila A0ermatica bidize riomale 7? RE Esempi ‘XK (4, 0-3) Ca empiome| ossetva fo Ho: 4 = 497 (470 #6; U#6.44 ; 473. 38, 14542; 173,33) His > 472 ms 5 4 = 901 grade | di Wiberta = m-415 4 XL (3 A#2 4 3,743 erge = 484, 45 xI<|lz 4 + |A (tris lare uao DICE LUPA J 52,932/5 Bidiceriomale Ho: 3 A72 È com X = ATF, 58 Hi i|A 7A? x 510,05 bg < tre tl 3 AH £ = 0,025 z 2 "UTI SATO 76 VT 4-& 2 0,875 2 ti, lalalz7àe o Da Lda 10 Cimike | ceqpteate) Se IF g td Ea 5° ILA la appuze pal Tr > Gila « / Hal Lee Ra! p(R<Ra Ho) = HE): 2) verita fE Se KSKw fia tg |S? ali cet oppuze se Er > - tia > RH; el 13 EL | ZITTA I le {LL | xa Xe lla. I z a > RK  Venica «potesi «md pemdemza Bi Ba... Bi (om A 2 8 vorsabili. coouali: A | on ma: mai | Tobe di comkngenta Ae Li auij__Ma zo ' Î Î |" x > pe valutare l'indipendenza tra A e B i ° i pie p(AsA, B= Bg) An| my mi; i! me | mao 1) peobabi Uta: comqUm fa Moi Moa: | | Mat m Ae B > veuabdil cauel doppie Pio > p(A « Ai) prob. marginale A Poz * P (B= Bz) prob. ‘marginale 3 Defimiuiome de ‘moli pem ce mea 4 Pi) + p(A=A, B: B;) = p(Ashc) p(B= Ba) È IRA Ho: Piz = Pio Poz V ford Lal elzizla H.l: Piz 7 Ped 2 foz per almemo (4,3) + bata uma cappio Pio Fog mi. BE Vlileul.[A lel aste. le tm o, 3 A È (al MR i XE ALI rulla. 2 Azindobicanmenk. diotubui ta comme una x PESI bird iz X£ X[(-1),(6-4)] colto ks St e vom Ho > X' piccolo R.fruto per volo geamde dea X° d: p (Rifiuto Hol He) Corso [mete TX a A RILHIE 2 Se XK» XL > RHo Liampilo i Comdsiome occupo uom ole > Tabella di imdp@m demta Sesso Occupato Ms Sesso Occupato Ms A 444 3 450 um 136,96 43,06 | 450 F 65 A4 80 F 73,0 6,96 80 240 20 230 240 20 230 ? 2 2 z X = (464- 436,86) | (M-656)°. 385 a X, 436,36 6,96 3 0,08 > AI 366 3 Ke Ka * Rg Tres por al modelle di TRATEI9I OMR Cimeaze. Sta mato 0 rms des (Y,X) com X amlecedemte Cagico di Y Ye Port E 1A WEISORVA abbiamo dello Ra: De +B x_l> compomembte DETERMIWISTCA E >» Compamemite STACASTICA @ CASUALE I Bi B, nom met | Seompre. a denouittiva abbiamo delto che o dispome di um collettivo d Mm ISS OMI (4:, Xi) nulla base di quiete: sli miame i porameta Bi e B > Metods dei mimi; quadui mi 2 Sio. delta Sì = DI (xi $ b, i b, x.) TA cerco. b e b, che [A zemdema minima bi Col (b4= gh Gy e (m-3) (4-3) De (4-3)! Di csi ini 5 Èx; ra È È dati ra, ma Retta stimata : 4= boa b,x VAZIA stimate e residuo di = bhe bx com | 43 A, N 9 dl sei cem ASA m y= B.+ Bix + E com LÉ vaviobile comale delta ERRORE Alssumuomi : . Forametz incogmiti » Po, Peo «E (E) = 0. Ve (E) = o* Lamplicavioni : AIYIx=x]=- BiBx Vo (Y1X=m)= (0 > ceoplamte aopelta! è x Distowiome di Y per X=x fato