Probabilità e inferenza statistica, Appunti completi del corso di Probabilità, Appunti di Probabilità e Statistica

Scarica Probabilità e inferenza statistica, Appunti completi del corso di Probabilità e più Appunti in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity! PROBABILITÀ CONDIZIONATA PCA1 B K 3 PCB A è indipendente da B P AIB PCA PLAN B PCA PCB A è dipendente da B PCA 1 B e PCA n B PCB Teorema di Bayes Ai A4 Applicabile sse Ai r Aj e fi 1 n M Az DE 15 U Ai Ai 1 Evento E con intersezione non nota con almeno due Ai PCAi P celai Haile e zippa p e ai C'È PCA e Plan 0.5 P A2 0.5 p e 1An 1 p e laz 0.25 pc le PC e P letti o 1 As e 0.8 E PLAN PLEIN 0.5 11 0.5.0.25 i i VARIABILI CASUALI var Statistiche var casuali valori osservati valori possibili Iraq relative f di probabilità greg cumulate g di ripartizione Funzione di riparazione Io FA P X E PCX Xi lin FG 0 lini Fa 1 o a F x FC Xi p Xi C Xc Xj A XI xi e R Nel discreto somma cumulata dei valori della f di probabilità Nel continuo integrale applicato alla densità di probabilità P as e b f CN di Fibi Fca FCb f da Media e Varianza VC discreta V C continua k 0 Echi E Xi PCF Xi E CHES x fax DXa te Varate Xi EHI PCXi Vara E fai di Disuguaglianza di Chebyshev P g Nek E g 0 ti o da cui K P IX ECHI r ox E I r numero reale positivo se P ECX r Ox E E E CX t r Ox 1 Funzionegeneratrice dei momenti Data una v e discreta o continua la sua FGM è la funzione reale G t definita come G Ct E et In particolare variabili discrete 6 ti E e i Pai variabili continue G x Lt et DX La derivata n esima della FGM calcolata in te o è il momento v c ipergeometrica esperimento casuale descritto da una v c binomiale senza immissione M numero iniziale di oggetti a tipi ke numero iniziale di successi K M P Ì m x 1 n n numero di estrazioni senzareinimissione maM Mn numero di oggetti di tiposuccessoestratti oexc.rs E CN MEN varchi Mp e p MI M 1 Per M n la v c ipergeometrica assomiglia semprepiù ad una binomiale V c di Poisson descrive tipicamente il numero di volte che un certo evento si verifica nell'arco di un periodo di tempo dato 7 e a P e_ 0,1 o a 0 ECX Varca si tratta di una derivazione della binomiale suddivisione del lasso di tempo in intervalli indipendenti di piccola dimensione tali per cui l'evento puo non accadere a accadere una volta con probabilità stante il numero di prove tende ad 0 poiché la durata dell'inter vallo tende a 0 Per n molto grande il grafico di una Poisson e di una binomiale a ntendono ad assomigliarsi Al crescere di 2 il grafico della Passo si appiattisce spostandosi verso destra 1Pa 1 2 1 4An V C CONTINUE NOTEVOLI v c uniforme esatto corrispettivo della uniforme discreta colica 8cm È FCA È a exe b E atb varcxi cb.NLb a 12 1 bc x ca 1 1 Fox 1 fina i i i 1 i 3 a b V c normale approssimazione di v c a valori reali che tendono a concentrarsi at torno a un singolo valor medico e lente CHE_ cacao que È 0 EChen varatoTt 11041 _Distribuzione simmetrica Massimo in µ Flessi in µ o Asintoti per e x al l i µ o µ µ to Il calcolo dell'integrale della dat richiede una trasformazione lì creare delle X N µ è 2 at b X 2 7 N 0,1 e eluso dei valori della funzione di ripartizione per una v c normale standaro Plastic b con Xingu è P aj czcb II.co z bI dz V c esponenziale a n descrive la durata di vita di un fenomeno che non invecchia gcxi.ae fax e 1 e so ecxi fvarcxi.fr 1 ii 5 4 1.5 aKos fa Il tempo intercorrente tra un evento e l'altro di una Poisson si distribuisce come un'esponenziale con media Assenza di memoria P atto IX a p b con a b o V c Gamma Distribuzione utilizzata come modello generale dei tempi di attesa che comprende come casi particolari anche l'esponenziale e la cui a fine È Xxi e 7 so t.ch e dxecxi.la Varchi 18cm 6 i 6 X Proprieta Y v c indipendenti allora E X Y EH Ecu X N µ Tx 4 N µ Tx 2 XTY Nfuxtnyjo.itg X Poisson Ix 4 Poisson by 2 Xt 4 Poisson ditty Y È ai Xin N µ _Èai µ xi orgeÈ.ci orcxis Trasformazione di variabile X v e Y v e derivata da X per mezzo della relazione ye fax Nel caso in cui fa sia monotona e non decrescente indicando con X g y la corrispettivafunzione inversa Fi g PE Y E y3 PEX EgcY Teorema centrale del limite sia Xj una delle n v c indipendenti e identicamente distribuite e siano E XI µ e var X53 E per je 1 n Allora III µ N N 0,1 ovvero Yn LYNN 0,1 o 1 Tn INDAGINE CAMPIONARIA Indagine statistica di un sottoinsieme della popolazione oggetto di studio campione Metodo scelta delle unità che formano il campione attraverso la definizione di un piano di campionamento valutazione della possibilità d'errore e trasformazione della infermeria campionaria in informazioni sulla popolazione attraverso la stima puntuale intervallare e la verificad'ipotesi Campionamento probabilistico mediante esperimento casuale campionamento non probabilistico mediante criteri ragionevoli ma arbitrari campionamento casuale semplice ogni unità viene scelta con un'estrazione casuale con o senza re immissione bernoulli anco campionamento stratificato la popolazione viene divisa in gruppi di unità strati il piùpossibile omogenei all'interno ed eterogenei tra di loro L'allocazione del le estrazioni agli strati dipende da necessità specificheimposte dall'obiettivo dello studio A parità di m si ha un minor rischio di errore nell'inferenza rispetto al c c s campionamento a grappoli la popolazione viene suddivisa in grappoli agglomerati di L p p gr 11 cose unità che entrano tutte a far parte del campione se facenti parte di un grappolo estratto Si ricerca la massima omogeneitàtra i grappoli e la massima eterogeneità all'interno tale da rappresentare la variabilità della popolazione stessa Questo campionamento assicura una riduzione dei costi e dei tempi dell'indagine campionamento a due stadi la popolazione viene suddivisa in grappoli parte dei quali Vengono estratti Successivamente si estraggono e si osservano solo alcune delle unità che appartengono a tali grappoli Stimatore Funzione a valore reale dei dati campionari che deve fornire il valore 0 parametro incognito di interesse della popolazione Te g Xi Xm stimatore di 0 è una v c perché funzione delle osservazioni campionarie Xi che sono v c Statistica funzione della m mpla campionaria determinabile in base alla sola osservazione di Xs An senza conoscere il in fx X a Media campionaria In È Xi Eleni p Vaz Fn Instimatore cozze Ho Varianza campionaria SI iÈ E San for stimatore distorto n Varianza campionaria corretta In È e San orstimatore corretto n 1 esegui ad è in Gamma i r Ethel e che r M 1I M2 Miiii E n'E f à Metodo della massima verosimiglianza Il metodo consiste nel massimizzare la funzione di verosimiglianzadefinita in base alla probabilità di osservare una data realizzazione campionaria condizionatamente ai valori assunti dai parametri statistici oggetto di stima Le determinazioni campionarie xp Xm sono date per ottenerle coefficienti fissati Data una distribuzione di probabilitàD con funzione di due si fà caratterizzata da un parametro 0 dato un campione di dati osservati x i3in si può calcolare la prop abilità as societa ai dati osservati P E Xi I a e a 1 E Xi3È a Il metodo ricerca il valore più verosimile di 0 ossia ricerca all'interno dello spazio di tutti ipossibili valori di il valoredel parametro che massimizza la probabilità di aver alterne to il campione dato Lo stimatore di massima verosimiglianza è ottenuto come È org ma x o 1EXi 3 0 E La e I Existed è detta funzione di verosimiglianza IÌ fai nel caso discreto III P Xi xi o Per convenienza si utilizza massimizzare il logaritmo della a 1 EXi3i7 detta log verosimiglianza log Ld Al Exist a Plex Lia n in IÌ è logli Xi An È x idogi ni È dogCx n n d logica Xi Xvi E Xi n I di n Proprietà dell'invarianza funzionale se È è lo stimatore di max verosimiglianza per il parametro 0 allora lo stimatore di una verosimiglianza per g a e è ogCEI ciò vale per ognig Proprietà delle stimepuntuali 1 stimatorepinconcentratati è più concentrato di te per 0 se perogni zoo e scelto lo spario parametrico P a ti E a ta P 0 Acta E 0 t z 2 Errorequadraticomediamset al e T a I 3 correttezzaonoudistorsiotto è corretto se E Tco 0 Uno stimatore non corretto e detto distorto con distorsione pari a E Tca 0 Considerando esclusivamente stimatori corretti il calcolo dell'MSE ci scelta e miglior metro di paragone tra di essi gli 1 g MSE Tca E T ECT t e a ECT Var t t Distorsione lirica him E tied a n 00 totale line P 1 Tn o la E 1 o line PC1 Tn al E io HO E E o m a n a s HCiumediaquadratica lime Tn to a te e o line E Tn 0 o lion Var Tn o n a n a n a 7 ttsymptocalynomaCBA.tv uno stimatore èdefinito BAN se gode delle seguentiproprietà La distribuzione di Tn Tu 0 converge in distribuzione ad una N 0 O a per n crescente Tu CA è uno stimatore debolmente consistente Qualunque altro stimatore Tn A asintoticamente normale ha Varianza non inferiore a or 0 perqualsiasi 0 La media campionaria è uno stimatore BAN per Eaten quando X N µ è Statistiche sufficienti La sufficienza di un'analisi statistica intesa come funzione di un campione di osservazioni definisce la capacità di tale funzione di rappresentare in maniera sintetica l'informazione