prodotto scalare e coordinate, Schemi e mappe concettuali di Discipline geometriche

Scarica prodotto scalare e coordinate e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Discipline geometriche solo su Docsity! TERZA RELAZIONE: IL PRODOTTO SCALARE | prodotto scalare serve per inglobare le proprietà geometriche di piano euclideo e spazio euclideo nella struttura di spazio vettoriale in cui l'operazione di somma traduce la traslazione e il prodotto per uno scalare traduce il riscalamento (da sole non bastano). Prima di introdurre il prodotto scalare dobbiamo parlare del teorema di Pitagora e del teorema di Carnot. Il teorema di Pitagora può essere derivato dai teoremi di Euclide. AH:AB=AB:AC Questa proporzione nasce da una similitudine di triangoli; mi accorgo che due triangoli sono simili e grazie alla corrispondenza di Talete il teorema di Pitagora non va più dimostrato. L'enunciato di tale teorema afferma che un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ ipotenusa e l'ipotenusa stessa. Ti L_ M Ne deriva una proporzione tra moduli: HH KKT=]L:]M]] c*-004 \ n = AÒB £ REMO A,B sono ortogonali se e soltanto se AÒB è retto e se e soltanto se <= \\ A+) A4 gI Il teorema di Pitagora vale se un angolo è retto, ma vale anche l'inverso. Inoltre mi consente di dire quando due punti sono ortogonali. Il teorema di Pitagora mi dice qualcosa solo sugli angoli retti; esiste un teorema che generalizza Il teorema di Pitagora e dunque vale per angoli qualsiasi: sto parlando del teorema di Carnot. Mi dice che: ci-atyb 2a b a1 è la proiezione ortogonale di A su B. In base a quale angolo ci andiamo a parti differenti. ANSA ACUTO << ANSA oTVSa % b i nsiderare, acuto o ottuso, la proiezione di A su B ricade su — N ma a n > AG cZat4 2a b 7 1 Si dimostra che: M+ ai (1an+ trat) È 21 ANA gh Se AOB è retto viene 0=0. Dunque per il teorema di Pitagora questa quantità è uguale a zero. 2 (inixgu - (nAN np) =t 081 An NA - ubi Il prodotto scalare tra A e B è <A B> Ci sono diverse proprietà che hanno a che fare con il prodotto scalare: 18) <A,0>=0 23)<A,B>=<B,A> 3*)<tA, B>=t<A,B> 48)<A+B,C>=<A,C>+<B,C> 5) | punti 0,A,B possono essere allineati o possono formare un triangolo. Quando formano un triangolo il prodotto scalare è compreso tra queste quantità: MANN £ LAB? SURIMIBI » DISOGLAGLANZA TRINNbO LARE Quando questi 3 punti sono allineati o A e B stanno sulla stessa semiretta di origine A o A e B stanno su semirette opposte. Il prodotto scalare non mi da solo una condizione di ortogonalità, ma anche di allineamento. 6°) <A,A>= \aW Le prime 4 proprietà sono proprietà caratterizzanti la nozione di modulo. Per la 5° e 6° proprietà si ha prodotto scalare anche senza basi geometriche. Prendiamo A e B scritte in forma algebrica e facciamo il prodotto scalare. A=a1+1a2 B=b1+ib2 <A, B>=a1b1+a2b2 <A B>=<(a1+ia2),(b1+ib2)>=<a1, b1>+a2<i,b1>+b2<a1,i>+a2b2<i,l>=<a1, b1>+a2b2<i, i> Il prodotto scalare ci dà informazioni sulla distanza della retta ortogonale da O. Inoltre, quando è positivo è legato all'angolo che OA forma con OB <A, B>> 0 <= ->M (AÒB) < pi greco/2 <A,B>< 0 <=> pi greco/2< Ml (AÒB) < pi greco Ù -misura-> è una finzione che a insiemi misurabili associa un intervallo positivo M Me TO, +0L Mao Il prodotto scalare vale 0 quando l'angolo è retto; quando l'angolo è 0 <A;B> è uguale al prodotto e la relazione trovata non ci dà indicazioni sui coefficienti della combinazione HMeate tto prodotto nella base (A, B). SeA=UeB=Y, risulta: dh pts "h t) VI \pt 1h. t,)} e quindi in questo caso si riescono a determinare le coordinate del punto prodotto. Esse Sono. \prta p.ti uth t ) La base (U, Y) determina un sistema di riferimento cartesiano che si C associato al sistema polare (0, U). Ad un piano complesso OU resta allora associata la coppia costituita dal riferimento polare (O, U) e dal riferimento cartesiano associato a quest'ultimo UOY. Tale riferimento Si dice monometrico ortogonale perché costituito da vettori aventi lo stesso modulo e ortogonali. Il riferimento UOY (comprensivo di quello polare) si chiama il riferimento canonico del piano complesso OU. hiama riferimento cartesiano XY COSENÌ DIRETTORI ALBEB RICA N O (COSA, Am A) Ko v COSENI DIRETI ORI STOon. | 7 (osta) em) i | Sulla semiretta OA c è una Coppia di coseni direttori, mentre se considero la retta cI SONO due coppie di coseni direttori (un punto è fatto da una coppia). are. Uno scalare k determina uno ed un sol — KPèl'equazione della retta passante per e k varia su I punti di una retta OP sono tutti del tipo kP, con k scal punto P' della retta OP: P' = kP. Pertanto si dice che P' Pe O. Allo scalare k si può dare il nome anche di parametro, volendo con ciò dire ch izzando questa terminologia per k, si dice che P'= kP È l'equazione l'asse polare OU. unti dello spazio che dipendono linearmente dal vettore tutto l'asse reale, €, util parametrica della retta OP rispetto al Notiamo che i punti KP sono tutti e soli i p P. Come nel piano, il pu una retta passante per O tutti e SO nto P viene detto il direttore della retta di equazione P' = kP e sono direttori di li i suoi punti distinti da O. P=P1U+P21 -> (coordinate cartesiane nel punto) ne lineare di U e Ì, Questa è la combinazio ELLA COMBINAZIONE LINEARE. Ci sono due operazioni: P1e P2 sono | COEFFICIENTI D -somma tra punti -prodotto di uno scalare per UN punto Nello spazio vettoriale il punto viene chiamato VETTORE. Considero 3 vettori (0 3 punti): {A,B,C} Indico con “s” l'insieme di combinazioni lineari che posso fare con A,Bec. <s> SPAM dell'insieme Ss (insieme d lineari fatte con i vettori dell'insieme) es: - SPAM di U sono gli scalari -SPAM di P è la retta OP (retta passante per O e per quel punto) elle combinazioni -SPAM di O è solo O -Se prendo “U" e “i" lo SPAM è tutto il piano -Se prendo nel piano 2 punti A e B {A;B}, qual è lo SPAM? Se A e B sono allineati con 0, lo SPAM di AB è lo spam solo di A e solo di B e 4A 4(,8 Se A e B non sono allineati lo SPAM sarà tutto il piano. Lo SPAM di due punti non allineati è un sistema di generatori. La coppia AB è un sistema di generatori del piano. Se aggiungo un terzo punto C, lo SPAM è sempre tutto il piano. Se a un sistema di generatori aggiungo dei punti resta un sistema di generatori. Stiamo in uno spazio. Supponiamo che: AG span {BICK 5 g SpA Mm tab c£ sano as: Abbiamo individuato un sistema di vettori LINEARMENTE INDIPENDENTI: nessuno dei suoi vettori appartiene allo SPAM dei rimanenti. Se un sistema “s” appartiene ad O non può essere linearmente indipendente, ma sarà LINEARMENTE DIPENDENTE. Anche un sistema con ripetizione è linearmente dipendente. es: {A,A,B,C} La BASE è un sistema di generatori linearmente indipendente. es: come sistema di generatori del piano possiamo prendere una coppia A B (diversi da zero e non allineati) {AZ AY SPAn (6) 5g SPAM (8) Non posso avere una base del piano formata solo da un punto, poiché genera una retta. Dunque la retta può avere come base un vettore diverso da zero. Un piano può avere una base di 2 vettori, il terzo è combinazione lineare. Il numero di vettori di una base mi da la dimensione dello spazio. P=rA+sB EQUAZIONE PARAMETRICA DEL PIANO AÒB P=Po+rA+sB Otteniamo un'equazione parametrica di un piano parallelo al piano AOB passante per Po. è una BASE ORTOGONALE MONOMETRICA (monometrica significa “una sola misura"- >stessa circonferenza di centro O).