PRODOTTO SCALARE E PRODOTTO VETTORIALE, Formulari di Economia

Scarica PRODOTTO SCALARE E PRODOTTO VETTORIALE e più Formulari in PDF di Economia solo su Docsity! Matteo Moda Geometria e algebra lineare Prodotti Prodotto scalare e prodotto vettoriale
Prodotto scalare: Sia V uno spazio vettoriale reale. Una funzione che associa ad ogni coppia di vettori s,w di V un numero reale (s,w) è detta prodotto scalare su V ed ha le seguenti proprietà: 1. Simmetrica: (s,w)=(w,s) 2. Bilineare:
1 + 2, = 
1, + 
2,
, 1 + 2 = 
, 1 + 
, 2 3. È definita positiva:
,  ≥ 0
,  = 0 ↔  = 0 Uno spazio vettoriale a cui è assegnato un prodotto scalare sarà definito spazio vettoriale metrico Esempi 1. Prodotto scalare canonico su RN x=(x1,….) y=(y1,….) allora:
,  = ∑  =  Verifico le tre proprietà: 1.
,  =  =
,   =
  =  =
,  2.
1 + 2 =
1 + 2  = 
1  + 
2  = 
1, + 
2, 3.
,  =     ≥ 0 ⇒ ∀  = 0 ⇒  = 0 2. Prodotto scalare in R3
, = ||| | cos % -----> prodotto scalare di vettori geometrici u α v In particolare se ho due vettori v paralleli avrò come prodotto scalare:
, = | | cos 0 = | | ≥ 0 Con le componenti cartesiane:
, = 12 + 12 + &1&2
Norma: La norma o lunghezza in uno spazio vettoriale metrico è la funzione che associa al vettore vϵV il numero reale non negativo ‖ ‖ = (
,
Distanza: è la funzione che associa ai vettori v,w ϵ V il numero reale )
, = ‖ − ‖ Matteo Moda Geometria e algebra lineare Prodotti
Proprietà della norma e della distanza: 1. ‖ ‖ = (
 ,  = (
, = ||‖ ‖ 2. Per la simmetria/bi linearità del prodotto scalare: ‖ + ‖ =
+ , + = ‖ ‖ + 2
, + ‖ ‖ + ‖ − ‖ = ‖ ‖ − 2
, + ‖ ‖ ) , → 4
, = ‖ + ‖ − ‖ − ‖
Ortogonalità: I vettori v e w di V si dicono ortogonali se (v,w)=0, cioè se vale il teorema di Pitagora ‖ + ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖ Se w è un vettore non nullo di V, possiamo scomporre ogni vettore vϵV nella somma: = , +
− , / 01)1 ,ℎ+ − ,  134151/6+  , ,1è
− , , =
, − ,‖ ‖ = 0 ) , , =
, ‖ ‖
Proiezione ortogonale: Il vettore 839
=
:,9 ‖9‖; è 6 831+&1/+ 134151/6+ )+6 +4413+ 
Teorema (disuguaglianza di Cauchy- Schwarz): Per ogni coppia di vettori v e w, si ha: |
, | ≤‖ ‖‖ ‖. Vale l’uguaglianza se e solo se w e v sono linearmente dipendenti
Corollario: disuguaglianza triangolare : per ogni coppia di vettori v e w vale: ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ +‖ ‖
Angolo: l’angolo convesso tra due vettori non nulli v e w di uno spazio vettoriale metrico è il numero reale ϑ, compreso tra 0 e π, tale che: cos = =
, /‖ ‖‖ ‖ ,1/ − 1 ≤ cos = ≤ 1
Insieme ortonormale: Un insieme di vettori {e1,…,em} di V è un insieme ortonormale se (ei, ej)=0 se i≠j e (ei,ei)=1 per i=1,…,m
Un insieme ortonormale è linearmente indipendente
Base ortonormale: Un insieme ortonormale di generatori di un sottospazio U di V, è detto base ortonormale di U
Teorema di Gram – Schmidt: Se {v1,…,vn} è un insieme linearmente indipendente, esiste un insieme ortonormale {e1,…,em} tale che: 〈+,…,+A〉 = 〈 ,…, A〉 8+3 15/ C = 1, … , 0 In particolare a partire da una base di V si può costruire una base ortonormale di V.
Si chiama modulo o lunghezza del vettore D =
1, 2, 3 , /)1 6 0161 ‖D‖, 6 /0+31: ‖D‖ = F+ + G H6613, )4  )+ +4413 D =
1, 2, 3 , D =
1, 2, 3  ℎ ‖D −D‖ =
1 − 1  +
2 − 2  +
3 − 3  = ‖D‖ + ‖D‖ + 2
11 + 22 + 33 I D − JJJD,13381/)+ 6 4+3&1 641 ) / 43/5161, K/) 8+3 6 3+516 )+6 ,1+/1 6 1 K)341 è: ‖D − D‖ = ‖D‖ + ‖D‖ − 2‖D‖‖D‖ cos = ,1/ = /5161 43 D + D Il prodotto scalare tra i vettori D =
1, 2, 3 + D =
1, 2, 3 è 56+ : D ∙ D = 11 + 22 + 33 = ‖D‖‖D‖ cos = x x-y y ϑ