prodotto scalare, vettoriale e misto, Dispense di Matematica Generale

Scarica prodotto scalare, vettoriale e misto e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! Prodotto scalare, vettoriale e misto I vettori possono essere moltiplicati fra loro in due diversi modi. Naturalmente, si tratta di “moltiplicazioni” che condividono solo alcune delle proprietà della analoga operazione definita nell’insieme dei numeri reali. Il primo esempio di moltiplicazione fra vettori è il prodotto scalare che, come vedremo, ha come risultato un numero. La più importante motivazione di questa operazione è di tipo meccanico: nel caso in cui uno dei vettori rappresenti una forza e l’altro lo spostamento del suo punto di applicazione il prodotto scalare fra forza e spostamento corrisponde al lavoro compiuto dalla forza stessa. L’operazione indicata con il nome di prodotto vettoriale ha invece come risultato un vettore, e trova applicazione in Statica, dove è usata per definire il momento di una forza. Poiché Il nostro interesse è anche rivolto alla geometria dello spazio Euclideo vedremo come sia il prodotto scalare che il prodotto vettoriale permettano di formulare in modo spontaneo e coerente questioni relative alla descrizione di rette e piani e alle loro proprietà. 10.1 Il prodotto scalare Rappresentiamo due vettori a e b per mezzo di segmenti orientati uscenti da una medesima origine e indichiamo con θ l’angolo convesso, compreso fra 0 e π (misurato in radianti), che si viene a formare fra di essi. Definizione 7. Il prodotto scalare fra i vettori a e b è definito da a · b = |a||b| cosθ (10.1) ed è quindi pari al prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo compreso. Il prodotto scalare si scrive inserendo fra i due fattori un punto e si legge “a scalar b”. In alternativa si può usare il simbolo “×” al posto del punto “·“, ma non è quello che faremo qui. a b θ a · b > 0 0 ≤ θ < π/2 a b θ a · b = 0 θ = π/2 a b θ a · b < 0 π/2 < θ ≤ π Figura 10.1: Prodotto scalare: a · b = |a||b| cosθ 143 CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 144 Poiché sappiamo che il coseno di un angolo θ compreso fra 0 e π è un numero che si colloca fra −1 e 1 deduciamo che il prodotto scalare può essere maggiore, minore o uguale a zero. In particolare, poiché cosθ = 0 se e solo se θ = π/2, il prodotto scalare è uguale a zero se e solo se i due fattori sono perpendicolari o almeno uno di essi è nullo: a · b = 0 a a ⊥ b (il simbolo ⊥ indica la perpendicolarità e il vettore nullo è per convenzione considerato comunque perpendicolare a ogni altro vettore). Il segno del prodotto scalare fra vettori non nulli coincide con il segno del coseno di θ, che è positivo se e solo se l’angolo è compreso fra 0 e π/2, mentre è negativo se e solo se è compreso fra π/2 e π . Il prodotto scalare è quindi positivo se e solo se l’angolo formato è acuto (compreso fra 0 e π/2) mentre è negativo se e solo se quest’angolo è ottuso (compreso fra π/2 e π ) ed è nullo se sono perpendicolari (nella Figura 10.1 sono illustrati i casi possibili). Dalla definizione (10.1) è possibile dedurre altre semplici proprietà, da affiancare a quanto visto fino ad ora: (S1) Il prodotto scalare è cummutativo: a · b = b · a (S2) Il prodotto scalare di un vettore con se stesso non è mai negativo ed è uguale a zero solo per il vettore nullo: a · a > 0 ∀a 6= 0 (S3) Moltiplicando uno dei fattori per λ il prodotto scalare risulta esso stesso moltiplicato per λ (λa) · b = a · (λb) = λ(a · b) (S4) Se uno dei fattori è dato dalla somma di due vettori il prodotto scalare si scompone secondo la regola a · (b+ c) = a · b+ a · c Le proprietà S3 e S4 si riassumono con un linguaggio tecnico dicendo che il prodotto scalare è lineare in ciascuno dei due fattori (dal momento che il concetto di linearità ricorre frequentemente in molti ambiti della Matematica è utile familiarizzarsi fin d’ora con esso). Il prodotto scalare di un vettore con se stesso uguaglia il quadrato del modulo, poiché in questo caso l’angolo θ fra i due fattori è evidentemente uguale a zero: v · v = |v||v| cos 0︸ ︷︷ ︸ 1 = |v|2 (10.2) e questa relazione ha come ovvia ma importante conseguenza che |v| = √v · v (10.3) e cioè che il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata del prodotto scalare del vettore con se stesso. Un’altra proprietà, illustrata nella Figura 10.2, dice che la parte di b perpendicolare ad a, indicata qui con b⊥, non contribuisce al prodotto scalare. Infatti, se scomponiamo b nella somma di un vettore b‖ parallelo e un vettore b⊥ perpendicolare ad a avremo che a · b = a · b‖ e quindi: solo la parte di un fattore parallela all’altro contribuisce al prodotto scalare (ovviamente, i ruoli di a e b possono essere scambiati). CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 147 u = cosα i+ cosβ j+ cosγ k Figura 10.4: Un vettore v, il versore u e i tre coseni direttori: cosα, cosβ, cosγ. 10.2.1 I coseni direttori È importante evidenziare il significato geometrico che acquisiscono le componenti di un ver- sore u. Indichiamo con α l’angolo formato fra u e i e calcoliamo la componente ux per mezzo della relazione (10.6), ottenendo ux = u · i = |u|︸︷︷︸ 1 |i|︸︷︷︸ 1 cosα = cosα In modo del tutto analogo, convenendo di indicare con β e γ gli angoli formati da u con j e k, si ha che uy = cosβ, uz = cosγ, e perciò u = cosα i + cosβ j+ cosγ k (10.9) Le componenti di un versore coincidono quindi con i coseni degli angoli che esso forma con gli assi coordinati. Diremo in generale coseni direttori di un genenerico vettore v le componenti del versore u = v/|v| ad esso associato, come si vede nella Figura 10.4. Poiché u ha modulo unitario sappiamo che u · u = 1, e perciò dalla (10.9) deduciamo un’importante relazione che lega fra loro i tre coseni direttori: cos2α+ cos2 β+ cos2 γ = 1 (10.10) Esempio 10.3 Calcoliamo i coseni direttori del vettore v = i − j + 2k. Poiché |v| = √6 il versore u = v/|v| è dato da u = 1√ 6 (i − j+ 2k) = √ 6 6 (i − j+ 2k) e quindi i coseni direttori di v e del suo versore u sono cosα = √ 6 6 cosβ = − √ 6 6 cosγ = √ 6 3 Può essere utile verificare che la proprietà (10.10) è effettivamente soddisfatta. 10.3 Il lavoro di una forza Il prodotto scalare può essere motivato in diversi modi, ma quello per noi più importante è legato alla sua interpretazione come lavoro compiuto da una forza il cui punto di applicazione subisce uno spostamento. CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 148 f sP L > 0 f sP L = 0 f sP L < 0 Figura 10.5: Lavoro positivo, nullo e negativo f sP f −s P Figura 10.6: Il lavoro per gli spostamenti s e −s Consideriamo una forza f applicata a un punto P e supponiamo che questo si sposti (per cause di varia natura) secondo un vettore s mentre la forza stessa si mantiene costante. Il lavoro compiuto dalla forza f è definito come L = f · s e cioè come il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento. Si vede quindi che l’unità di misura corretta per misurare il lavoro è il prodotto dell’unità di misura di una forza (come il newton, abbreviato con N) per quella di una distanza, come il metro. L’unità che corrisponde a questo prodotto (newton ×metro) è detta joule, e abbreviata con J. La definizione del lavoro per mezzo del prodotto scalare ha come conseguenza che: • solo la parte di forza parallela allo spostamento contribuisce al calcolo del lavoro; • il lavoro L è positivo se la forza f favorisce (per così dire) lo spostamento, formando con s un angolo minore di π/2, mentre L è negativo se la forza si oppone allo spostamento, formando con s un angolo maggiore di un angolo retto. In particolare se la forza f e lo spostamento s sono invece perpendicolari il lavoro è nullo (Fig. 10.5). Si osservi inoltre che allo spostamento opposto corrisponde il lavoro opposto, come nella situazione illustrata nella Fig.10.6, dove a parità di forza f in corrispondenza allo spostamento −s si ottiene il lavoro opposto a quello che si ha per lo spostamento s. Esercizi Per ognuno degli insiemi di vettori elencati verificare le relazioni scritte sotto. 10.1 a = 2i − j+ 3k b = −3i + 4j− k c = i + 3j (2a − b) · c = −11 (a + b) · (c− a) = 7 c · (a − 2b) = −19 10.2 a = 2i + 3k b = i − 2j+ k c = −3j+ k (a − 2b) · c = −11 (a − c) · (b− a) = −12 (c− a) · b = 2 CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 149 10.3 a = −i + 2j− k b = 2i − j c = i − 3j+ 2k (a − 2b) · c = −19 (a − c) · (b− a) = −24 (c− a) · b = 9 10.4 Calcolare il coseno dell’angolo compreso fra i vettori a = 3i+ j−k, b = i−2j+k. [0] 10.5 Calcolare il coseno dell’angolo compreso fra i vettori a = i+ j, b = 2i+ j− k. [√3/2] 10.6 Calcolare i coseni degli angoli compresi fra i vettori a = 2i − j + k, b = −i + 2j − k, c = 3i − 2k. [cosθa,b = −5/6, cosθb,c = − √ 78/78, cosθa,c = 2 √ 78/39] 10.7 Calcolare i coseni degli angoli compresi fra i vettori a = 2i + k, b = −i + 2j, c = j− k. [cosθa,b = −2/5, cosθb,c = √ 10/5, cosθa,c = − √ 10/10] 10.8 Abbinare a ogni vettore il suo versore u. a = 2i − j+ k b = i + j− k c = j− k u = √ 2/2(j− k) u = √ 3/3(i + j− k) u = √ 6/6(2i − j+ k) Per ognuna delle seguenti coppie di vettori a e b determinare il valore del parametro λ tale per cui essi siano perpendicolari. 10.9 a = 3i − j+ k b = λi + j− k [λ = 2/3] 10.10 a = i + λj− k b = λi − j+ 2k [nessun λ] 10.11 a = −i + λj− k b = i − 3j+ λk [λ = −1/4] 10.12 a = 3i + j b = −i + j+ λk [nessun λ] 10.13 a = −i + 2j+ λk b = λi + k [qualsiasi λ] 10.14 a = i + λj− 2k b = 2i − j+ λk [λ = 2/3] CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 152 a b b‖ b⊥a∧ b = a∧ (b‖ + b⊥) = a∧ b⊥ Figura 10.9: La parte parallela non contribuisce al prodotto vettore: a ∧ b‖ = 0. e solo se i due vettori sono paralleli a ∧ b = 0 a a ‖ b (il simbolo ‖ indica il parallelismo fra i vettori e per convenzione si considera il vettore nullo non solo perpendicolare ma anche parallelo a ogni altro). In particolare a ∧ a = 0 (10.11) e cioè: Il prodotto vettoriale di ogni vettore con se stesso è sempre nullo. Altre due proprietà del prodotto vettore sono invece più “prevedibili” e ci limitiamo ad elencarle: (W1) Moltiplicando uno dei fattori per λ il prodotto vettore risulta esso stesso moltiplicato per λ (λa)∧ b = a ∧ (λb) = λ(a ∧ b) (10.12) (W2) Se uno dei fattori è dato dalla somma di due vettori il prodotto vettore si scompone secondo la regola a ∧ (b+ c) = a ∧ b+ a ∧ c (10.13) Questo si riassume con una terminologia tecnica dicendo che il prodotto vettoriale è lineare nei fattori (si osservi l’analogia con il prodotto scalare, anch’esso lineare nei due fattori). Un’interessante informazione per il calcolo di a ∧ b si ottiene scomponendo il vettore b nella somma di una parte parallela ad a, che indichiamo con b‖, e una parte perpendicolare ad a, che indichiamo con b⊥, come si vede nella Fig. 10.9. Quindi b = b‖ + b⊥ e perciò a ∧ b = a ∧ (b‖ + b⊥) = a ∧ b⊥ poiché evidentemente a ∧ b‖ = 0, essendo questi due vettori paralleli per costruzione. Lo stesso ragionamento potrebbe essere ripetuto invertendo i ruoli di a e b. Sintetizzando, pos- siamo affermare che nel calcolo di un prodotto vettore è sufficiente considerare la parte del secondo vettore che è perpendicolare al primo, oppure la parte del primo che è perpendicolare al secondo. 10.5 Terne ortonormali destre e sinistre Un insieme di vettori {a,b, c, . . .} si dice ordinato quando si distingue il primo, il secondo, il terzo, …e cioè l’ordine con il quale compaiono nell’elenco che li raccoglie. Per esempio, gli insiemi {a,b, c} e {b, c,a} sono formati dai medesimi vettori ma sono diversamente ordinati. Una terna ortonormale {i, j, k} è un insieme ordinato formato da vettori di modulo unitario e fra loro perpendicolari. È utile indagare i risultati che si ottengono eseguendo tutti i possibili prodotti vettoriali fra di essi. Dalla proprietà (10.11) deduciamo subito che i ∧ i = j∧ j = k∧ k = 0 CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 153 Figura 10.10: Terna destra e terna sinistra. Calcoliamo ora il prodotto fra il primo vettore nell’elenco e il secondo, e cioè i∧j. Il modulo di questo prodotto vettore è pari all’area del parallelogrammo di lati i e j, che è un qudrato di lato unitario ed è quindi uguale a uno. La direzione è perpendicolare al piano che contiene i e j e perciò esistono solo due possibilità: i ∧ j = k oppure i ∧ j = −k Nel primo caso la terna i, j, k si dice destra (o anche destrorsa), nel secondo sinistra (o anche sinistrorsa), come illustrato in Fig. 10.10. Una terna ordinata ortonormale è quindi destra quando il prodotto vettore fra il primo e il secondo è uguale al terzo, e sinistra quando questo prodotto è uguale all’opposto del terzo elemento della terna. Nell’ipotesi che la terna sotto esame sia destra è possibile dedurre tutti i prodotti vettoriali fra gli elementi della terna stessa che si sintetizzano con i ∧ i = j∧ j = k∧ k = 0 i ∧ j = k j∧ k = i k∧ i = j j∧ i = −k k∧ j = −i i ∧ k = −j (È utile imparare a dedurre questi risultati per poterli usare al momento opportuno, guardando il disegno di una terna destrorsa.) Per una terna sinistra è necessario invece cambiare il segno davanti al secondo membro delle ultime sei relazioni. Comunque possiamo dire che, in ogni caso, il prodotto vettoriale fra due versori di una terna ortonormale darà come risultato il terzo o il suo opposto. Osserviamo che tutte le terne destre sono sovrapponibili tra di loro attraverso una ro- tazione, matenendo l’ordinamento dei vettori. In altre parole, se {i, j,k} e {̂i, ĵ, k̂} sono due terne destre esiste una rotazione che porta contemporaneamente i su î, j su ĵ e k su k̂, e analogamente succede la stessa cosa per due terne sinistre. Non è tuttavia possibile effettuare tale operazione fra una terna destra e una sinistra in modo che vengano a sovrapporsi versori con la stessa posizione nell’ordinamento. Concludiamo con l’osservazione che la proprietà di essere una terna destra o sinistra non dipende solo dai vettori che formano la terna ma anche dall’ordine secondo il quale sono elencati. Scambiando di posto due dei vettori nell’ordinamento, infatti, possiamo trasformare una terna destra in sinistra, e viceversa. 10.6 Calcolo del prodotto vettore in componenti Il calcolo del prodotto vettore attraverso la definizione presenta lo stesso tipo di difficoltà del calcolo del prodotto scalare: se pensiamo ai vettori come “frecce” non sempre conosciamo l’angolo θ formato fra di essi, e comunque abbiamo serie difficoltà ad individuare la direzione perpendicolare ai due fattori. Anche in questo caso è però possibile calcolare direttamente le componenti cartesiane di a ∧ b a partire da quelle di a e b. CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 154 Sostituendo a = axi + ay j+ azk, b = bxi + by j+ bzk nel prodotto a ∧ b e utilizzando le proprietà (10.12) e (10.13) otteniamo a ∧ b = (axi + ay j+ azk︸ ︷︷ ︸ a )∧ (bxi + by j+ bzk︸ ︷︷ ︸ b ) = axi ∧ bxi + axi ∧ by j+ axi ∧ bzk + ay j∧ bxi + ay j∧ by j+ ay j∧ bzk + azk∧ bxi + azk∧ by j+ azk∧ bzk = axby (i ∧ j)︸ ︷︷ ︸ k +axbz (i ∧ k)︸ ︷︷ ︸ −j + aybx (j∧ i)︸ ︷︷ ︸ −k +aybz (j∧ k)︸ ︷︷ ︸ i + azbx (k∧ i)︸ ︷︷ ︸ j +azby (k∧ j)︸ ︷︷ ︸ −i e quindi a ∧ b = +(aybz − azby)i + (azbx − axbz)j+ (axby − aybx)k (10.14) Le relazioni che forniscono le componenti cartesiane di a ∧ b a partire da quelle di a e b sono quindi (a ∧ b)x = aybz − azby (a ∧ b)y = azbx − axbz (a ∧ b)z = axby − aybx (10.15) Il metodo di calcolo del prodotto vettore a∧ b a partire dalle componenti dei fattori a e b per mezzo delle relazioni (10.14) e (10.15) si basa su formule che appaiono un po’ artificiose e di difficile memorizzazione. Tuttavia, come vedremo subito, esiste un legame naturale fra queste formule e il concetto di determinante di una matrice che rende ciò che abbiamo trovato molto più coerente e in un certo senso armonioso. Una matrice quadrata di ordine n è semplicemente una tabella formata da numeri reali disposti in n righe e colonne. Le posizioni degli elementi che compaiono in una matrice sono descritte per mezzo di due indici, il primo dei quali corrisponde alla riga e il secondo alla colonna. Così [ a11 a12 a21 a22 ] (10.16) rappresenta una generica matrice quadrata di ordine 2 (due righe e due colonne) dove aik indica l’elemento che si trova collocato all’incrocio fra l’i-esima riga e la k-esima colonna. Un’ovvia estensione di questa notazione viene utilizzata per le matrici quadrate di ordine 3 o superiore. A ogni matrice quadrata è possibile associare un numero, calcolato a partire dagli elementi della matrice stessa, che viene detto determinante ed è indicato con “det”, oppure ponendo gli elementi della matrice fra due barre verticali invce che fra due parentesi quadre. Il determinante della generica matrice quadrata di ordine 2 descritta nella (10.16) è definito come det [ a11 a12 a21 a22 ] = ∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 (10.17) La definizione può essere facilmente memorizzata pensandola come una regola che ci impone di moltiplicare fra loro i due elementi collocati sulla diagonale principale (che inizia in alto a sinistra) e di sottrarre poi il prodotto degli elementi che si trovano sull’altra diagonale, secondo lo schema  a11 a12 a21 a22  Un confronto fra la definizione (10.17) e le formule (10.15) evidenzia una forte analogia che ci permette di riassumere con un’unica regola il metodo di calcolo delle componenti del CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 157 volume = base × altezza = |b∧ c||a| cosφ = b∧ c · a Figura 10.11: Il prodotto misto e il volume del parallelepipedo con spigoli a, b, c. Questa è la definizione perciò di un volume orientato, perché dotato di segno. È utile suddividere le terne ordinate di vettori non complanari in positivamente e negati- vamente orientate. Una terna (a,b, c) è positivamente orientata se il prodotto misto a ·b∧c è positivo, e negativamente orientata nel caso opposto. Questa definizione è la naturale esten- sione del concetto di terna destra e terna sinistra che avevamo introdotto parlando dei sistemi di riferimento: si vede subito che le terne destre sono positivamente orientate, mentre le terne sinistre sono negativamente orientate. In particolare, i versori di una generica terna di riferimento ortonormale (i, j,k) sono gli spigoli di un cubo di lato unitario, come si vede nella Figura 10.10, e quindi per il loro prodotto misto si presentano due sole possibilità: Vol(i, j,k) = i · j∧ k = {+ 1 terna destra − 1 terna sinistra (10.21) Riassumiamo quanto trovato. Data una terna ordinata di vettori {a,b, c} vale che: Vol(a,b, c) = a · b∧ c > 0 ⇐⇒ terna positivamente orientata Vol(a,b, c) = a · b∧ c < 0 ⇐⇒ terna negativamente orientata Vol(a,b, c) = a · b∧ c = 0 ⇐⇒ terna complanare Da un punto di vista più geometrico un insieme ordinato di tre vettori non complanari è positivamente orientato quando il primo si trova nello stesso semispazio del prodotto vettore fra il secondo e il terzo, rispetto al piano definito da questi ultimi, ed è negativamente orientato nel caso contrario. Facciamo ora riferimento alla Figura 10.11 dove si vede una terna di vettori che nell’or- dinamento {a,b, c} risulta positivamente orientata: infatti il primo (e cioè a) si trova nello stesso semispazio di b∧ c, e infatti l’angolo fra a e b∧ c è ome si vede minore di π/2. Sempre con riferimento alla Figura 10.11 è possibile verificare che le 6 possibili terne ordinate formate con i vettori a,b, c lì presenti si dividono in due classi: positivamente orientate  {a,b, c} {b, c,a} {c,a,b} negativamente orientate  {b,a, c} {a, c,b} {c,b,a} (ricordiamo che questa classificazione è riferita ai vettori a, b, c che si vedono nella Figura 10.11.) Si noti che scambiando fra di loro l’ordine di due vettori si cambia l’orientamento della terna, e permutando ciclicamente gli elementi si mantiene invece il medesimo orientamento. (“Permutare ciclicamente” significa spingere ogni elemento al posto di quello alla sua sinistra mettendo poi il primo al posto dell’ultimo.) CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 158 In base alle considerazioni svolte si avrà perciò che a · b∧ c = Vol(a,b, c) = Vol(b, c,a) = Vol(c,a,b) (10.22) mentre, evidentemente, Vol(a,b, c) = −Vol(b,a, c) Vol(a,b, c) = −Vol(a, c,b) Vol(a,b, c) = −Vol(c,b,a) Queste uguaglianze (10.22) equivalgono a a · b∧ c = b · c∧ a = c · a ∧ b a · b∧ c = −b · a ∧ c a · b∧ c = −a · c∧ b a · b∧ c = −c · b∧ a (10.23) Un’ultima importante osservazione segue da quanto appena scritto nella prima riga della (10.23), dove si legge che a · b ∧ c = c · a ∧ b. Poiché il prodotto scalre è commutativo ciò implica che a · b∧ c = a ∧ b · c e quindi nel prodotto misto possono essere scambiati fra loro i due simboli che indicano il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. Per questo motivo in alcuni testi può capitare di vedere definito il prodotto misto della terna {a,b, c} direttamente come a∧ b · c. Si tratta di una differenza puramente formale con la nostra scelta, come abbiamo appena mostrato. 10.7.1 Calcolo del prodotto misto Vediamo ora come sia possibile calcolare il prodotto misto direttamente a partire dalle componenti di tre vettori, assegnate rispetto a una terna di riferimento destra. Alla luce delle (10.15) il prodotto scalare fra a e b∧ c può essere calcolato come a · b∧ c = +ax(b∧ c)x + ay(b∧ c)y + az(b∧ c)z = +ax(bycz − bzcy︸ ︷︷ ︸ (b∧c)x )+ ay(bzcx − bxcz︸ ︷︷ ︸ (b∧c)y )+ az(bxcy − bycx︸ ︷︷ ︸ (b∧c)z ) (10.24) (questa espressione si ottiene eseguendo il prodotto scalare per componenti fra a e b ∧ c secondo la regola (10.7), dopo aver calcolato b∧ c per mezzo della (10.19)). Utilizzando la definizione del determinante di una matrice quadrata di ordine 2 la (10.24) può essere riscritta nella forma a · b∧ c = +ax(bycz − bzcy)− ay(bxcz − bzcx)+ az(bxcy − bycx) = +ax ∣∣∣∣∣by bzcy cz ∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸ bycz−bzcy −ay ∣∣∣∣∣bx bzcx cz ∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸ bxcz−bzcx +az ∣∣∣∣∣bx bycx cy ∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸ bxcy−bycx (si osservi che è stato raccolto un segno − davanti ad ay ). Questa espressione può essere riscritta e interpretata creando una connessione fra il prodotto misto e il determinante di una matrice quadrata di ordine 3. In vista della definizione (10.18), quest’ultima relazione equivale a a · b∧ c = ∣∣∣∣∣∣∣ ax ay az bx by bz cx cy cz ∣∣∣∣∣∣∣ (10.25) CAPITOLO 10. PRODOTTO SCALARE 159 In altre parole: per calcolare il prodotto misto si scrive una matrice quadrata di ordine 3 ponendo in ogni riga le componenti dei vettori nell’ordine in cui compaiono nel prodotto misto e se ne calcola poi il determinante secondo la definizione (10.18). Dobbiamo però ricordare che questa regola è valida solo quando la terna di riferimento è destra (i · j ∧ k = +1), mentre nel caso si usi una terna sinistra (i · j ∧ k = −1) è necessario cambiare il segno al secondo membro della (10.25). Perciò, alla luce della (10.21), possiamo riassumere entrambe le situazioni con a · b∧ c = (i · j∧ k)︸ ︷︷ ︸ ±1 ∣∣∣∣∣∣∣ ax ay az bx by bz cx cy cz ∣∣∣∣∣∣∣ Esercizi Nel seguito si indicano con i, j, k i versori di un sistema di riferimento costituito da una terna ortonormale destra e da un’origine O. Le componenti dei vettori e le coordinate dei punti si intendono quindi assegnate rispetto a tale sistema. Per ogni coppia di vettori assegnati calcolare a ∧ b. 10.15 a = 2i − j+ k b = i − j+ 2k [−i − 3j− k] 10.16 a = i + 2k b = −i + 2j+ k [−4i − 3j+ 2k] 10.17 a = 2i − j+ k b = 3j− k [−2i + 2j+ 6k] 10.18 a = i + 3j− k b = 2i + j [i − 2j− 5k] Calcolare il prodotto misto a · b∧ c fra i vettori assegnati. 10.19 a = 2i − j b = i + 2j+ k c = j− 2k [−12] 10.20 a = 3i − j+ 2k b = i + 2j− k c = k [7] 10.21 a = 2i + k b = −i + j+ 3k c = i + 2j− k [−17] 10.22 Assegnati i punti A = (1,2,0), B = (2,−1,1), C = (−1,0,3) verificare i prodotti vettoriali: (B −A)∧ (C −A) = −7i − 5j− 8k (C − B)∧ (C −A) = 7i + 5j+ 8k