prova d'esame_ gennaio2023, Prove d'esame di Istituzioni Di Matematica I

Scarica prova d'esame_ gennaio2023 e più Prove d'esame in PDF di Istituzioni Di Matematica I solo su Docsity! + ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - 09/02/2021 PARTE 1 ESERCIZIO 1 (3 punti) Siano date la matrici A =  2 0 1 3 0 1 4 1 −2  B =  −1 1 0 10 −8 1 3 −2 0  C =  2 1 1 0 −1 0 0 0 1 2 2 1 1 1 1  i) Verifica se A è l’inversa di B. ii) Calcola r(C). ESERCIZIO 2 (3 punti) Siano date le rette r ed s di equazioni parametriche: r :  x = 2 + t y = t z = −1 + t s :  x = 3− k y = 0 z = −2 + k (i) Verifica se r è perpendicolare ad s. (ii) Dopo aver verificato che il punto P (2, 0,−1) appartiene a r e s, scrivi l’equazione del piano π perpendicolare ad r passante per l’origine e calcola la distanza tra π ed s. (Suggerimento: fai un disegno che rappresenti le posizione reciproche di rette e piano) ESERCIZIO 3 (3 punti) Siano dati i vettori : −→v = −→ i + −→ j , −→w = −−→i + −→ j + −→ k , −→ t = 2 −→ i + −→ j + 3 −→ k (i) Verifica se i tre vettori sono complanari. (ii) Stabilisci se l’angolo formato da −→w e −→v è acuto, ottuso o retto. ESERCIZIO 4 (7 punti) Siano dati i piani di equazione: π1 : x− z = 1; π2 : 2x+ y = k; π3 : 2x+ 2y + 2z = 0. (1) Utilizza il Teorema di Rouchè-Capelli per dire se esistono le soluzioni del sistema formato dalle equazioni dei tre piani e quanti sono i parametri liberi, al variare del parametro k ∈ R. (2) Posto k = 1, risolvi il sistema interpretando geometricamente le soluzioni. (3) Determina l’equazione della sfera di centro C(0, 1, 2) e passante per P (1, 1, 1). Calcola poi l’equazione del piano tangente alla sfera in P.