Esame di Analisi Matematica II - Politecnico di Milano, Ing. Chimica e dei Materiali, Prove d'esame di Analisi Matematica II

Scarica Esame di Analisi Matematica II - Politecnico di Milano, Ing. Chimica e dei Materiali e più Prove d'esame in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity! Politecnico di Milano, Ing. Chimica e dei Materiali A. (8) B.1. (8) B.2. (8) B.3. (8) Prof. M. Boella, F. Colombo, G. Verzini, Analisi Matematica II Prova scritta del 6.VII.2017 - II ITI Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N. Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Le soluzioni devono essere scritte su questi fogli. Ogni risposta deve essere adeguatamente motivata.] [La correzione della parte B è vincolata allo svolgimento positivo di 5 domande su 8 nella parte A.] Esercizio A.1. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze serie ∞∑ n=1 2n n! zn dove z ∈ C. Esercizio A.2. Dato il campo vettoriale F(x, y, z) = xyi + zyj + (x2 + z2)k calcolare rotF. 1 Esercizio A.3. Dato il campo vettoriale F(x, y, z) = xyi + zyj + (x2 + z2)k calcolare divF. Esercizio A.4. Calcolare la lunglezza della linea L di equazioni parametriche x(t) = 1− 2t, y(t) = 2− 3t con t ∈ [0, 1]. Esercizio A.5. Calcolare l’integrale doppio ∫ ∫ D xy dxdy dove D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} è il disco unitario. 2 Esercizio B.2. Sia data la funzione periodica di periodo 2π definita da f(x) = 0, se x ∈ (−π, 0), f(x) = 1, se x ∈ (0, π). a) Determinare i coefficienti di Fourier. b) Stabilire, motivando la risposta, dove la serie converge puntualmente. 5 Esercizio B.3. Sia dato il campo vettoriale F(x, y) = (x2 + arctan y)i + x 1 + y2 j. a) Determinare l’insieme di definizione; b) Stabilire se è conservativo; c) Nel caso in cui fosse conservativo determinare un potenziale. 6