Questa è la seconda parte, Appunti di Probabilità e Statistica

Scarica Questa è la seconda parte e più Appunti in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity! Sono delle funzioni definite da delle costanti che prendono il nome di parametri DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETA ha distribuzione uniforme discreta quando assume un certo insieme finito di valori con la stessa probabilità. La definizione si riferisce a quando tale insieme è costituito da n parametri naturali Una variabile casuale ha distribuzione uniforme sui primi n numeri quando la sua funzione è espressa da: La MEDIA La VARIANZA DISTRIBUZIONE BERNOULLI si consideri un esperimento casuale i cui esiti sono due eventi incompatibili • A rappresenta il successo codificato 1 indicato con p • Ā rappresenta l’insuccesso codificato 0 indicato con 1-p PROVA BERNOULLIANA : singola esecuzione di un esperimento La distribuzione di bernoulli viene definita cosi se assume valore 0 o 1 con probabilità 1-p o p Dove 0<p<1. FUNZIONE PROBABILITÀ: La MEDIA e la VARIANZA sono ottenute da DISTRIBUZIONE BINOMIALE Caratteristiche • l’esperimento bernoulliano viene ripetuto un certo numero di volte • La probabilità di successo non varia da una prova all’altra • Le prove sono tra di loro indipendenti Una variabile casuale discreta ha distribuzione binomiale quando la sua funzione di probabilità è espressa da MEDIA VARIANZA Perché le prove vengono eseguite con ripetizione Dove 0<p<1 è un intero positivo e il simbolo n! È il fattoriale di n • p= 0.5 • P< 0,5 simmetrica positivamente • P> 0,5 simmetrica negativamente REGOLE 8.--1 / f(x) =5 x = 1...n/ ↳n I 12 - 1 -> 12 pX(1 - p)2 - x =0.2, E(x) =pv(x) =p(x - p) / * / / f(x) =n!pX(X - p)n- x =0,1,...n x!(n - x)! / E(x) =up V(x) =np)1 - p) DISTRIBUZIONE POISSON Una variabile casuale discreta X ha distribuzione di poisson se la sua funzione di probabilità è espressa da: MEDIA e VARIANZA Di parametro sono date da: Questa distribuzione serve x contare le occorrenze in un determinato intervallo di tempo o spazio e x questo è nota anche come legge degli eventi rari REGOLE ASIMMETRIA • solitamente è asimmetrica positivamente e l’asimmetria diminuisce all’aumentare di • Il parametro Influenza la forma della distribuzione • La distribuzione binomiale si avvicina alla poiosson quando n diventa via via più grande e p diventa via via più piccolo in modo che np resti fisso e pari a . Così facendo è possibile utilizzare la distribuzione di poisson per approssimare la distruzione binomiale quando n è molto grande e p è molto piccolo • Un criterio empirico x dimostrare la distribuzione binomiale è rappresentato da n/p>500 DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA Viene anche chiamata come rettangolare Ha distribuzione uniforme continua tra a e b se la sua funzione di densità è espressa da MEDIA VARIANZA QUANTILI Il quantile di livello p della distribuzione uniforme continua tra a e b si ricava risolvendo l’equazione Costante possitiva FUNZIONE RIPARTIZIONE f(x) =aer x =0, 1,2... I R E(x = x V(x) =x R A A f(x)- (ba ete - E(x) =ab v(x) -Carb F(x) =Yeaxb f(x) saL X i I ⑨ b x o a i F(x) =x=p dacuixp = a+p(b-a DISTRIBUZIONI PROBABILITÀ CONGIUNTA VARIABILI CASUALI DOPPIE La probabilità da associare a È indicata con P è data dalla somma delle probabilità degli eventi elementari nei quali si realizza la doppia uguaglianza X=x Y=y Con riferimento a uno spazio campionario una variabile casuale doppia (X,Y) è una coppia di X(w)Y(w) che associa una coppia di numeri reali (x,y) a ogni evento elementare DISTRIBUZIONE PROBABILITÀ CONGIUNTA Una variabile casuale doppia si dice discreta se sia la X sia la Y sono discrete Funzione di probabilità congiunta così definita f(x,y)=P(X=x,Y=y) PROPRIETÀ • f(x,y)>0 • f(x,y)=1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA questa funzione viene rappresentata mediante un sistema di tre assi cartesiani • asse x • asse y • asse xy DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ MARGINALI dalla funzione di probabilità congiunta è possibile ottenere le marginali La funzione di probabilità di X si ottiene sommando le righe, stessa cosa per le Y La funzione di probabilità di X è indicata con fX(x) ed è data da La funzione di probabilità di Y indicata con fY(y) è data da Dove la somma è estesa a tutti i possibili valori di x Queste funzioni si chiamano funzioni di probabilità marginali o distribuzioni marginali di x è y MEDIA E VARIANZA DELLE MARGINALI (x=x)n(Y=y) X =x)(i=y) -1 We ⑤) W -> (x,e) 0 - xy f(x,y) y x fx(x) =Ef (x,y) fy(y) =Ef(x,z) Mx =3xx(x) x = (x-Mx)fx(x) la media e la variamty somo - My =1,yFy(y) wi =(y-My) ry(y) DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ MARGINALI data una vc doppia è possibile definire la distribuzione di probabilità condizionata di una variabile dato uno specifico valore dell’altra Considerata la variabile casuale doppia discreta (X,Y) la funzione di probabilità condizionata di Y, dato che X assume valore x per il quale fX>0 è definita da PROPRIETÀ • non negative • La somma deve fare uno INDIPENDENZA TRA VARIABILI CASUALI due variabili casuali discrete X e Y si dicono indipendenti se, per ogni coppia (x,y) la funzione di probabilità congiunta f(x,y) è uguale al prodotto tra le marginali FX(x) FY(y) Quindi f(x,y)= REGOLA date le variabili casuali discrete X e Y, per ogni coppia di (x,y) tale che fX(x)>0 e fY(y)>0 le seguenti tre condizioni sono equivalenti • fY|X (y|x) = fY(y) • f(x,y) = fX(x)*fY(y) • fX|Y(x|y) = fX(x) INDIPENDENZA per valutare se sono indipendenti le condizionate devono essere uguali alle marginali COVARIANZA è una misura di relazione associativa delle variabili casuali di X e Y. Data una variabile casuale doppia (X,Y) con funzione di probabilità congiunta f(x,y) si chiama covarianza sono le medie di x e y e la somma è estesa a tutti i possibili valori di X e Y • valore positivo = variano in uguale direzione • Valore negativo = variano in direzioni opposte • Valore pari a zero= indica assenza di un legame lineare, ma non esclude la presenza di quello associativo Dove y varia nell’insieme dei possibili valori di Y Stessa cosa per X dato che Y assume valore….. fix(y(x) =f(x,y) Fx(x) fxy(x1y) = F (x,y) Fy(y) -> 41x(y113) - y=70 -> fYx(85113) = f(x,y) +10/13(70113) =f(x,y) = 0.2 fx(13).to in boost oa f(x) 0.4 =>f85/13(85113) = 0.2 0.4 * x (x).FY(y) - - rxy =[[(x- Mx)(Y - My)) =(x - mx)(y - My) =(x,y) dove Mxe My COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE Una misura più appropriata della forza del legame lineare è il coeff. Di correlazione Siano x e y due variabili discrete aventi medie e varianze, il coefficiente di correlazione si calcola facendo Questo ASSUME VALORI IN [-1,1] • l’indice ha lo stesso segno di in quanto il denominatore è positivo • assume valori positivi quando le variabili tendono a crescere o decrescere insieme • Assume valori negativi quando le variabili tendono ad andare in direzioni opposte • Nel caso assumano valori in [-1,1] allora di parla di correlazione perfetta tra X e Y cioè quando Y= a+bX dove b è diverso da zero con probabilità uno • Assume valore nullo quando non intercorre una relazione lineare e quindi in questo caso si dicono incorrelate DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ CONGIUNTA DI DUE VARIABILI CONTINUE La distribuzione di una vc doppia continua è descritta da una funzione non negativa f(x,y) cioè da una superficie tridimensionale definita sul piano xy tale che il volume ad essa sotteso sia pari a uno Questa superficie viene chiamata funzione di densità congiunta Dalla congiunta è possibile ottenere le funzioni di densità marginali Le densità marginali consentono di calcolare medie e varianze di X e di Y DISTRIBUZIONE NORMALE DOPPIA dipende da cinque parametri • la media • La deviazione standard tra x e y • il coefficiente tra x e y • Il grafico che è una superficie a campana DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ CONGIUNTA DI N VARIABILI CASUALI la nozione di probabilità congiunta può essere generalizzata al caso di n variabili casuali che traggono origine dall’associazione di n numeri reali. date n variabili casuali indipendentiX1,X2,…,Xn con funzioni di probabilità (densità) marginali La funzione di densità congiunta delle variabili casuali X1,X2,…,Xn è data da COMBINAZIONI LINEARI DI N VARIABILI CASUALI Sono definite da MEDIA E VARIANZA Quando questo è uguale a zero la normale doppia si riduce alle marginali e quando è uguale a zero c’è indipendenza No se sono indipendenti P =ry Wxy Fx,(x)ifx(x2) ... f(xnxn f(x,x...xn) =fx,(x).fxz(xz)...fxn(xn) W=arx, + D2X2 ... ann ↳ costanti assegnate - MW =@Mx,5... + QNMXR W =aix, ... anxn rw=aitart... + anrent.Egiaseies ix]