Rappresentazione dei numeri relativi, Dispense di Scienze e tecnologie applicate

Scarica Rappresentazione dei numeri relativi e più Dispense in PDF di Scienze e tecnologie applicate solo su Docsity! Rappresentazione binaria Numeri interi relativi Numeri interi negativi  Per rappresentare in binario i numeri negativi è necessario aggiungere alla codifica l’informazione sul segno  Viene quindi introdotto un bit che codifica il segno positivo o negativo del valore binario rappresentato.  I metodi più importanti per la rappresentazione binaria dei numeri interi relativi sono tre:  rappresentazione in modulo e segno  rappresentazione in complemento a due  Rappresentazione in eccesso 2 n-1 Rappresentazione in modulo e segno Ad esempio, in una codifica binaria su 8 bit, si ha  ( - 2 )10 = ( 1 0000010 )2  ( + 5 )10 = ( 0 0000101 )2  ( - 15 )10 = ( 1 0001111 )2  ( + 15 )10 = ( 0 0001111 )2 Rappresentazione in modulo e segno Il range di rappresentazione (intervallo di numeri rappresentabili) di un numero naturale rappresentato in binario su n bit è: [0, 2n - 1]  Quindi se n = 4 (una stringa di 4 bit) il range di rappresentazione è [0, 15]  Vediamo come cambia il range di rappresentazione con l’introduzione del segno. Rappresentazione in modulo e segno Supponiamo il caso in cui si abbiano 3 bit a disposizione per la codifica. In questo caso si hanno 8 combinazioni:  3 numeri positivi,  3 numeri negativi e  due rappresentazioni per lo 0 000 001 010 011 100 101 110 111 +0 +1 +2 +3 -0 -1 -2 -3 Rappresentazione in modulo e segno Esempio  Si converta nei corrispondenti numeri relativi decimali le seguenti rappresentazioni in modulo e segno su 5 bit:  10101  1 0101  ( - 5)10  01011 0 1011 ( + 11)10 Rappresentazione in modulo e segno Algoritmo di conversione decimale - binario  Per convertire un numero decimale in un numero binario espresso in modulo e segno con n bit occorre: 1. Indicare il bit di segno (MSB) 2. Rappresentare il valore assoluto del numero con n-1 bit Rappresentazione in modulo e segno Esempio  Si rappresentino i seguenti numeri relativi decimali in modulo e segno su 5 bit:  ( - 3)10  1 0011 10011  ( + 10)10  0 1010 01010 Rappresentazione in modulo e segno  Il problema consiste proprio nel fatto che il bit di segno è disgiunto dal resto della rappresentazione e quindi deve essere trattato a parte nei calcoli.  Tale rappresentazione non è adatta nelle operazioni aritmetiche eseguite nei calcolatori, alla quale si preferisce la notazione in complemento a due. Rappresentazione in Complemento a 2 Complemento alla base Per una generica base b, il complemento alla base b di un numero m si definisce come dove n è il numero di cifre con cui si rappresenta il numero. Si può dimostrare inoltre che vale la relazione ovvero che il complemento del complemento di un numero è pari al numero stesso. Rappresentazione in complemento a due  Si noti che la definizione di complemento a due può essere riscritta come  Qualunque sia il valore di n, il numero 2n− 1 è sempre rappresentabile da una sequenza di n bit tutti pari a 1.  Sottraendo m da tale valore si ottiene un numero binario pari a quello originario (m)2 ma con 0 e 1 scambiati tra loro (ovvero il complemento a 1 di m).  Aggiungendo il valore 1 a questo numero si ottiene il complemento a 2 di m. Rappresentazione in complemento a due  Algoritmo di conversione decimale - binario  Per convertire un numero decimale in un numero binario espresso in complemento a due con n bit occorre: 1. Rappresentare il valore assoluto in binario su n bit 2. Calcolare il complemento a 1 di tale valore binario e aggiungere il valore 1 (in binario) Rappresentazione in complemento a due  Algoritmo di conversione decimale - binario  Esempio  Si voglia rappresentare il numero m = –32 in complemento a due su 8 bit: Complemento a due Numero decimale relativo | Modulo e segno | Complemento a 1 | Complemento a 2 +7 O111 0111 0111 +6 O110 OLIO 0110 +5 O101 0101 0101 +4 0100 0100 0100 +3 0011 0011 0011 +2 0010 0010 0010 +1 0001 0001 0001 0 0000 0000 0000 1000 1111 -1 1001 1110 1111 2 1010 1101 1110 -3 1011 1100 1101 A 1100 1011 1100 -5 1101 1010 1011 -6 1110 1001 1010 -T 1lll 1000 1001 -8 - - 1000 Vantaggi del Complemento a due La rappresentazione in complemento a due è la più utilizzata in quanto, pur essendo meno intuitiva della rappresentazione in modulo e segno, presenta i seguenti pregi:  si possono usare le regole dell’aritmetica binaria senza segno  c’è una sola rappresentazione dello zero  la convenzione sul segno è rispettata  è verificata la proprietà X + (–X) = 0  scartando però il bit di riporto che si ottiene a sinistra del bit di segno Rappresentazione in Eccesso 2n-1 Rappresentazione in eccesso a 2n-1 Esempio  n = 5 bit  il valore da aggiungere a ogni numero è 2n−1 = 25−1 = 16 Rappresentazione in eccesso a 2n-1  Algoritmo di conversione binario – decimale  si decodifica il numero considerandolo espresso in binario secondo la codifica senza segno, e poi si sottrae il valore 2n−1. Confronto rappresentazioni Numero decimale Modulo e segno Complemento a 2 Eccesso 2n-1 +7 0111 0111 1111 +6 0110 0110 1110 +5 0101 0101 1101 +4 0100 0100 1100 +3 0011 0011 1011 +2 0010 0010 1010 +1 0001 0001 1001 0 0000 1000 0000 ---- 1000 ---- -1 1001 1111 0111 -2 1010 1110 0110 -3 1011 1101 0101 -4 1100 1100 0100 -5 1101 1011 0011 -6 1110 1010 0010 -7 1111 1001 0001 -8 ---- 1000 0000