Scarica Rappresentazione numerica: numeri relativi (pt3) e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Elementi di Informatica solo su Docsity! Iodice Serena Rappresentazione numeri relativi Per rappresentare un intero con segno (+ o -) in binario ci sono 4 modi: ➢ Codifica in modulo e segno → propedeutica ➢ Codifica a eccesso K → modalità reale nel calcolatore ➢ Codifica complemento a 1 → da un accesso alla modalità reale del calcolatore ➢ Codifica complemento a 2 → modalità reale nel calcolatore Codifica in modulo e segno E’ necessario stabilire il numero di bit utilizzati! → altrimenti la codifica non è possibile Il primo bit a sinistra è riservato al SEGNO 0 = positivo (+) 1 = negativo (-) Gli n-1 bit restanti rappresentano il valore assoluto del numero in binario Esempio: rappresentare -1110 in binario con 8 bit 1 0 0 0 1 0 1 1 Intervallo di rappresentazione è quindi [-2n-1 +1 ; +2n-1 -1] NB: Questo tipo di rappresentazione, però, dimezza l’intervallo dei valori assoluti rappresentabili Osservazioni: • L’intervallo di rappresentazione è simmetrico • Posso avere una doppia rappresentazione dello 0 (+0 e -0) • Le operazioni algebriche di addizione e sottrazione, dal punto di vista elettronico, risultano complicate a causa della gestione del segno Conversione dalla rappresentazione modulo e segno alla base decimale • il bit più significativo (più a sinistra) codificato come segno • i restanti n-1 bit codificati come numeri naturali Vantaggi e svantaggi della rappresentazione modulo e segno Vantaggio: dal punto di vista operativo coincide con la nostra rappresentazione usuale del segno Svantaggio: richiede algoritmi aritmetici più complessi e quindi circuiti più articolati per implementare operazioni di somma e differenza (vedi tabella di sottrazione) → da evitare ricorrendo a codifiche alternative 1110 - Riduce il range a [0; 2n-1 -1] rispetto al range dei numeri naturali che è [0, 2n -1], perché un bit lo perdo per indicare il segno Iodice Serena Codifica in eccesso K Utilizzata nella rappresentazione dei numeri in virgola mobile (adottata per i numeri reali) Procedimento: consiste nel trasformare tutti gli interi negativi in valori ≥ 0 , traslandoli di una costante K che corrisponde al modulo del numero negativo più piccolo appartenente all’intervallo iniziale [-K ; A] In questo modo ottengo un nuovo intervallo di rappresentazione ≥ 0 [0 ; A + K], composta solo da numeri interi positivi che possono essere ora rappresentati in notazione binaria pura come i numeri naturali Si può verificare che: • la rappresentazione in eccesso k della somma di due numeri x e y si ottiene sommando le due rappresentazioni in eccesso k, e poi sottraendo dal risultato la costante k → semplicità di somma e sottrazione (a differenza del modulo e segno) (x + k) + (y + k) = x + y + 2k togliendo k ottengo: x + y + k (= rappresentazione in eccesso k della somma x + y) • la codifica conserva il verso delle disuguaglianze Se X1 e X2 sono i valori originali e x1 e x2 le rispettive rappresentazioni in eccesso K, allora: se x1 > x2 → X1 > X2 • Moltiplicazioni e divisioni sono invece più complesse → questa rappresentazione è adoperata nelle somme algebriche o confronti logici, come le operazioni con le potenze Con n bit l'intervallo di rappresentazione per numeri naturali è [0 ; 2n-1] (le combinazioni sono 2n) La traslazione verso il basso di K posizioni di [0 ; 2n -1] determina un nuovo intervallo [‐ K ; 2n ‐ 1 ‐ K] che costituisce il range di rappresentabilità originale della codifica in eccesso-K. Per ottenere, mediante una traslazione, un intervallo simmetrico rispetto allo zero lo standard IEEE 754 ha adottato come K il valore K=2n-1-1. Pertanto il range di rappresentabilità per l'eccesso-K nello lo standard IEEE 754 diventa: [0 ; 2n-1] → [0-K ; 2n-1-k] = [-(2n-1-1) ; 2n-1-(2n-1-1) = [-2n-1+1 ; 2n-2n-1] = [-2n-1+1 ; 2n-1∙ (2-1)] = [-2n-1+1 ; 2n-1] → range di rappresentabilità per l’eccesso-K con K = 2n‐1‐1 Esempio: Convertire il numero relativo -106 nella notazione in eccesso-K a 8 bit utilizzando come K lo stesso valore adottato dallo standard IEEE 754 per la rappresentazione in virgola mobile dell'esponente, ovvero K=2n-1 - 1. Soluzione: Con 8 bit K=27-1 =127 (chiamato eccesso-127) quindi l'intervallo di rappresentazione diventa: [-27+1 ; 27]= [- 127,128]. Il valore -106 appartiene a tale range pertanto convertiamo in binario -106+K = -106+127 = 21. Convertiamo 21 come per i numeri naturali L’intero negativo più piccolo (-k) verrà rappresentato da una sequenza di bit composta da tutti zero - K | A | 0 | 0 | - K | A + K | A | +K
