Regime dello Sconto Commerciale: Calcolo Prezzi e Montanti in Base al Tempo - Prof. Sibill, Schemi e mappe concettuali di Matematica Finanziaria

Scarica Regime dello Sconto Commerciale: Calcolo Prezzi e Montanti in Base al Tempo - Prof. Sibill e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity! 1 Regime dello Sconto Commerciale onsideriamo una operazione finanziaria di acquisto di un BOT il 7 gennaio con scadenza 15 giugno (la cui durata è quindi pari a 159 giorni1). Supponiamo di voler rivendere tale BOT dopo 30 giorni dalla data di acquisto (quindi il 6 febbraio), al prezzo P06/02/.. incognito (si veda la Figura 1). Qual è il prezzo di vendita? Sicuramente possiamo affermare che Px’>Px, altrimenti l’acquirente del titolo non avrebbe percepito alcun interesse nei 30 giorni in cui ha detenuto il titolo. Analogamente risulterà Px’<My, in quanto anche chi deterrà il titolo tra x’ e y deve percepire un interesse. Px My -98,5 Px’=? 100 07/01/.. 06/02/.. 15/06/.. x x’ y Figura 1 Le diverse modalità con cui si forma tale interesse dipendono dal regime finanziario prescelto. Ipotizziamo che lo sconto prodotto dal capitale esigibile a scadenza sia proporzionale alla durata dell’operazione finanziaria di anticipazione; 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑀 − 𝑃 = 100€ − 98,5€ = 1.5€ è lo sconto prodotto in 159 giorni (y-x), per calcolare lo sconto relativo a 129 giorni (da x’ a y) impostiamo una semplice proporzione:        ':,':, xyyxDxyyxD  Nel nostro esempio si ottiene:         €21698113,1 159 129159129 cui da 129:129159:159   DD DD 1 Nell’ipotesi di riferirci ad un anno non bisestile. C 2 E quindi il prezzo del BOT in data 6 febbraio risulterà dalla differenza tra il valore nominale di rimborso all’epoca 15 giugno e lo sconto appena calcolato: 𝑃 ′ = 𝑀 − 𝐷(𝑥′, 𝑦) (1) ovvero:   €78302,98€21698113,1€00,100129/06/15/02/06   DMP Se indichiamo con d lo sconto applicato ad 1€ per effetto dell’anticipazione di 1 periodo unitario, ipotizzare che lo sconto sia proporzionale al tempo vuol dire che lo sconto ottenuto da y a x è pari a   )(, xydyxd  ovvero, posto 𝑡 = 𝑦 − 𝑥, la legge di formazione dello sconto unitario in funzione della durata t dell’operazione finanziaria, dato il tasso annuo di sconto d è 𝑑(𝑡) = 𝑑 ⋅ 𝑡 (2) La (2) rappresenta la legge dello sconto unitario in un “nuovo” regime: il regime dello sconto commerciale. Dalla (2) otteniamo le altre leggi del regime di sconto commerciale: -la legge del valore attuale unitario 𝑣(𝑡) = 1 − 𝑑 ⋅ 𝑡 (3) -la legge di formazione del montante 𝑟(𝑡) = 1 1 − 𝑑(𝑡) = 1 1 − 𝑑 ⋅ 𝑡 -la legge di formazione dell’interesse 𝑖(𝑡) = 𝑑(𝑡) 1 − 𝑑(𝑡) = 𝑑 ⋅ 𝑡 1 − 𝑑 ⋅ 𝑡 Il regime dello sconto commerciale è valido solo per durate inferiori a d 1 , infatti, la funzione del valore attuale deve essere sempre positiva, dunque: 5 Indichiamo con MS il montante ottenuto in regime di interesse semplice, e con MC quello ottenuto in regime di sconto commerciale: MS=P(1+it)=200,00€    305,01 233,00€ MC=P   €07,237 1 1 1200 1 12001                   t i idttv In questo caso è preferibile investire in regime di sconto commerciale perché MC> MS. Tale risultato dipende strettamente dalla durata dell’operazione finanziaria: sia la durata dell’investimento pari a 5 mesi, calcoliamo i due montanti: MS=P(1+it)=200€(1+   12 505.0 204,58€ MC=   €44,204 12 5 05.01 05.01 1€200 1 1 1€200 1 1€2001                                   t i idttv P In questo secondo caso sarà preferibile investire in regime di interesse semplice perché MS>MC. Possiamo generalizzare tali conclusioni? In altri termini, nei limiti di applicabilità del regime di sconto commerciale, quale regime è preferibile tra il regime di interesse semplice e quello di sconto commerciale in caso di operazioni finanziarie di investimento? È sufficiente calcolare per quali durate t il montante unitario  RIStr prodotto in regime di capitalizzazione semplice risulta maggiore di quello prodotto in regime di sconto commerciale  RSCtr    RSCRIS trtr  ovvero: 6 i it ti    1 1 11   0 1 11 22    tii ititititii Ricordando che il denominatore è sicuramente diverso da zero, in quanto per ipotesi d t 1  e quindi i it   1 , possiamo studiare il segno del numeratore e del denominatore:  numeratore:   022  titi per t  (0,1);  denominatore: 01  tii per i it   1 (e quindi sempre, visto che per durate maggiori il regime dello sconto commerciale non può essere applicato). Figura 3: confronto fra montanti unitari in RIS e in RSC rRIS(t) rRSC(t) 0 1 t -- - ist - (it) 2 -E 1UrsC= Fole IPerbolica Unis= Hit LINEARE 7 Figura 4: confronto fra valori attuali unitari in RIS e in RSC In conclusione, il regime dell’interesse semplice produce un montante maggiore di quello prodotto in regime di sconto commerciale nel caso di operazioni finanziarie con durata inferiore all’unità di tempo. Per durate nulle, o pari ad uno, i due regimi producono lo stesso montante2. Il discorso si inverte se parliamo di operazioni di anticipazione: il valore attuale prodotto in regime di sconto commerciale è maggiore di quello prodotto in regime di interesse semplice per t  (0,1), infatti, indicato con v(t)RSC il valore attuale unitario in regime di sconto commerciale e con v(t)RIS, risulta3      1,0 ttvtv RISRSC Ovviamente, per t=0 e t=1 il valore attuale unitario nei due regimi coincide. Se i tassi di sconto per periodo unitario sono variabili, e rispettivamente supponiamo che valga il tasso 𝑑(𝑡 , 𝑡 ) per il periodo [𝑡 ; 𝑡 ], il tasso 𝑑(𝑡 , 𝑡 ) per il periodo [𝑡 ; 𝑡 ], e così via (si veda la Figura 5) con la condizione che ∑ [𝑡 − 𝑡 ] = 𝑡 la (3) diviene: 𝑣(𝑡) = 1 − 𝑑(𝑡 ; 𝑡 ) ⋅ [𝑡 − 𝑡 ] − 𝑑(𝑡 ; 𝑡 ) ⋅ [𝑡 − 𝑡 ]−. . . −𝑑(𝑡 ; 𝑡 ) ⋅ [𝑡 − 𝑡 ] 2 Si veda la Figura 3. 3 Si veda la Figura 4. vRIS(t) 1 vRSC(t) 0 1 Trsn=1-dt Neare Vris=1 IPERBOLIEA 1+i e periodi han unitari 10 Ricordando che 𝑡 = ∑ [𝑡 − 𝑡 ] è evidente che il tasso di sconto medio (5) è la media aritmetica ponderata dei tassi di sconto di mercato. In Figura 7 è riportato il risultato ottenuto e la relativa formula. Figura 7 Il regime dello sconto commerciale è coerente con l’ipotesi di mercati perfetti? No. Infatti se, tornando all’esempio sul titolo acquistato il 7 gennaio, calcoliamo il prezzo al 6 febbraio come valore attuale del capitale M(y) esigibile il 15 giugno otteniamo, ricordando che M(y)=100€ e che il tasso annuo di sconto in regime di sconto commerciale è 𝑑 = 3.4434%: 𝑃(𝑥 ) = 100€ ⋅ 1 − 𝑑 ⋅ 129 365 = 98.783€ Se calcoliamo il prezzo come capitalizzazione del prezzo di acquisto, ricordando che 𝑟(𝑡) = 1 𝑣(𝑡) otteniamo: 𝑃∗(𝑥 ) = 98.5€ 1 − 𝑑 ⋅ 30365 = 98.778€ Alle stesse conclusioni possiamo arrivare verificando che in regime di sconto commerciale 𝑣(𝑡 + 𝑡 ) ≠ 𝑣(𝑡 ) ⋅ 𝑣(𝑡 ) : 11 𝑣(𝑡 + 𝑡 ) = 1 − 𝑑 ⋅ (𝑡 + 𝑡 ) Sicuramente diverso da 𝑣(𝑡 ) ⋅ 𝑣(𝑡 ) = [1 − 𝑑 ⋅ 𝑡 ] ⋅ [1 − 𝑑 ⋅ 𝑡 ]