riassunti e definizioni, Schemi e mappe concettuali di Logica

Scarica riassunti e definizioni e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Logica solo su Docsity! LA LOGICA SIMBOLICA Date le difficoltà che si incontrano quando si voglia impiegare il linguaggio comune nella scienza o il linguaggio comune nella deduzione, perché i termini del linguaggio comune non hanno sempre un unico significato, il significato dipende dal contesto. Necessità di introdurre la logica simbolica che permette di utilizzare simboli artificiali che hanno un significato unico, che gli è stato dato quando il simbolo è stato introdotto. Le operazioni che conducono da una espressione all’altra sono rette da leggi ben precise, in modo tale che il procedimento deduttivo si avvicina sempre di più all’ideale della deduzione matematica, cioè ad un calcolo. - La teoria degli insiemi ha avuto la sua origine con le ricerche del matematico Cantor al quale si deve una celebre frase, che qualcuno ancora oggi prende come una definizione del termine insieme: “Si chiama insieme una collezione di enti considerata come un tutto unico”. Utilizzeremo le lettere maiuscole per indicare gli insiemi: A, B, C,...,X,Y,Z... Supporremo noto il significato dell’espressione ‘elemento di un insieme’ che indicheremo con le lettere minuscole dell’alfabeto latino: a, b, c... Considerato l’insieme A di tutti i cittadini di Milano, e considerato un cittadino milanese Mario Rossi, diremo che il signor Rossi è un elemento dell’insieme dei milanesi 1. Relazioni tra insiemi: l’elemento di nome a appartiene all’insieme A: a ∈ A Due insiemi A e B sono uguali (A=B) se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa. A=insieme dei numeri pari, B=insieme dei numeri interi che divisi per 2 danno resto uguale a zero → A=B. La relazione tra due insiemi che viene simboleggiata con il simbolo ‘=’ possiede proprietà che sono analoghe a quelle della relazione di uguaglianza tra numeri: A=A proprietà riflessiva; Se A=B allora B=A proprietà simmetrica; Se A=B e B=C, allora A=C proprietà transitiva. I sottoinsiemi: Dati due insiemi A e B, si dice che A è sottoinsieme di B se avviene che ogni elemento di A è anche elemento di B: A⊆B Tutti e tre gli esempi corrispondono alla definizione di sottoinsieme (⊆ `e come ≤ per i numeri). Es: 10 ≤ 100; 50 ≤ 100; 100 ≤ 100 Sottoinsiemi propri: Dati due insiemi A e B, si dice che A è sottoinsieme proprio di B se avviene che ogni elemento di A è anche elemento di B, ma qualche elemento di B non è elemento di A. A⊂B. (⊂ `e come < per i numeri). Esempio: L’insieme dei numeri pari è un sottoinsieme proprio dell’insieme di tutti i numeri interi, ogni numero pari è anche intero, ma esistono numeri interi che non sono pari. Sottoinsiemi impropri: Nel caso in cui tutti gli elementi di A sono elementi di B e tutti gli elementi di B sono elementi di A si parla di sottoinsieme improprio. Ogni insieme è sottoinsieme improprio di sé stesso. Esempio: L’insieme dei numeri pari `e un sottoinsieme improprio dell’insieme di tutti i numeri interi che divisi per 2 danno resto uguale a 0. Relazione d’inclusione:  La relazione A ⊆ B tra due insiemi A e B viene spesso chiamata “relazione di inclusione” e l’insieme A viene detto ‘incluso’ nell’insieme B. Per essa valgono le seguenti proprietà: → proprietà antisimmetrica: se A⊆B e B⊆A, allora A=B → proprietà transitiva: se A⊆B e B⊆C, allora A⊆C  La relazione A⊂B viene detta “relazione di inclusione stretta” e l’insieme A si dice ‘strettamente incluso’ nell’insieme B. Per questa relazione valgono le seguenti proprietà transitive: se A⊂B e B⊆C, allora A⊂C se A⊆B e B⊂C, allora A⊂C se A⊂B e B⊂C, allora A⊂C.  a∈/A (a non `e elemento di A), A̸=B (A `e diverso da B) Insiemi finiti ed infiniti:  Insieme finito: insieme i cui elementi si possono enumerare. L’insieme delle vocali dell’alfabeto: {a, e, i, o, u}. Gli insiemi finiti sono quelli che non possono essere posti in corrispondenza biunivoca con una loro parte o sottoinsieme proprio.  Insieme infinito: insieme i cui elementi non si possono enumerare. L’insieme di tutti i numeri interi. Gli insiemi infiniti sono quelli che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con una loro parte o sottoinsieme proprio. Esempio: Consideriamo l’insieme dei numeri interi e l’insieme dei numeri interi al quadrato (cioè che risultano dal quadrato di un numero intero) → es. 4,9,16,25... questi vanno via via ‘rarefacendosi’ nella successione degli interi, ma sono anch’essi infiniti e possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri interi. Questo non avviene nel caso dell’insieme finito Determinazione di un sottoinsieme: o Un sottoinsieme A di un insieme dato B si può ottenere imponendo agli elementi di B una condizione logica. Esempio: - B=insieme dei numeri interi - la condizione logica “x `e un numero che diviso per due, da come resto lo zero” è espressa con il simbolo D(x) - l’insieme A dei numeri pari viene rappresentato con il simbolo seguente: A = {x/x ∈ B, D(x)} - A `e l’insieme degli oggetti x che sono numeri interi (x ∈ B) e sono tali che la condizione D(x) sia soddisfatta. o E’ possibile che le condizioni imposte agli elementi di B non siano soddisfatte. Es: B=insieme parole lingua italiana. o D(x)=‘x `e una parola della lingua italiana le cui ultime lettere sono: ywzth’ non vi è nessuna parola della lingua italiana che soddisfa queste condizioni. o L’insieme delle parole italiane che soddisfano la condizione formulata A = {x/x ∈ B, D(x)} `e vuoto → ∅. 2. Operazione tra gli insiemi: Intersezione: Considerati due insiemi, A e B, l’insieme intersezione è l’insieme costituito dagli elementi in comune tra i due. Esempio: A insieme dei milanesi, B insieme degli esseri umani biondi, l’insieme degli elementi comuni è rappresentato dall’insieme dei milanesi biondi. Tale insieme viene indicato col simbolo A∩B (A intersezione B). L’intersezione è logica dal simbolo ∩. L’operazione d’intersezione gode della proprietà commutativa: A∩B = B∩A Può avvenire che non esistano elementi in comune tra i due insiemi: A∩B = ∅ Qualsiasi sia A: A∩∅=∅