Riassunto metodi statistici, Schemi e mappe concettuali di Metodi Statistici Per L'impresa

Scarica Riassunto metodi statistici e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Metodi Statistici Per L'impresa solo su Docsity! TEORIA DELLA PROBABILITA’ La teoria della probabilità è il fondamento su cui è costruita tutta la STATISTICA, in quanto fornisce un mezzo per modellare la popolazione, gli esperimenti o tutto ciò che può essere considerato un fenomeno casuale. Attraverso questi modelli gli statistici sono in grado di trarre inferenze sulla popolazione, esaminando solo una parte dell’insieme. È fondamentale LA TEORIA DEGLI INSIEMI: La probabilità è una funzione d’insieme e gli insiemi sono il dominio di questa funzione. L’obiettivo degli statistici è arrivare a delle conclusioni su una popolazione effettuando un esperimento. Per prima cosa bisogna identificare SPAZIO CAMPIONARIO S, cioè tutti i possibili risultati. Ad esempio, nel lancio di una moneta, i possibili risultati sono 2: testa o croce. Gli spazi possono essere numerabili (n° finito di elementi) oppure non numerabili (n° infinito di elementi), questa distinzione fra gli spazi del campione numerabili e non numerabili è importante soltanto in quanto detta il senso in cui le probabilità possono essere assegnate. Per la maggior parte dei casi, questo non causa problemi, anche se il trattamento matematico delle situazioni è diverso. A livello filosofico, si potrebbe sostenere che ci può essere solo uno spazio di campionamento numerabile, dal momento che le misurazioni non possono essere effettuate con l'accuratezza infinita. Mentre in pratica questo è vero, i metodi probabilistici e statistici associati allo spazio di campionamento non numerabile sono in generale meno ingombranti di quelli per lo spazio di campionamento numerabile, e forniscono una stretta approssimazione alla vera situazione, che è quella numerabile. Poi una volta definito lo spazio del campione, siamo in grado di considerare le serie di possibili risultati di un esperimento. L’ EVENTO è una qualsiasi serie di possibili risultati di un esperimento. È un sottoinsieme dello spazio campionario S, incluso S stesso. Quindi, Sia A un evento e sottoinsieme di S. Diciamo che un evento si verifica quando il risultato dell’esperimento appartiene ad A. L’evento può avere anche più esiti, quindi basta che se ne verifichi uno per poter considerare l’evento realizzato. Quando si parla della probabilità, in generale parliamo della probabilità di un evento, piuttosto che di un insieme, ma possiamo usare i termini in modo intercambiabile. Abbiamo prima bisogno di definire formalmente le seguenti due relazioni, che ci permettono di ordinare ed equiparare gli insiemi  Esistono due importanti relazioni tra gli insiemi: Se A contenuto in B e x appartiene A allora x appartiene B (SOTTOINSIEME) Se A = B e A contenuto in B allora B contenuto in A (EGUAGLIANZA)  Dati due eventi A e B, possiamo effettuare delle operazioni elementari: UNIONE: l’unione di A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A, a B o ad entrambi A unito B = { x tale che x appartiene ad A o x appartiene B } INTERSEZIONE: l’intersezione tra A e B è cioè l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A e sia a B A intersecato B = { x tale che x appartiene ad A e x appartiene a B } COMPLEMENTAZIONE: il complementare di A è l’insieme degli elementi che non appartengono ad A A complementare = { x tale che x non appartiene ad A} TEOREMA: Dati gli eventi A, B e C, definiti in uno spazio campionario S, valgono le seguenti proprietà: PROPRIETA’ COMMUTATIVA: A unito B = B unito A A intersecato B = B intersecato A PROPRIETA’ ASSOCIATIVA: A unito ( B unito C) = ( A unito B) unito C A intersecato ( B intersecato C) = (A intersecato B) intersecato C PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA: A intersecato ( B unito C) = ( A intersecato B) unito ( A intersecato C) A unito ( B intersecato C) = ( A unito B) intersecato ( A unito C ) LEGGI DI MORGAN: (A unito B) complementare = A complementare intersecato B complementare (A intersecato B) complementare = A complementare unito B complementare DEFINIZIONE: Due eventi A e B si dicono DISGIUNTI o MUTUALMENTE ESLCUSIVI se non hanno nessun punto in comune, quindi: A intersecato B =  Ad esempio A : numeri pari B : numeri dispari 1.2 LE BASI DELLA TEORIA DELLA PROBABILITA’: Quando viene effettuato un esperimento, l’esito appartiene allo spazio campionario. Se l’esperimento viene ripetuto un certo n° di volte, possono verificarsi esiti differenti in ogni prova oppure alcuni risultati possono ripetersi nelle varie prove. Gli esiti più probabili sono quelli che si verificano più spesso, cioè hanno una maggiore frequenza. Se i risultati di un esperimento possono essere descritti probabilistica mente, stiamo andando ad analizzare statisticamente l'esperimento. Quindi ora dobbiamo descrivere alcune delle basi della teoria della probabilità. Non definiamo le probabilità in termini di frequenze, ma invece utilizziamo l'approccio assiomatico matematicamente più semplice. L'approccio assiomatico non riguarda le interpretazioni delle probabilità, ma riguarda solo il fatto che le probabilità sono definite da una funzione che soddisfa gli assiomi. Le interpretazioni delle probabilità sono tutt'altra questione. la "frequenza di occorrenza" di un evento è un esempio di una particolare interpretazione della probabilità. Un'altra possibile interpretazione è soggettiva, dove invece di pensare alla probabilità come alla frequenza, possiamo considerarla come una credenza nella possibilità che un evento si verifichi. 1.2.1 FONDAMENTI ASSIOMATICI: Per ogni evento A nello spazio campionario, vogliamo associare ad A un numero tra 0 e 1 che chiamiamo probabilità di A -> P(A). Non è possibile definire il dominio di P (cioè l’insieme in cui gli argomenti della funzione sono definiti) con ogni sottoinsieme di S. DEFINIZIONE: Una serie di sottoinsiemi S viene definito SIGMA ALGEBRA O CAMPO DI BOREL, indicato con β, se soddisfa 3 condizioni: - L’insieme vuoto è un elemento di β - β è un insieme chiuso per complementazione - β è un insieme chiuso per unioni numerabili Inoltre, l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi insieme.  contenuto in S Dal momento che S =  complementare, S è sempre contenuto in β . Inoltre, dalle leggi di Morgan ricaviamo che β è un insieme chiuso per intersezioni numerabili. DEFINIZIONE: Dato uno spazio campionario S e un sigma algebra β ad esso associato, la funzione di probabilità è una funzione P con dominio β che soddisfa gli ASSIOMI DI KOLMOGOROV: - P(A)  0  A appartenente β - la probabilità dell’evento certo è pari a 1 - La probabilità dell’unione di un numero finito di eventi disgiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi