Scarica Sintesi mediante equazioni di stato e più Dispense in PDF di Teoria Dei Circuiti Elettronici solo su Docsity! Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato A. Laudani December 31, 2016 A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato Da una funzione di trasferimento alle equazioni di stato Un approccio alternativo nella sintesi di funzioni di trasferimento mediante reti RC-Attive si basa sulla rappresentazione della funzione di trasferimento stessa in termini di equazioni di stato. Noi solitamente siamo abituati a ragionare in maniera diretta, ossia dal circuito ricaviamo le equazioni di stato, ma tramite opportune forme “canoniche” di rappresentazione è possibile fare il contrario. Éımportante notare che quanto faremo di seguito è abbastanza generale anche se il suo uso si limita solitamente alla sintesi di celle di ordine due. Partiamo da una funzione di trasferimento generica (sotto l’ipotesi che sia di grado minimo, ossia siano state fatte eventuali semplificazioni tra poli e zeri): F (s) = c0s m + c1s m−1 + c2s m−2 + · · · + cm−1s + cm sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · · + an−1s + an (1) A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato Infatti elaborando l’equazione sX (s) = AX (s) + BU(s), si trova: sX1(s) = X2(s) (4) sX2(s) = X3(s) (5) ... (6) sXn−1(s) = Xn(s) (7) sXn(s) = −anX1(s) − an−1X2(s) − · · · − a2Xn−1(s) − a1Xn(s) + U(s) (8) da cui snX1(s) = −anX1(s)−an−1sX1(s)−· · ·−a1sn−1X1(s) +U(s) (9) A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato A questo punto è facile trovare che: X1(s) U(s) = 1 sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · · + an−1s + an (10) e quindi anche X2(s) = sX1(s) = sU(s) sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · · + an−1s + an (11) X3(s) = sX2(s) = s 2X1(s) = (12) = s2U(s) sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · · + an−1s + an (13) ... (14) Xn(s) = sXn−1 = s n−1X1(s) (15) = sn−1U(s) sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · · + an−1s + an (16) A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato Ed essendo Y (s) = C · X troviamo Y (s) = [ cn−1 . . . c1 c0 ] · 1 sn+a1sn−1+a2sn−2+···+an−1s+an s sn+a1sn−1+a2sn−2+···+an−1s+an s sn+a1sn−1+a2sn−2+···+an−1s+an ... sn−1 sn+a1sn−1+a2sn−2+···+an−1s+an U(s) (17) e quindi Y (s) U(s) = F (s) = c0s n−1 + c1s n−2 + c2s n−3 + · · · + cn−2s + cn−1 sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · · + an−1s + an (18) A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato Il sistema di stato sarà: sX1(s) = X2(s) (20) sX2(s) = X3(s) (21) sX3(s) = −a3X1(s) − a2X2(s) − a1X3(s) + U(s) (22) e quindi x1(t) sarà l’integrale di x2(t) che a sua volta sarà l’integrale di x3(t), che a sua volta sarà l’integrale della somma tra x1(t), x2(t), x3(t) e u(t), pesata da −a3, −a2, −a1 e 1. Da cui lo schema a blocchi: A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato + u(t) x3(t) −a1 −a2 x2(t) x1(t) −a3 A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato Basta aggiungere l’uscita y che è la combinazione di x1, x2 e x3 ed è fatta. + u(t) x3(t) −a1 −a2 x2(t) x1(t) −a3 c0 c1 c2 + y(t) A. Laudani Sintesi di Funzioni di Trasferimento mediante le equazioni di stato
