Funzioni: Definizioni, Esempi e Proprietà, Dispense di Matematica Generale

Scarica Funzioni: Definizioni, Esempi e Proprietà e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! Funzioni Le funzioni October 8, 2009 Funzioni Sommario 1 Funzioni Definizioni di base Funzioni Esempio Consideriamo la funzione f : R → R che ad x ∈ R associa x2 − 3x. La funzione al numero 5 associa 52 − 3 · 5 = 10, al numero −1 associa il numero (−1)2 − 3(−1) = 4, al numero√ 2 associa ( √ 2)2 − 3 √ 2 = 2 − 3 √ 2. Definizione Sia f : A → B una funzione. Ad un elemento x ∈ A f associa un unico elemento di B, tale elemento verrà indicato con f (x) e verrà detto l’immagine dell’elemento x. Definizione Sia f : A → B una funzione e sia y ∈ B. Un elemento x ∈ A tale che f (x) = y si dice una controimmagine di y. Funzioni Esempio Consideriamo la funzione f : R → R che ad x ∈ R associa x2 − 3x. La funzione al numero 5 associa 52 − 3 · 5 = 10, al numero −1 associa il numero (−1)2 − 3(−1) = 4, al numero√ 2 associa ( √ 2)2 − 3 √ 2 = 2 − 3 √ 2. Definizione Sia f : A → B una funzione. Ad un elemento x ∈ A f associa un unico elemento di B, tale elemento verrà indicato con f (x) e verrà detto l’immagine dell’elemento x. Definizione Sia f : A → B una funzione e sia y ∈ B. Un elemento x ∈ A tale che f (x) = y si dice una controimmagine di y. Funzioni Esempio Consideriamo la funzione f : R → R che ad x ∈ R associa x2 − 3x. La funzione al numero 5 associa 52 − 3 · 5 = 10, al numero −1 associa il numero (−1)2 − 3(−1) = 4, al numero√ 2 associa ( √ 2)2 − 3 √ 2 = 2 − 3 √ 2. Definizione Sia f : A → B una funzione. Ad un elemento x ∈ A f associa un unico elemento di B, tale elemento verrà indicato con f (x) e verrà detto l’immagine dell’elemento x. Definizione Sia f : A → B una funzione e sia y ∈ B. Un elemento x ∈ A tale che f (x) = y si dice una controimmagine di y. Funzioni NOTA. L’immagine di un elemento x ∈ A esiste sempre ed è unica. Le controimmagini di un elemento y ∈ B potrebbero essere più di una oppure non esistere. Esempio E’ data la funzione f : R → R definita da f (x) = x3 − 2x + 3. Calcolare: a) f (0), f (−1), f (3); b) f (2x), 2f (x), f (x + 2), f (x) + 2; c) f (−x), −f (x), f (x2), f 2(x). Risposte: a) f (0) = 3, f (−1) = 4, f (3) = 24. b) f (2x) = 8x3 − 4x + 3, 2f (x) = 2x3 − 4x + 6, f (x + 2) = (x + 2)3 − 2(x + 2) + 3, f (x) + 2 = x3 − 2x + 5. c) f (−x) = −x3 + 2x + 3, −f (x) = −x3 + 2x − 3, f (x2) = x6 − 2x2 + 3, f 2(x) = (x3 − 2x + 3)2. Funzioni NOTA. L’immagine di un elemento x ∈ A esiste sempre ed è unica. Le controimmagini di un elemento y ∈ B potrebbero essere più di una oppure non esistere. Esempio E’ data la funzione f : R → R definita da f (x) = x3 − 2x + 3. Calcolare: a) f (0), f (−1), f (3); b) f (2x), 2f (x), f (x + 2), f (x) + 2; c) f (−x), −f (x), f (x2), f 2(x). Risposte: a) f (0) = 3, f (−1) = 4, f (3) = 24. b) f (2x) = 8x3 − 4x + 3, 2f (x) = 2x3 − 4x + 6, f (x + 2) = (x + 2)3 − 2(x + 2) + 3, f (x) + 2 = x3 − 2x + 5. c) f (−x) = −x3 + 2x + 3, −f (x) = −x3 + 2x − 3, f (x2) = x6 − 2x2 + 3, f 2(x) = (x3 − 2x + 3)2. Funzioni NOTA. L’immagine di un elemento x ∈ A esiste sempre ed è unica. Le controimmagini di un elemento y ∈ B potrebbero essere più di una oppure non esistere. Esempio E’ data la funzione f : R → R definita da f (x) = x3 − 2x + 3. Calcolare: a) f (0), f (−1), f (3); b) f (2x), 2f (x), f (x + 2), f (x) + 2; c) f (−x), −f (x), f (x2), f 2(x). Risposte: a) f (0) = 3, f (−1) = 4, f (3) = 24. b) f (2x) = 8x3 − 4x + 3, 2f (x) = 2x3 − 4x + 6, f (x + 2) = (x + 2)3 − 2(x + 2) + 3, f (x) + 2 = x3 − 2x + 5. c) f (−x) = −x3 + 2x + 3, −f (x) = −x3 + 2x − 3, f (x2) = x6 − 2x2 + 3, f 2(x) = (x3 − 2x + 3)2. Funzioni Esempio Consideriamo l’insieme E di tutti gli studenti iscritti al primo anno di Economia. Ad ogni studente associamo il mese di nascita (espresso in numero). Si ha così una funzione f : E → {1, 2, 3, ..., 12}. Rossi è nato in marzo, Bianchi in giugno, Verdi in marzo. f ({Rossi, Bianchi, Verdi}) = {3, 6}, f−1({11, 12}) è l’insieme costituito da tutti gli studenti iscritti al primo anno di Economia nati in novembre o dicembre. Funzioni Esempio Consideriamo l’insieme E di tutti gli studenti iscritti al primo anno di Economia. Ad ogni studente associamo il mese di nascita (espresso in numero). Si ha così una funzione f : E → {1, 2, 3, ..., 12}. Rossi è nato in marzo, Bianchi in giugno, Verdi in marzo. f ({Rossi, Bianchi, Verdi}) = {3, 6}, f−1({11, 12}) è l’insieme costituito da tutti gli studenti iscritti al primo anno di Economia nati in novembre o dicembre. Funzioni Esempio Consideriamo l’insieme E di tutti gli studenti iscritti al primo anno di Economia. Ad ogni studente associamo il mese di nascita (espresso in numero). Si ha così una funzione f : E → {1, 2, 3, ..., 12}. Rossi è nato in marzo, Bianchi in giugno, Verdi in marzo. f ({Rossi, Bianchi, Verdi}) = {3, 6}, f−1({11, 12}) è l’insieme costituito da tutti gli studenti iscritti al primo anno di Economia nati in novembre o dicembre. Funzioni Definizione Una funzione f : A → B si dice iniettiva se ∀x1, x2 ∈ A con x1 6= x2 si ha f (x1) 6= f (x2) (cioè se ad elementi distinti di A associa elementi distinti di B). Definizione Una funzione f : A → B si dice suriettiva se Im f = B (cioè se ogni elemento di B possiede almeno una controimmagine). Definizione Una funzione f : A → B si dice biettiva se essa è sia iniettiva che suriettiva. Funzioni Definizione Una funzione f : A → B si dice iniettiva se ∀x1, x2 ∈ A con x1 6= x2 si ha f (x1) 6= f (x2) (cioè se ad elementi distinti di A associa elementi distinti di B). Definizione Una funzione f : A → B si dice suriettiva se Im f = B (cioè se ogni elemento di B possiede almeno una controimmagine). Definizione Una funzione f : A → B si dice biettiva se essa è sia iniettiva che suriettiva. Funzioni Definizione Una funzione f : A → B si dice iniettiva se ∀x1, x2 ∈ A con x1 6= x2 si ha f (x1) 6= f (x2) (cioè se ad elementi distinti di A associa elementi distinti di B). Definizione Una funzione f : A → B si dice suriettiva se Im f = B (cioè se ogni elemento di B possiede almeno una controimmagine). Definizione Una funzione f : A → B si dice biettiva se essa è sia iniettiva che suriettiva. Funzioni NOTA. Per verificare che una funzione è iniettiva si può verificare anche che: ∀x1, x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2. Esempio Sia f : N → N definita da f (n) = 3n − 1. La funzione è iniettiva infatti se f (n1) = f (n2) allora 3n1 − 1 = 3n2 − 1 dunque n1 = n2 e per la nota precedente si ha la tesi. La funzione non è suriettiva infatti 1 6∈ Im f . Funzioni Esempio La funzione f : R → R definita da f (x) = x2 non è iniettiva infatti f (−2) = f (2) = 4. Non è nemmeno suriettiva in quanto il quadrato di un numero reale non può essere negativo quindi −3 6∈ Imf . Quindi la funzione non è neanche biettiva. Esempio La funzione f : R → R definita da f (x) = x3 è iniettiva f (x1) = f (x2) =⇒ x31 = x32 =⇒ x1 = x2. E’ anche suriettiva in fatti dato y ∈ R il numero 3√y è una sua controimmagine, dunque Im f = R. La funzione data è quindi biettiva. Funzioni Definizione Data una funzione f : A → B e considerato il prodotto cartesiano A × B, chiamiamo grafico di f il sottoinsieme Gf di A × B dato da Gf = {(x , y) ∈ A × B : x ∈ A, y = f (x)}. Esempio Sia f : R → R definita da f (x) = 2x + 3. Il suo grafico sarà un sottoinsieme di R2 = R × R definito dalle coppie (x , y) tali che y = f (x), cioè y = 2x + 3. Possiamo rappresentare R2 nel piano cartesiano, in tal modo il grafico è costituito da tutti i punti (x , y) del piano cartesiano tali che y = 2x + 3. Si tratta quindi della retta di equazione y = 2x + 3. Funzioni Grafici Disegnare i grafici delle funzioni f : R → R definite da: 1 f (x) = x2, 2 f (x) = x2 − 2x , 3 f (x) = |x |, 4 f (x) = |x − 1|, 5 f (x) = |x + 1| − 3, 6 f (x) = 1x , 7 f (x) = 1x−2 + 1, 8 f (x) = { x + 1 se x ≥ 0 2x − 3 se x < 0 ; Funzioni Grafici Disegnare i grafici delle funzioni f : R → R definite da: 1 f (x) = x2, 2 f (x) = x2 − 2x , 3 f (x) = |x |, 4 f (x) = |x − 1|, 5 f (x) = |x + 1| − 3, 6 f (x) = 1x , 7 f (x) = 1x−2 + 1, 8 f (x) = { x + 1 se x ≥ 0 2x − 3 se x < 0 ; Funzioni Grafici Disegnare i grafici delle funzioni f : R → R definite da: 1 f (x) = x2, 2 f (x) = x2 − 2x , 3 f (x) = |x |, 4 f (x) = |x − 1|, 5 f (x) = |x + 1| − 3, 6 f (x) = 1x , 7 f (x) = 1x−2 + 1, 8 f (x) = { x + 1 se x ≥ 0 2x − 3 se x < 0 ; Funzioni Grafici Disegnare i grafici delle funzioni f : R → R definite da: 1 f (x) = x2, 2 f (x) = x2 − 2x , 3 f (x) = |x |, 4 f (x) = |x − 1|, 5 f (x) = |x + 1| − 3, 6 f (x) = 1x , 7 f (x) = 1x−2 + 1, 8 f (x) = { x + 1 se x ≥ 0 2x − 3 se x < 0 ; Funzioni Grafici Disegnare i grafici delle funzioni f : R → R definite da: 1 f (x) = x2, 2 f (x) = x2 − 2x , 3 f (x) = |x |, 4 f (x) = |x − 1|, 5 f (x) = |x + 1| − 3, 6 f (x) = 1x , 7 f (x) = 1x−2 + 1, 8 f (x) = { x + 1 se x ≥ 0 2x − 3 se x < 0 ; Funzioni Grafici Disegnare i grafici delle funzioni f : R → R definite da: 1 f (x) = x2, 2 f (x) = x2 − 2x , 3 f (x) = |x |, 4 f (x) = |x − 1|, 5 f (x) = |x + 1| − 3, 6 f (x) = 1x , 7 f (x) = 1x−2 + 1, 8 f (x) = { x + 1 se x ≥ 0 2x − 3 se x < 0 ; Funzioni Esercizi Le funzione definite sono definite nel loro campo di esistenza. In tutti i casi dire se la funzione è iniettiva, suriettiva, biettiva. 1 f (x) = x2 + 1. Calcolare f ([−2, 3], Im f , f−1([0, 4]). 2 f (x) = 2x−3 . Calcolare f ((2, 3], Im f , f−1([−1, 1]). 3 f (x) = x |x |. Calcolare f ((−2, 3), Im f , f−1((−2, 3]). 4 f (x) = int(x). Calcolare f ((2, 6)), Im f , f−1((−2, 4]). 5 f (x) = { −x + 1 se x < 0 2x − 3 se x ≥ 0 ; Calcolare f ([−2, 3]), Im f , f−1([0, 5]). 6 f (x) = { −3x + 2 se x < 0 2 se x ≥ 0 ; Calcolare f ([−5, 3]), Im f , f−1([1, 3]). Funzioni Esercizi Le funzione definite sono definite nel loro campo di esistenza. In tutti i casi dire se la funzione è iniettiva, suriettiva, biettiva. 1 f (x) = x2 + 1. Calcolare f ([−2, 3], Im f , f−1([0, 4]). 2 f (x) = 2x−3 . Calcolare f ((2, 3], Im f , f−1([−1, 1]). 3 f (x) = x |x |. Calcolare f ((−2, 3), Im f , f−1((−2, 3]). 4 f (x) = int(x). Calcolare f ((2, 6)), Im f , f−1((−2, 4]). 5 f (x) = { −x + 1 se x < 0 2x − 3 se x ≥ 0 ; Calcolare f ([−2, 3]), Im f , f−1([0, 5]). 6 f (x) = { −3x + 2 se x < 0 2 se x ≥ 0 ; Calcolare f ([−5, 3]), Im f , f−1([1, 3]). Funzioni Esercizi Le funzione definite sono definite nel loro campo di esistenza. In tutti i casi dire se la funzione è iniettiva, suriettiva, biettiva. 1 f (x) = x2 + 1. Calcolare f ([−2, 3], Im f , f−1([0, 4]). 2 f (x) = 2x−3 . Calcolare f ((2, 3], Im f , f−1([−1, 1]). 3 f (x) = x |x |. Calcolare f ((−2, 3), Im f , f−1((−2, 3]). 4 f (x) = int(x). Calcolare f ((2, 6)), Im f , f−1((−2, 4]). 5 f (x) = { −x + 1 se x < 0 2x − 3 se x ≥ 0 ; Calcolare f ([−2, 3]), Im f , f−1([0, 5]). 6 f (x) = { −3x + 2 se x < 0 2 se x ≥ 0 ; Calcolare f ([−5, 3]), Im f , f−1([1, 3]).