Spazi Euclidei, Appunti di Geometria

Scarica Spazi Euclidei e più Appunti in PDF di Geometria solo su Docsity! Politecnico di Milano Spazi Euclidei Geometria e Algebra Lineare Omogrosso Marco A. A. 2020/2021 Indice Punti e Vettori Geometrici ..................................................................................................................................................... 1 Distanze ed Angoli .................................................................................................................................................................. 1 Norma ...................................................................................................................................................................................... 2 Prodotto scalare ...................................................................................................................................................................... 2 Prodotto Vettore ..................................................................................................................................................................... 3 Prodotto Misto ........................................................................................................................................................................ 3 Disuguaglianze notevoli .......................................................................................................................................................... 4 Angolo tra due vettori ............................................................................................................................................................. 4 Teoremi Caratteristici ............................................................................................................................................................ 5 Sottospazi Ortogonali ............................................................................................................................................................. 5 Basi ortogonali/ortonormali ................................................................................................................................................... 6 Matrici Ortogonali e Isometrie ............................................................................................................................................... 6 Proiezioni ortogonali .............................................................................................................................................................. 8 Matrice di Proiezione Ortogonale .......................................................................................................................................... 8 Endomorfismi Simmetrici ....................................................................................................................................................... 9 Teorema Spettrale .................................................................................................................................................................. 9 1 Punti e Vettori Geometrici Dato ℝ l’insieme dei numeri reali, consideriamo il prodotto cartesiano ℝ𝑛 = ℝ𝑥ℝ𝑥 …𝑥ℝ(𝑛𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒), cioè l’insieme delle n-ple di numeri reali. Ogni n-pla 𝐴 = (𝑥1 ,… , 𝑥𝑛) si dice punto di ℝ 𝑛 e l’elemento 𝑥𝑛 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) di 𝐴 si dice coordinata k-esima del punto. In questo insieme possiamo introdurre la struttura di spazio vettoriale reale, definendo un’operazione interna (+) ed un’operazione esterna (⋅). Si nota dunque che (ℝ𝑛, +) è un gruppo abeliano e che l’operazione esterna verifica gli assiomi di spazio vettoriale. ℝ𝑛, grazie alla struttura definita, prende il nome di spazio vettoriale canonico. Ad ogni punto 𝐴 = (𝑥1 ,… , 𝑥𝑛) corrisponde il vettore 𝑎 che rispetto alla base canonica 𝐶 = 𝑒1,… , 𝑒𝑛ha per componenti i numeri 𝑥1,… , 𝑥𝑛. 𝑎 = 𝑥1𝑒1 ,… , 𝑥𝑛𝑒𝑛 Esempio. Sia 𝑥 = [1,3,4,5] un vettore di ℝ4 , le sue coordinate rispetto alla base canonica sono (1,3,4,5) essendo 𝑥 = [1, 3,4, 5] = 1[1, 0,0, 0] + 3[0,1, 0,0] + 4[0,0, 1, 0]+ 5[0,0,0,1]. Teorema 1. Sia 𝑊 un sottoinsieme di ℝ𝑛. Allora 𝑊 un sottospazio proprio di ℝ𝑛 di dimensione 𝑘(1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1) se e solo se può essere rappresentato come insieme delle soluzioni di un opportuno sistema lineare omogeneo di 𝑛 − 𝑘 equazioni in 𝑛 incognite. Osservazione. Il precedente teorema ci consente di distinguere un sottospazio da un semplice insieme di ℝ𝑛. Distanze ed Angoli Il metodo fondamentale della Geometria Analitica consiste nell’associare ad una figura geometrica una o più relazioni algebriche le quali dipendono dallo spazio n-dimensionale in cui si lavora. Osservazione. Lo stesso ente geometrico pensato in spazi di dimensione diversa viene rappresentato da relazioni algebriche diverse. Distanza tra due punti In ℝ : Fissati unità di misura, origine e orientazione sulla retta di riferimento la distanza tra 𝐴 e 𝐵 è data dalla differenza delle loro distanze dall’origine. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = |𝑥𝑎 − 𝑥𝑏| In ℝ2 : 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(𝑥𝑎 −𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎 − 𝑦𝑏)2 In ℝ3 : 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(𝑥𝑎 −𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎 − 𝑦𝑏)2 + +(𝑧𝑎 − 𝑧𝑏)2 Punto Medio In ℝ : 𝑥𝑚 = 𝑥𝑎+𝑥𝑏 2 ( 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐵̅̅̅̅ ̅ ) In ℝ2 : 𝑥𝑚 = ( 𝑥𝑎+𝑥𝑏 2 , 𝑦𝑎+𝑦𝑏 2 ) In ℝ3 : 𝑥𝑚 = ( 𝑥𝑎+𝑥𝑏 2 , 𝑦𝑎+𝑦𝑏 2 , 𝑧𝑎+𝑧𝑏 2 ) 4 Disuguaglianze notevoli Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz |〈𝑥, 𝑦〉| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 Dimostrazione. Per 𝑥 = 0 𝑜 𝑦 = 0 la disuguaglianza è banalmente verificata. Supponiamo quindi che siano 𝑥, 𝑦 ≠ 0. Preso un qualsiasi numero reale 𝛼, abbiamo: 0 ≤ ‖𝑥 +𝛼𝑦‖2 = 〈𝑥+ 𝛼𝑦, 𝑥 + 𝛼𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑥〉 + 2𝛼〈𝑥, 𝑦〉 + 𝛼2〈𝑦, 𝑦〉 = ‖𝑥‖2 +2𝛼〈𝑥, 𝑦〉 + 𝑎2‖𝑦‖2 Pertanto, il trinomio ‖𝑥‖2 + 2𝛼〈𝑥, 𝑦〉 + 𝑎2‖𝑦‖2 è sempre positivo per ogni 𝛼 ∈ ℝ allora ∆ ≤ 0. Calcolando il discriminante: ∆= 〈𝑥, 𝑦〉2 − ‖𝑦‖2‖𝑥‖2 ≤ 0 e quindi: |〈𝑥, 𝑦〉| ≤ ‖𝑦‖‖𝑥‖. Osservazione. La precedente disuguaglianza è una proprietà che lega il prodotto scalare e la norma. Disuguaglianza triangolare ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 Dimostrazione. Sfruttando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: ‖𝑥 + 𝑦‖ = 〈𝑥+ 𝑦, 𝑥 + 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑥〉 + 2〈𝑥, 𝑦〉 + 𝛼2〈𝑦,𝑦〉 = ‖𝑥‖2 +2〈𝑥, 𝑦〉 + ‖𝑦‖2 ≤ ‖𝑥‖2 +2|〈𝑥, 𝑦〉| + ‖𝑦‖2 ≤ ‖𝑥‖2 + 2‖𝑥‖‖𝑦‖ + ‖𝑦‖2 = (‖𝑥‖ + ‖𝑦‖)2 Osservazione. In ogni triangolo la lunghezza di un lato è sempre minore della somma dei rimanenti. Angolo tra due vettori Sfruttando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è possibile ricavare l’angolo compreso tra due vettori. cos 𝜃 ∶= 〈𝑥, 𝑦〉 ‖𝑥‖‖𝑦‖ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ( 〈𝑥, 𝑦〉 ‖𝑥‖‖𝑦‖ ) Osservazione. −1 ≤ 〈𝑥,𝑦〉 ‖𝑥‖‖𝑦‖ ≤ 1 5 Teoremi Caratteristici Sia 𝑉 spazio vettoriale Euclideo allora possiamo enunciare i seguenti teoremi. Teorema di Carnot. ∀ 𝑣,𝑤 ∈ 𝑉 ⟹ ‖𝑣 +𝑤‖2 = ‖𝑣‖2 +‖𝑤‖2 +2cos𝛼 ‖𝑣‖‖𝑤‖ Dimostrazione. ‖𝑣 +𝑤‖2 = ‖𝑣‖2 +‖𝑤‖2 +2〈𝑣,𝑤〉 = (sapendo che cos𝜃 = 〈𝑥,𝑦〉 ‖𝑥‖‖𝑦‖ ) = ‖𝑣 + 𝑤‖2 = ‖𝑣‖2 + ‖𝑤‖2 + 2cos 𝛼 ‖𝑣‖‖𝑤‖ Teorema di Pitagora. ∀ 𝑣,𝑤 ∈ 𝑉 𝑒 𝑣 ⊥ 𝑤 ⟹ ‖𝑣 + 𝑤‖2 = ‖𝑣‖2 +‖𝑤‖2 Dimostrazione. Per definizione: 𝑣 ⊥ 𝑤 ⇔ 〈𝑣,𝑤〉 = 0 Dunque: ‖𝑣 +𝑤‖2 = ‖𝑣‖2 +‖𝑤‖2 +2〈𝑣,𝑤〉 = ‖𝑣‖2 + ‖𝑤‖2 Osservazione 1. Vale pitagora generalizzato: dati 𝑣1,… , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 e 𝑣𝑖 ⊥ 𝑣𝑗 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 allora ‖𝑣1 + ⋯+𝑣𝑛‖ 2 = ‖𝑣1‖ 2 +⋯+ ‖𝑣𝑛‖ 2 Osservazione 2. Dalla formula ‖𝑣 +𝑤‖2 = ‖𝑣‖2 +‖𝑤‖2 +2〈𝑣,𝑤〉 ricaviamo la formula di polarizzazione: 〈𝑣,𝑤〉 = ‖𝑣 +𝑤‖2 − ‖𝑣‖2 − ‖𝑤‖2 2 Sottospazi Ortogonali Sia 𝑉 uno spazio vettoriale Euclideo e 𝑆 ⊆ 𝑉 allora 𝑆⊥ = 𝑣 ∈ 𝑉: 𝑣 ⊥ 𝑤,∀𝑤 ∈ 𝑉 Proposizioni: 1. 𝑆⊥ ≤ 𝑉 2. 𝑆, 𝑇 ⊆ 𝑉 e 𝑆 ⊆ 𝑇 ⟹ 𝑇⊥ ⊆ 𝑆⊥ 3. 𝑆 = 𝐻 ≤ 𝑉 𝐻 = 𝑆𝑝𝑎𝑛(𝑣1,… , 𝑣𝑟) 𝑣 ∈ 𝐻 ⊥ ⟺ 𝑣 ⊥ 𝑣𝑖 ∀𝑖 = 1,… , 𝑟 4. 𝐻 ≤ 𝑉 ⟹ 𝐻 ∩𝐻⊥ = ∅ 5. 𝑉 = 𝐻 ⨁𝐻⊥ e ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝑣𝐻 +𝑣⊥ (𝑣⊥ = 𝑣− 𝑣𝐻) Osservazione. Sia 𝑣 ∈ 𝑉 e 𝐻 ≤ 𝑉 allora se 𝑣− ℎ ⊥ 𝐻 si ha ℎ = 𝑣𝐻 Definizione. Siano 𝐻1 𝑒 𝐻2 sottospazi affini di ℝ 3 sono: • Ortogonali se: 𝑊1 ⊥ 𝑊2 con 𝑊1 𝑒 𝑊2 spazi direttori di 𝐻1 𝑒 𝐻2. • Perpendicolari se: 𝑊1 ⊥ 𝑊2 con 𝑊1 𝑒 𝑊2 spazi direttori di 𝐻1 𝑒 𝐻2 (Ortogonali) 𝐻1 ∩ 𝐻2 = ∅ 6 Basi ortogonali/ortonormali Definizione 1. Sia 𝑉 uno spazio vettoriale euclideo e 𝑑𝑖𝑚(𝑉) = 𝑛 e sia ℬ = 𝑣1,… , 𝑣𝑛 una base di 𝑉. Allora diremo che: 1. ℬ è una base ortogonale se 𝑣𝑖 ⊥ 𝑣𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ {1,… , 𝑛} 𝑖 ≠ 𝑗. 2. ℬ è una base ortonormale se 𝑣𝑖 ⊥ 𝑣𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ {1,… , 𝑛} 𝑖 ≠ 𝑗 e se ‖𝑣𝑖‖ = 1 ∀ 𝑖 ∈ {1,… , 𝑛} Algoritmo di Gram-Schmidt Tale algoritmo è utilizzato per ricavare una base ortogonale/ortonormale. Sia 𝐻 = 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑢1 ,… , 𝑢𝑟 ≤ 𝑉 (𝐻 può essere anche 𝑉 e 𝑢1 ,… , 𝑢𝑟 sono una base di 𝐻). Si parte da un vettore qualsiasi e si tolgono man mano tutte le proiezioni dei nuovi vettori sui vettori precedenti: 𝑣1 ∶= 𝑢1 𝑣2 ∶= 𝑢2 − 〈𝑢2,𝑣1〉 ‖𝑣1‖ 2 𝑣1 𝑣3 ∶= 𝑢3 −( 〈𝑢3,𝑣1〉 ‖𝑣1‖2 𝑣1 + 〈𝑢3 ,𝑣2〉 ‖𝑣2‖2 𝑣2) ⋮ 𝑣𝑟 ∶= 𝑢𝑟 − 〈𝑢𝑟,𝑣1〉 ‖𝑣1‖ 2 𝑣1 − ⋯− 〈𝑢𝑟,𝑣𝑟−1〉 ‖𝑣𝑟−1‖ 2 𝑣𝑟−1 In questo modo otteniamo una base ortogonale per 𝐻 e per renderla ortonormale è sufficiente dividere ogni 𝑣𝑖 per ‖𝑣𝑖‖ ∀𝑖 = 1,… , 𝑟. Osservazione. il procedimento descritto consente di estrarre una base ortogonale da un insieme di vettori che non sono linearmente indipendenti. Matrici Ortogonali e Isometrie Definizione. Sia 𝑈 ∈ ℳ𝑛(ℝ), diremo che 𝑈 è ortogonale se 𝑈 𝑇 ∘ 𝑈 = 𝐼𝑛. L’insieme delle matrici ortogonali si indica 𝒪𝑛(ℝ). Osservazione. 𝑈 ∈ ℳ𝑛(ℝ) è ortogonale ⇔ le sue colonne formano una base ortonormale di ℝ 𝑛. Proprietà: 1. 𝑈,𝑉 ∈ 𝒪𝑛(ℝ) allora (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝒪𝑛(ℝ) 2. 𝑈 ∈ 𝒪𝑛(ℝ) allora 𝑑𝑒𝑡(𝑈) = ±1 3. 𝑈 ∈ 𝒪𝑛(ℝ) ⇔ 𝑈 −1 = 𝑈𝑇