Spazi vettoriali, Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica Spazi vettoriali e più Appunti in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica (V; +;°; k) dove: - Vè un insieme; - +è un’operazione binaria V+V--> V - « è un’operazione binaria esterna k x k --> V - Kè un campo SPAZIO VETTORIALE Le due operazioni svolgono le seguenti proprietà: PROPRIETA’ DELLA SOMMA: - Associativa (MV tv), VV MN, eV Esiste l'elemento neutro Joe V be. 04V=Vio = V È YVVeV Esiste l'opposto MVev, J-VevV te. Vi(M)=Vvs0 Commutativa Maia Vit, VV, EV PROPRIETA’ DEL PRODOTTO: - Associativa, d(B-V) = (1 P)Y VuPek, vVev - Esiste l'elemento neutro LV=V VV += Sotra «PRODOTTO Cav SCALARE - Legge distributiva (u4P)V = V4PV , du Pelk, Vev U(Vitvo) = aViuva , gek , WAMLEV Gli ELenenti DI V si CHIANANO VETTORI Esempio; Sia M®e(k) Consideriamo R° Ro -(( ..-X09) | Ki) ma ch} Xi ì Km Mai È uno spazio vettoriale con la somma e il prodotto con scalare come li abbiamo definiti sulle matrici nx1, stessa cosa si può fare con k®. Se (V, +,‘,k) è uno spazio vettoriale, si dice che: - Vè uno spazio vettoriale su k; - R?è uno spazio vettoriale su R; - C'è uno spazio vettoriale su C; - K? è uno spazio vettoriale su k; - M”(k) è uno spazio vettoriale su k PROPOSIZIONE: Sia V uno spazio vettoriale su k Sia Ock l'elemento neutro della somma nel campo, ---> 0:V = 0, VVeV DIMOSTRAZIONE: O-V = (0 + 0)V = 0V + O-V per una delle leggi distributive in V --> O-V = 0-V + 0-V Esiste l'opposto - O:V in V ---> - 0-V + 0-V = - 0.V + 0-V + 0-V OV=0V+0.V O-V = 0:V O, =0 Vv PROPOSIZIONE: Sia V spazio vettoriale suk ---> Oy30, Ye k Sia V uno spazio vettoriale su k Sia ek E sia Vek xVi0 < K=0 opa Vz0 Supponiamo x to Poiché we K 2) Ju gi Vo © die dlo, (=) 1Ve0, © VE, ‘Notaziong} Se W è un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V, si scrive W<V. Î ve csi = { (1a) | x-3 5 {ad hya BI ®se y37-0 =) 8,0,0) -(0;9,)cw Siano VW, € LU ya login) e (Bivart) vere R ZERI (tav 80%) ew WC CHivso RISPETTO A + e velo (je W (G0/07/03) eW \wv È eHmvso pisperro AL | Quindi We R