Spazi Vettoriali Geometria, Dispense di Geometria Lineare

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Fulvia Spaggiari Geometria 1 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Lo Spazio Vettoriale Euclideo E 3 = Spazio Euclideo tridimensionale della geometria elementare Ogni coppia (A,B) ∈ E 3 × E 3 é un segmento orientato di E 3 lunghezza di (A,B) = distanza euclidea tra i punti A e B Se A 6= B direzione di (A,B): rappresentata dalla retta per A e B e dalle rette parallele verso di (A,B): da A a B (senso della freccia) lunghezza di (A,B) Fulvia Spaggiari Geometria 2 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Per ogni segmento orientato (A,B), l’insieme {(X ,Y ) ∈ E 3 × E 3 : (X ,Y ) ≡ (A,B)} si dice vettore libero di E 3, indicato con −→ AB. Se (C ,D), ..., (X ,Y ) sono segmenti orientati equipollenti a (A,B), allora −→ AB = −→ CD = · · · = −→ XY Fulvia Spaggiari Geometria 5 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Indichiamo con −→ E 3 l’insieme dei vettori liberi. Proprietá: per ogni punto P ∈ E 3 e per ogni vettore libero −→ AB ∈ −→ E 3 esiste un solo punto Q ∈ E 3 tale che −→ PQ = −→ AB Fulvia Spaggiari Geometria 6 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Indichiamo i vettori con le lettere minuscole: a,b, c, ... , x,y, ... Ogni segmento orientato (A,B) che individua il vettore a ∈ −→ E 3 é un rappresentante di a a = −→ AB Fulvia Spaggiari Geometria 7 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Proprietá dell’addizione vettoriale 2) Proprietá commutativa a + b = b + a Fulvia Spaggiari Geometria 10 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Proprietá dell’addizione vettoriale 3) Esistenza del vettore nullo, indicato con 0, tale che a + 0 = 0 + a = a Se a = −→ AB, allora 0 = −→ BB a + 0 = −→ AB + −→ BB = −→ AB = a Fulvia Spaggiari Geometria 11 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Proprietá dell’addizione vettoriale 4) Esistenza del vettore opposto Per ogni a ∈ −→ E 3 esiste un vettore a′ ∈ −→ E 3 tale che a + a′ = a′ + a = 0 Se a = −→ AB, allora a′ = −→ BA a + a′ = −→ AB + −→ BA = −→ AA = 0 Il vettore opposto di a si indica con −a. Fulvia Spaggiari Geometria 12 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Moltiplicazione per scalari Fulvia Spaggiari Geometria 15 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Proprietá della moltiplicazione per scalari (λ+ µ)a = λa + µa (λµ)a = λ(µa) λ(a + b) = λa + λb per ogni a, b ∈ −→ E 3 e per ogni λ, µ ∈ R. Fulvia Spaggiari Geometria 16 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Esempio: (λ+ µ)a = λa + µa, con λ = 2, µ = 3 (2 + 3)a = 5a = 2a + 3a Fulvia Spaggiari Geometria 17 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo che soddisfano le seguenti proprietá: 1) Proprietá associativa (u + v) + w = u + (v + w) ∀u, v ,w ∈ V 2) Proprietá commutativa u + v = v + u ∀u, v ∈ V 3) Esiste il vettore nullo, 0 ∈ V , tale che v + 0 = 0 + v = v ∀v ∈ V 4) Per ogni vettore v ∈ V esiste v ′ ∈ V detto l’opposto di v tale che v + v ′ = v ′ + v = 0 L’opposto v ′ si indica con −v . Fulvia Spaggiari Geometria 20 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo 5) L’unitá del campo K é elemento neutro rispetto alla moltiplicazione per scalari 1u = u ∀u ∈ V 6) Proprietá “associativa” della moltiplicazione di due scalari per un vettore (λµ)u = λ(µu) ∀u ∈ V , ∀λ, µ ∈ K 7) Proprietá “distributiva” rispetto alla somma di scalari (λ+ µ)u = λu + µu ∀u ∈ V , ∀λ, µ ∈ K 8) Proprietá “distributiva” rispetto alla somma di vettori λ(u + v) = λu + λv ∀u, v ∈ V , ∀λ ∈ K Fulvia Spaggiari Geometria 21 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Primo modello fondamentale: Lo spazio vettoriale Kn K campo (Q, R, C) V = Kn = K×K× · · · ×K (n volte) l’insieme di tutte le n-ple ordinate di elementi del campo K. u = (u1, u2, . . . , un) ∈ Kn n-pla Casi particolari: V = K2 = K×K u = (u1, u2) ∈ K2 coppia (2-pla) V = K3 = K×K×K u = (u1, u2, u3) ∈ K3 terna (3-pla) Fulvia Spaggiari Geometria 22 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Le proprietá della moltiplicazione per scalari seguono immediatamente dalle proprietá associativa e distributiva della moltiplicazione del campo K 5) 1u = 1(u1, u2, . . . , un) = (u1, u2, . . . , un) = u 6) (λµ)u = λ(µu) ∀u ∈ Kn, ∀λ, µ ∈ K 7) (λ+ µ)u = λu + µu ∀u ∈ Kn, ∀λ, µ ∈ K 8) λ(u + v) = λu + λv ∀u, v ∈ Kn, ∀λ ∈ K Fulvia Spaggiari Geometria 25 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Esempio: Sia Kn = R4. Dati i vettori u = (1, 0, 3,−5), v = (5, 2, 1,−1), w = (3, 1, 2,−3), determinare il vettore 4u + 2v − 5w . 4u + 2v − 5w = 4(1, 0, 3,−5) + 2(5, 2, 1,−1)− 5(3, 1, 2,−3) = (4, 0, 12,−20) + (10, 4, 2,−2) + (−15,−5,−10, 15) = (14, 4, 14,−22) + (−15,−5,−10, 15) = (−1,−1, 4,−7) ∈ R4 Fulvia Spaggiari Geometria 26 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Secondo modello fondamentale: Lo spazio vettoriale delle matrici M(m, n;K) Siano m, n due numeri naturali e K un campo. Una matrice A di tipo (m,n) su K é una tabella di scalari A =  a1 1 a1 2 · · · a1 n a2 1 a2 2 · · · a2 n ... ... ... am1 am2 · · · amn  dove aij ∈ K. In forma compatta A = (aij) i=1,2,...,m j=1,2,...,n i=indice di riga j= indice di colonna aij é l’elemento di posto (i , j) nella matrice A. Fulvia Spaggiari Geometria 27 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Le matrici di tipo (1, n) si dicono matrici riga Le matrici di tipo (m, 1) si dicono matrici colonna La i-esima riga della matrice A = (aij) é la matrice di tipo (1, n) ai = ( ai1 ai2 · · · ain ) La j-esima colonna della matrice A = (aij) é la matrice di tipo (m, 1) aj =  a1 j a2 j ... amj  Fulvia Spaggiari Geometria 30 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Se λ ∈ K, A = (aij), B = (bi j ) ∈ M(m, n;K) definiamo sull’ insieme M(m, n;K) Addizione vettoriale A + B = C = (c i j ) dove c i j = aij + bi j Moltiplicazione per scalari λA = D = (d i j ) dove d i j = λaij per ogni i = 1, 2, . . . ,m e per ogni j = 1, 2, . . . , n Queste operazioni rendono M(m, n;K) uno spazio vettoriale su K Fulvia Spaggiari Geometria 31 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Infatti - le proprietá associativa e commutativa dell’addizione vettoriale seguono dalle analoghe proprietá dell’addizione del campo K - Il vettore nullo é la matrice nulla 0 =  0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... 0 0 · · · 0  - l’opposto di A = (aij) é la matrice −A = (−aij) - le proprietá (5) (6) (7) (8) della moltiplicazione per scalari sono di verifica immediata Fulvia Spaggiari Geometria 32 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Queste operazioni, dette anche addizione e moltiplicazione per scalari definite in modo puntuale, rendono V uno spazio vettoriale su K. Le proprietá associativa e commutativa dell’addizione in V seguono direttamente dalle analoghe proprietá dell’addizione del campo K. Il vettore nullo é l’applicazione nulla 0 : X → K definita da 0(x) = 0 per ogni x ∈ X L’opposto di f ∈ V é l’applicazione −f : X → K definita da (−f )(x) = −f (x) per ogni x ∈ X Le proprietá della moltiplicazione per scalari seguono direttamente dalle proprietá associativa e distributiva della moltiplicazione nel campo K. Fulvia Spaggiari Geometria 35 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Esempio: X = [0, 1], K = R, V = {f : [0, 1]→ R, f applicazione} Se f , g ∈ V sono definite da f (x) = x4 − 2x2 + x − 1 g(x) = 2x4 − x3 + 3 allora 2f − 3g : [0, 1]→ R é definita da (2f − 3g)(x) = 2f (x)− 3g(x) = 2(x4 − 2x2 + x − 1)− 3(2x4 − x3 + 3) = 2x4 − 4x2 + 2x − 2− 6x4 + 3x3 − 9 = −4x4 + 3x3 − 4x2 + 2x − 11 Fulvia Spaggiari Geometria 36 / 38 Spazi vettoriali Lo spazio vettoriale euclideo Definizione di Spazio Vettoriale Modelli Fondamentali Regole di calcolo Regole di calcolo Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Sussistono le seguenti proprietá e regole di calcolo: 1) Esiste un solo vettore nullo in V 2) Esiste un solo opposto per ogni vettore in V 3) Per ogni u, v ∈ V l’equazione x + u = v ammette l’unica soluzione x = v − u 4) Per ogni scalare λ ∈ K, si ha λ0 = 0 5) Per ogni vettore u ∈ V , si ha 0u = 0 6) Per ogni u ∈ V , si ha (−1)u = −u Fulvia Spaggiari Geometria 37 / 38