Spazio Vettoriale: Definizione, Sottospazi, Basi, Trasformazioni Lineari, Schemi e mappe concettuali di Matematica Generale

Scarica Spazio Vettoriale: Definizione, Sottospazi, Basi, Trasformazioni Lineari e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! Definizione di Spazio Vettoriale: • Uno spazio vettoriale su un campo F F 
 F è un insieme non vuoto V V 
 V dotato di due operazioni, l'addizione e la moltiplicazione per scalare, che soddisfano determinati assiomi. • L'addizione in uno spazio vettoriale è commutativa, associativa e ammette un elemento neutro (il vettore nullo). • La moltiplicazione per scalare è distributiva rispetto all'addizione sia degli scalari che dei vettori. • Gli assiomi di uno spazio vettoriale assicurano che le operazioni di addizione e moltiplicazione per scalare rispettino le proprietà intuitive dei vettori. Sottoinsiemi e Sottospazi Vettoriali: • Un sottoinsieme W W 
 W di uno spazio vettoriale V V 
 V è un sottospazio vettoriale di V V 
 V se è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per scalare. • Per verificare che W W 
 W sia un sottospazio vettoriale di V V 
 V, bisogna assicurarsi che: • L'elemento neutro di V V 
 V appartiene a W W 
 W. • W W 
 W sia chiuso rispetto all'addizione. • Le matrici possono essere utilizzate per rappresentare trasformazioni lineari. La matrice associata a una trasformazione lineare dipende dalle basi scelte per V V 
 V e W W 
 W. • Il nucleo di una trasformazione lineare è l'insieme dei vettori di V V 
 V che vengono mappati nel vettore nullo di W W 
 W. • L'immagine di una trasformazione lineare è l'insieme dei vettori di W W 
 W che sono immagini di qualche vettore di V V 
 V. • Il teorema del nucleo e del rango stabilisce una relazione tra la dimensione di V V 
 V, la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine di una trasformazione lineare.