Calcolo Integrale e Spazi Vettoriali - Prof. Peretti, Schemi e mappe concettuali di Matematica Generale

Scarica Calcolo Integrale e Spazi Vettoriali - Prof. Peretti e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! INTEGRALI: indicato con il simbolo∫, rappresenta una funzione primitiva di una funzione data. ● Come avviene in generale il calcolo di un integrale del tipo ∫ a b f (x )? Si calcola una primitiva della funzione e poi si calcola la differenza della primitiva agli estremi ● Cosa si intende con funzione integrale di una funzione f in un intervallo [a, b]? Si riferisce alla funzione f(x), che rappresenta l'area sottesa dalla curva di f(x), dove x è un punto variabile dell’intervallo [a, b] ● Perché l’integrale indefinito deve sempre prendere una costante arbitraria? (c) La presenza di una costante è essenziale perché quando si deriva una costante il risultato fa sempre zero. Aggiungendo una costante si tiene conto di tutte le possibili costanti che possono apparire quando si trova una primitiva. PRIMITIVA: è una funzione g(x) tale che g’(x)=f(x). INTEGRALE INDEFINITO: insieme delle primitive di f in I. INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI: INTEGRALI “QUASI” IMMEDIATI: INTEGRALE DI RIEMAN (definito): si suddivide l’intervallo in sotto intervalli, si considera il minimo e si trova l'area; si considera il massimo e si trova l'area; → con il minimo e` un'approssimazione per difetto; → con il massimo e` un'approssimazione per eccesso. Non coincide sempre con l’area della regione corrispondente perché ha alcune limitazioni (f non continue e punti di non discontinuità). CONDIZIONI DI INTEGRABILITÀ: F è integrabile se: (basta anche solo 1 di questi). ● f continua in [a,b]; ● f monotona in [a,b] (crescente o decrescente) ● f limitata e ha numero infinito di punti di discontinuità. TEOREMA FONDAMENTALE DI CALCOLO: - F continua anche se f(x) non lo è - Se F continua 🡪 derivabile e F’(x)= F(x) - ∫ a b f=G (b )−G (a ) , doveGèqualunque primitiva SPAZI VETTORIALI: sono modelli lineari più variabili. COMBINAZIONE LINEARE: somma o differenza tra più vettori. LINEAR. DIPENDENTI: Se esiste una combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli che mi danno vettore nullo. [detA=0] LINEAR. INDIPENDENTI: Se esiste una combinazione lineare con coefficienti nulli che mi danno vettore nullo. Quando metto i vettori al sistema e mi danno a=0; b=0; c=0. [detA diverso da 0]. VETTORI FONDAMENTALI: v1=(1,0,0); v2=(0,1,0); v3=(0,0,1); BASI DI Rn: un vettore e` base di Rn se il determinante e` diverso da 0 ed i vettori sono l.i. Sono infinite ma hanno lo stesso numero di vettori (Se base R2 ci devono essere 2 vettori, se R3= 3 vettori). =insieme di vettori che sono contemporaneamente generatori di Rn ed L.i. PRODOTTO SCALARE INTERNO <x,y>= somma dei prodotti delle rispettive componenti (=0 se ortogonali) *SOTTOSPAZI: i sottospazi non banali sono rette passanti per l’origine. DimS : 1 (RETTA), 2 (PIANO), 3 (R3) = RANGO NORMA EUCLIDEA: è la lunghezza del vettore che mi permette di definire la distanza di 2 punti. ||x||=√❑ LINEARITA’: se non ci sono termini noti e il polinomio è di 1 grado TRASFORMATI: sono le colonne della matrice di rappresentazione di f; il trasformato del 1 vettore fondamentale è la 1 colonna della matrice. ImF: è l’insieme dei valori (vettori) che assume f in Rn→ Imf e` uno SOTTOSPAZIO di Rn; MATRICI: ● MATRICE NULLA: con tutti 0; ● MATRICE QUADRATA: righe e colonne uguali; ● MATRICE DIAGONALE: tutti 0 tranne la diagonale; ● MATRICE TRASPOSTA: scambio righe con colonne (diagonale =)[A=AT]; ● MATRICE SIMMETRICA: matrice trasposta=matrice[AT=A]; ● MATRICE IDENTITÀ: ha come colonne i vettori fondamentali;. RANGO: massimo numero di righe/colonne l.i. (della Matrice A). [DimS : 1 (RETTA), 2 (PIANO), 3 (R3) =RANGO] Si commenti “Il rango di una matrice quadrata è sempre uguale al numero di colonne”: non è corretta, può essere al max il numero di colonne ma non lo è sempre. INVERTIBILE: se quadratica e Det≠0, e colonne l.i. DETERMINANTE: 1) Minore complementare: il determinante si trova eliminando riga e colonna di quel punto (aij)