Statica - Dispense - Parte 1 - Vettori liberi, Dispense di Statica

Scarica Statica - Dispense - Parte 1 - Vettori liberi e più Dispense in PDF di Statica solo su Docsity! Giuseppe Ferro Dispense di Statica x x x b x / \ atb / ? 4 A x vu x cui 4 b \ R= bb a Equivalenza sr Indice 1. I vettori liberi.........0 0000000» . 1.1 Generalità ... 1.2 Operazioni sui vettorì .. — 1.2.1 Somma di vettori ...... — 1.2.2 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare — 1,2.3 Prodotto scalare fra due vettori Li... 5 — 1.2.4 Prodotto vettore fra due vettori... 6 — 1.2.5 Prodotto misto ....... 0000 8 2. Algebra delle matrici ......... 19 » 2.1 Generalità ......... .9 è 2.2 Operazioni sulle matrici — 2.2.1 Uguaglianza di matrici .. — 2.2.2 Somma e differenza di mn: — 2.2.3 Prodotto di una matrice per un numero reale . — 2.2.4 Moltiplicazioni di matrici .. + 2,3 Matrici trasposte Li... vii Lie e 2.4 Matrici inverso ....... .. 16 e 2.5 Autovalori ed autovettori di una matrice ......./.....000.0..0...18 5. I vettori applicati Li... 21 e 3.1 Premesse Li... i iii 2 * 3.2 Momento di un vettore applicato rispetto ad un polo ............. 22 2.3 Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati .23 3.4 Sistemi di vettori a risultante nullo 3.8 Sistemi di vettori a risultante non null 3.51 L'invariante scalare . — 3.5.2 Asse cenirule del 3.6 Sistemi equivalenti di vettori . 3.7 Sistemi piani di vettori applicati LL... 30  Giuseppe Perro. Dispense di Statica Figura 1.1 opposto {-r} del vettore {r}, il vettore che ha lo stesso modulo di {r}, stessa direzione o verso opposto. Iyersori diretti lungo i tre assi del sistema di riferimento Qryz si indicano con {o Lie {RL e rispetto a tale sistema di riferimento henno componenti: {i} = {170,0)7, Li) = {0,1,0}7 e {k} = {0,0, 1) dove per il significato del simbolo 7 si rimanda el Capitolo 2. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca fra i vettori dello spazio tridimensio- nale e le terne di numeri reali. Per d terminare } TI FORIONE © VOISO DIGlizrza i NEL i zz2, 0 modulo, la sua dir E rettori (ovvero i a direzione e verso del vettore forma con i tre 485: coordinati coseni derli engoli ch ente si possono assegnai re componenti del vettore lungo tori del vettore rispetto 1.2. Operazioni sui vettori 1.2.1 Somma di vettori nibile come quel vettore che unisce l'origine del vettore {u} con l'estremo del vettore {u}, avendo fatiio coincidere l'origine di {tu} con l'estremo di {u} (fig. 1.2).  Capitolo 1. I vettori liberi | SOMMA Figura 1.2 La definizione di somma di vettori fornisce ‘e seguenti proprietà: 1 {e} (e) = (0) + {u} proprietà. commutativa 2. {fu} + {w}} + {w}= {fu} -({u} + £u}) propriotà associativa 3. du} + {0} = {a} proprietà vettore nullo 4 {wu} +{-u} = {0} proprietà vettore opposto 1.2.2 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare Dette a una quantità scalare, si definisce moltiplicazione dello scalare & ver il vettore iu} l'operazione che associa ad ogni a e ad ogni {u} un vettore {u} di modulo pari A°  4 Giuseppe Ferro. Dispense di Statica al prodotto del valore assoluto di @ per il modulo di {u}, di direzione uguale a quella di {u} e verso concorde a quello di {} per a > 0, opposto per a < 0 au} = {e}, con [o] = fa]. lu} (1.1) ì definisce versore di un vettore {u] il vettore che ha direzione e verso coincidenti on fu} e modulo unitario vers{u} fio (1.2) La definizione di moltiplicazione di un vettore per uno scalare fornisce le seguenti proprietà. Detti a e f due scalari si ha: 11 {u)= {e} 2. a(8{u})= o8{u} proprietà. associativa 3. (a+68){u}= afu}+8{u} proprietà distributiva rispetto alla somma fra scalari 4. a({u}+{v}) = af} + lv} proprictà distributiva rispetto alla somune. fra. vettori Due vettori {tu} = {uz ty, uz}! e {u} = {ux:ty:v2)7, espressi in funzione dei versori degli assi del sistema di riferimento, hanno la seguente espressione. 28) + ty} > 218} (1.3) nti} + ti) 218} (1.4) vettori e delle moltiplicazione di un vettore per uno I le p scaiare sì ha: DE} + (ty ht + (o + 0 (1.5) la somma. delle rispettive componenti uerte- Ti vettore somn: siane di ciad Detto viceve appena elencate si ha: ore, por le proprietà scalare € fut = fugit, to}? un + msa QUuno + aus (kh) (10) cfu} ha cioè per componenti cartesiane il prodotto delle componenti carte }+ auyli Il veîto: sisne di fu} per lo scalare a AR  Capitolo 1. I vettori liberi 7 Figura 1.5 2. cfu} A{v} = al{u} A {v}) 2. {u] A {0} + (0) = Tu} ALe} + (e) A tuo) Applicando direttamente la definizione di prodotto vettoriale fra due vettori al prodotto dei versori delia terna fondamentale si possono ricavare i seguenti risultati notevoli: Gi} aG}=0 Mag) ={9 | }AU= (3) o |igsri=fal Giagi=o Wla{}= 06) | MAb= 1-1 In base alle precedenti proprietà si piò dimostare come, assegnati due vettori {u} = {e v]7. îì prodotto vestoriale în componenti carte- siane val ig gt) I) IG} + la {up AT = (ugo: — ata) i} + (ee Allo stesso risultato si può arrivare mediante il calcolo del determinante simbolico ARA 8 Giuseppe Ferro. Dispense di Statica sviluppato secondo gli elementi della prima riga: O) © 4) Lu , . {er | ws [-@f7 ]-ale s]ef VU Uy che sviluppato coincide con ia (1.11). 1.2.5 Prodotto misto Dati tre vettori {u}. {ul e [w}, si definisce prodotto misto la scalare. IOEROFNCIEZO ES AC) (118) che si ottiene moltiplicando prima vettorialmente {v} per {w} ed il vettore risultato, scale x ì e asso) scalare n TA scalermente per fu}. Il valore sneii dello calare {u} x {o} A fu rappresenta. il volume del parallelepipedo ava ve iui. Si può dimostrare come un prodotto misto non cambi sei esegue una permuiazione circolare sui vettori, ovvero; {u} x Uv} A{e}) = {o} x {ww} A {u} = {w} > {u} A {o} (1.14) e che esso si aunulla se ì tre vettori risultino paralleli ad uno svesso piano. iane il prodotto misto assume .a seguente espressione: fu) x ((} A{u}) = = (uz) + vat set} leali) evi) + 02000) A (uz (6) 40,69) + (1) — = Ug (yi, > Vzt&y} + ig(tztta — vg) + Ua(vgtiy — ty) in componenti carte che risulta ossere lb. forma espansa del determinante delia seguente matrice: Un Un Us DN (1.15) lix fap a fa)= AAZ