Tecnologie meccaniche 4, Appunti di Meccanica

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Sollecitazione di Trazione La sollecitazione di trazione (carico applicato in direzione dell’asse rettilineo dell’elemento monodimensionale) la si ripartisce nelle sezioni interne in modo uniforme, qualunque sia la forma dell’area A N dA  N MPa A   costante Questa approssimazione è tanto più veritiera quanto più le dimensioni trasversali sono piccole rispetto allo sviluppo longitudinale Pertanto, nel riferimento longitudinale, l’unica tensione non nulla è σx mentre il riferimento è principale in quanto le  sono nulle Ruotando il sistema di riferimento di un angolo , sappiamo già dallo studio delle circonferenze di Mohr, che le tensioni varieranno secondo le       1 1 cos 2 2 2 x y x y             1 en 2 2 x y s       Non è corretto dire quindi che non ci sia sollecitazione di taglio nello sforzo normale, a 45° infatti il taglio è massimo e numericamente uguale a metà della tensione normale F F Quello di deformazione è tridimensionale Lo stato di tensione è monodimensionale x F A   x x E    y z x     Allungamento totale EA FL L  Energia elastica immagazzinata EA LF 2 1 LF 2 1 W 2  Esempio 2: perno rotante La sollecitazione nasce dalla rotazione della massa concentrata M e di quella distribuita sul braccio Massa concentrata 2 2 2 75 300 2.2 40712 60 MF M R N           Massa distribuita 2 2 ddF dm r ab x dx    2 2 2 0 1 776 2 L dF ab x dx ab L N       Chiaramente la sollecitazione risulta massima all’attaccatura dell’asse (x=0) e vale 40712 776 41488 M dF F F N     Nella sezione più sollecitata risulterà una tensione pari a 2 51.9 F N ab mm   Sollecitazione di Flessione Per il momento ci si limita al caso di flessione che si sviluppa nel piano xy di travi prismatiche e simmetriche rispetto al piano xy Il piano di inflessione è quello che contiene la deformata di tutti i punti nel piano xy (piano xy stesso) Per effetto della sollecitazione la trave si incurva in modo da opporsi al momento di sollecitazione (trave a sbalzo – massima curvatura all’incastro) La curvatura della linea d’asse (congiungente di tutti i baricentri) varia lungo l’asse stesso, per un elementino di lunghezza dx: d ds    (x) = freccia 1 = d d ds dx       x e s si confondono nell’ambito di spostamenti al I ordine L’ipotesi base è che sezioni piane, ortogonali alla linea d’asse, anche dopo deformazione rimangano piane e ortogonali Angolo θ rispettato da tutte le fibre longitudinali Le fibre superiori si allungano, quelle inferiori si accorciano – Esisterà una posizione ( y=0 ) alla quali la lunghezza non varia: asse neutro  1 cost x x n n n dx dx y d y               La sollecitazione è quindi assiale, in quanto alcune fibre (estradosso) si allungheranno, le altre (intradosso) si accorceranno. Dato che la sollecitazione è monodimensionale (σx) si osserverà anche una deformazione nelle altre due direzioni y x n z x n y y               Curvatura secondaria y z       La variazione di inclinazione, per una lunghezza dx è:   1 n n d d dx dx dx          Pertanto, il lavoro elastico di deformazione risulta 1 1 2 2 n dx dW Md M    Che, integrato su tutta la lunghezza l da: 2 0 0 1 1 1 2 2 2 l l n z z dx M M l W M M dx E J E J      Esempio 1: sezione circolare piena e cava Piena: 4 64 zJ D   Cava: Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo  4 4 64 zJ D d    , 3 32 2 x D z M D M J D      , 4 4 32 2 x D z M D M D J D d      Esempio 2: sezione rettangolare piena e cava Piena: 31 12 zJ bh Cava: Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo , 2 6 2 x D z M h M J b h       , 33 6 2 2 2 x D z M h M h J bh b s h s               331 2 2 12 zJ bh b s h s       Combinazione di sollecitazione Normale e di Flessione Entrambe danno sollecitazione solo assiale, l’una costante nella sezione, l’altra variabile linearmente x N M N M y A J        Questa combinazione viene ad esempio utilizzata nei cemento armato precompresso Se il carico P è applicato in posizione eccentrica e rispetto al baricentro x N M z P Pe y A J        Il piano neutro si sposterà e si può ricavare imponendo l’annullarsi delle σ 0 zJ y A e   Nel caso ancor più generale di spostamento del carico secondo due direzioni, l’asse neutro non è più normale all’asse di sollecitazione né è parallelo agli assi principali di inerzia yz x N M y z Pe yP Pe z A J J         L’asse n-n si ricava dall’equazione della retta che si ottiene annullando la σ: z z z y y y J e J y z J e A e    Esempio 2: Posizione asse neutro Sovrapponendo gli effetti, e tenendo conto dei versi degli assi, si ha: Proprietà della sezione:    22 2 =22400 A bh b s h s mm     x G F M y y A J      33 41 2 2 444.6 12 GJ bh b s h s mm        G Uguagliando a 0 0 99 GF J y mm M A   Esempio 3: Sezione a C Calcolare la massima sollecitazione nell’elemento a C La posizione del baricentro si può determinare con una media pesata sulla figura piena meno quella vuota         1 1 2 2 1 2 450 180 90 390 150 75 129 450 180 390 150 G G G A y A y y mm A A             Anche il momento di inerzia si determina algebricamente e sfruttando il teorema di trasposizione       2 23 3 6 4 1 2 1 450 180 390 150 129 90 129 75 61.63 10 12 GJ A A mm          3 6 6 30 10 30 = 0.129 473 10 4 4 61.36 10 bottom G G G G M Pl y y Pa J J             momento 4 Pl 30 P kN 30 L m     3 6 6 30 10 30 0.180 0.129 186 10 4 61.36 10 top G G M h y Pa J               