Tecnologie meccaniche 5, Appunti di Meccanica

Scarica Tecnologie meccaniche 5 e più Appunti in PDF di Meccanica solo su Docsity! Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 1 https://unica.adobeconnect.com/p87dy7hgrta7/ https://unica.adobeconnect.com/pfs2j8phhkhd/ LA FLESSIONE Ci poniamo l’obiettivo di determinare la distribuzione degli sforzi prodotti dalla sola azione interna di momento flettente. In realtà insieme alle azioni di momento flettente normalmente si presentano anche il taglio o il momento torcente. Quando si è parlato del metodo differenziale per il calcolo delle azioni interne è stata dimostrata la seguente equazione (i cui segni dipendono dalla disposizione del sistema di riferimento): 𝑑2𝑀 𝑑𝑥2 = 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = −𝑞⊥(𝑥) dove 𝑞⊥(𝑥) rappresenta il carico distribuito lungo l’asse 𝑥 della trave e ad esso perpendicolare. L’integrazione di questa equazione dimostra che, normalmente, il momento flettente si accompagna all’azione di taglio. Per esempio, quando: 𝑞⊥(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞0 allora { 𝑇(𝑥) = 1 2 𝑚𝑥2 + 𝑞0𝑥 + 𝑐1 𝑀(𝑥) = 1 6 𝑚𝑥3 + 𝑞0 𝑥2 2 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2 quando: 𝑞⊥(𝑥) = 𝑞0 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 allora { 𝑇(𝑥) = 𝑞0𝑥 + 𝑐1 𝑀(𝑥) = 𝑞0 𝑥2 2 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2 quando: 𝑞⊥(𝑥) = 0 allora { 𝑇(𝑥) = 𝑐1 𝑀(𝑥) = 𝑐1𝑥 + 𝑐2 𝐴 𝐵 𝐿 𝐹 𝐹 𝐴 𝐵 𝐿 𝑀𝐴 𝑉𝐴 𝑇𝑦(𝑥) = 𝐹 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑀𝑧(𝑥) = 𝐹(𝑥 − 𝐿) Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 2 In alcuni casi capita che il momento flettente sia costante e che il taglio sia assente. Nella zona centrale della trave rappresentata a sinistra e su tutta la trave rappresentata a destra, il momento è costante ed il taglio è nullo. In quanto segue si studierà la distribuzione degli sforzi per questa particolare situazione; gli sforzi prodotti dalle azioni interne di taglio e di momento torcente verranno considerate inseguito. 𝐹 𝐿 𝐿 𝐴 𝐵 𝐿 𝐹 𝐹 𝐿 𝐿 𝐴 𝐵 𝐿 𝐹 𝑉𝐴 = 𝐹 𝑉𝐵 = 𝐹 𝐴 𝐵 𝑇𝑦(𝑥) = 𝐹 𝑇𝑦(𝑥) = −𝐹 𝐴 𝐵 𝑀𝑧(𝑥) = 𝐹𝑥 𝑀𝑧(𝑡) = 𝐹 𝑀𝑧(𝑥) = 𝐹𝐿 𝐴 𝐵 𝐿 𝑊 𝑊 𝐴 𝐵 𝐿 𝑀𝐴 = 𝑊 𝑇𝑦(𝑥) = 0 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑀𝑧(𝑥) = 𝑊 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 5 Osservando il seguente schema si ottiene che: 𝑅 ∙ 𝑑𝜗 = 𝑑𝑥 dove 𝑑𝜗 è la rotazione rigida che ha subito una faccia delle trave rispetto a quella precedente disposta a distanza 𝑑𝑥. Dall’equazione precedente si ricava il raggio di curvatura della trave: 1 𝑅 = 𝑑𝜗 𝑑𝑥 Prima dell’applicazione del carico tutte le fibre parallele all’asse della trave sono lunghe: 𝐿𝑖 = 𝑑𝑥 = 𝑅 ∙ 𝑑𝜗 Dopo l’applicazione del carico, le fibre cambiano la propria lunghezza in funzione della loro distanza dal centro di curvatura: 𝐿𝑓(𝑦) = (𝑅 + 𝑦) ∙ 𝑑𝜗 Di conseguenza la fibra disposta a distanza 𝑦 dall’asse della trave subisce la deformazione: 𝜀𝑥(𝑦) = 𝐿𝑓(𝑦) − 𝐿𝑖 𝐿𝑖 = (𝑅 + 𝑦) ∙ 𝑑𝜗 − 𝑅 ∙ 𝑑𝜗 𝑅 ∙ 𝑑𝜗 = 𝑦 𝑅 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑂 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 𝑂′ 𝑅 𝑑𝜗 𝑥, 𝑢 𝑦 𝑚 𝑛 𝑑𝑥 + 𝑑𝑢 𝑀𝑧 𝑀𝑧 𝑝 𝑞 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 6 Sostituiamo questa espressione nelle equazioni di equilibrio: { ∑𝐹𝑥 = ∫ 𝜀𝑥(𝑦, 𝑧) ∙ 𝑑𝐴 𝐴 = 1 𝑅 ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 𝐴 = 𝑆𝑧 𝑅 = 0 ∑𝑀𝑦 𝑂 = ∫ 𝜀𝑥(𝑦, 𝑧) ∙ 𝑧 ∙ 𝑑𝐴 𝐴 = 1 𝑅 ∫ 𝑦 ∙ 𝑧 ∙ 𝑑𝐴 𝐴 = 𝐼𝑦𝑧 𝑅 = 0 ∑𝑀𝑧 𝑂 = 𝐸∫ 𝜀𝑥(𝑦, 𝑧) ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 𝐴 = 𝐸 𝑅 ∫ 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴 𝐴 = 𝐸 𝐼𝑧𝑧 𝑅 = 𝑀𝑧  La prima equazione afferma che l’asse 𝑧 rispetto al quale è stato calcolato il momento statico 𝑆𝑧 è baricentrico;  La seconda equazione afferma che gli assi 𝑦 e 𝑧 devono essere principali d’inerzia (rispetto ai quali i momenti d’inerzia misti sono nulli);  Dalla terza equazione di equilibrio, ricordando che: 𝜀𝑥 = 𝑦 𝑅 e quindi 1 𝑅 = 𝜀𝑥 𝑦 si ricava: 𝐸 𝐼𝑧𝑧 𝑅 = 𝐼𝑧𝑧 𝐸𝜀𝑥 𝑦 = 𝐼𝑧𝑧 𝜎𝑥 𝑦 = 𝑀𝑧 da cui: 𝜎𝑥 = 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧𝑧 Formula di Navier ATTENZIONE: l’equazione è valida purché gli assi y-z siano assi principali d’inerzia. Dalle equazioni precedenti si ricava la curvatura locale (cioè alla coordinata 𝑥) della trave: 1 𝑅 = 𝜀𝑥 𝑦 = 𝑀𝑧 𝐸𝐼𝑧𝑧 Legge di Eulero-Bernoulli Dalle equazioni precedenti si ricava: 𝑑𝜗 = 𝑑𝑥 𝑅 = 𝑀𝑧𝑑𝑥 𝐸𝐼𝑧𝑧 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 7 Se il momento flettente è costante, se il materiale è omogeneo e se la sezione trasversale è costante, l’integrazione dell’equazione precedente sulla lunghezza 𝐿 della trave fornisce, a meno di una costante d’integrazione da determinarsi con le condizioni al contorno, il seguente risultato: 𝜗 = 𝑀𝑧𝐿 𝐸𝐼𝑧𝑧 che si può scrivere nel modo seguente: ( 𝐸𝐼𝑧𝑧 𝐿 )𝜗 =𝑀𝑧 La formula fornisce la rotazione che subisce la faccia terminale di una trave rispetto alla sua faccia iniziale, quando è sottoposta ad un momento flettente costante pari a 𝑀𝑧. Formalmente l’equazione è simile a quella delle molle: 𝐾𝑢 = 𝐹; se ne deduce che la rigidezza flessionale di una trave prismatica ed omogenea vale: 𝐾𝑀 = 𝐸𝐼𝑧𝑧 𝐿 𝑧 𝑦 𝐺 𝑥 𝑂 𝜎𝑥(𝑦) = 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧𝑧 𝑀𝑧 𝑦 𝑑𝑥 𝐴𝑠𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜: 𝜎𝑥 = 0 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 10 Esempio Calcolare gli sforzi nella sezione A, dove è incastrata l’asta AB. Si trasporta la forza 𝐹 sul punto 𝐵 e vi si aggiunge il momento 𝑀𝑧 = 𝐹𝑎. Tutta l’asta AB è sottoposta contemporaneamente all’azione normale di compressione 𝑁 = −𝐹 e al momento flettente 𝑀𝑧 = 𝐹𝑎 che tende le fibre a sinistra della trave. ≡ Lo stato di sforzo nella sezione d’incastro vale: 𝜎𝑥 = 𝑁 𝐴 + 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧𝑧 = − 𝐹 𝐴 − 𝐹𝑒𝑦 𝐼𝑧𝑧 = − 𝐹 𝐵𝐻 − 𝐹𝑒𝑦 𝐵𝐻3 12 = −𝐹 𝐵𝐻 ( 12𝑒 𝐻2 𝑦 + 1) L’asse neutro, parallelo all’asse 𝑧, è il luogo di punti in cui si annulla lo sforzo: 𝜎𝑥 = 0 da cui: 12𝑒 𝐻2 𝑦 + 1 = 0 da cui 𝑦 = − 𝐻2 12𝑒 𝐹 𝐴 𝐵 𝑒 𝐿 𝐶 𝐹 𝐴 𝐵 𝐿 𝑀 = 𝐹𝑒 𝑁 = −𝐹 𝑀 = −𝐹𝑒 𝑦 𝑧 𝐻 𝐵 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 11 In funzione dei valori attribuiti alle quantità 𝐻 ed 𝑒, l’asse neutro taglia o meno la sezione. Quando: 𝑦 = 𝐻 2 = − 𝐻2 12𝑒 l’asse neutro passa per il lato corto a sinistra del baricentro: la sezione è tutta compressa e lo sforzo ha un andamento triangolare. Ciò capita quando l’eccentricità 𝑒 del carico vale: 𝑒 = − 𝐻 6 Lo sforzo massimo si calcola facilmente: 𝐹 = 𝐻𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 2 𝐵 da cui 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 2𝐹 𝐵𝐻 Quando l’eccentricità 𝑒 aumenta (in valore assoluto), la distanza dell’asse neutro dal baricentro della sezione diminuisce: una parte della sezione sarà tesa ed una parte compressa. Quando l’eccentricità 𝑒 diminuisce, la distanza dell’asse neutro dal baricentro della sezione aumenta: tutta la sezione sarà compressa da un carico trapezoidale. 𝑇𝑅𝐴𝑉𝐸 𝐹 𝑒 𝐴𝑠𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 12 Sulla sezione trasversale delle travi è possibile individuare un’area che prende il nome di “nocciolo centrale d’inerzia”: se il piede del carico cade all’interno di tale area, la sezione risulta tutta compressa (se il carico è di compressione), ovvero l’asse neutro non taglia la sezione. Se la sezione ha la forma di un rettangolo di lati B ed H, il nocciolo centrale d’inerzia è un quadrilatero, individuato dai seguenti 4 vertici: 𝐴 ( 𝐻 6 , 0) ; 𝐵 (0, 𝐵 6 ) ; 𝐶 (− 𝐻 6 , 0) ; 𝐷 (0,− 𝐵 6 ) 𝐻 6 𝑇𝑅𝐴𝑉𝐸 𝐹 𝑒 𝐴𝑠𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 × 𝑒 𝑇𝑅𝐴𝑉𝐸 𝐹 𝐴𝑠𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 × 𝐻 6 𝐵 𝐷 𝐶 𝐴 𝑦 𝑧 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 15 𝜎𝑥 = − 𝐹 𝐴 + (𝐹𝑒𝑦)𝑦 𝐼𝑧𝑧 − (𝐹𝑒𝑧)𝑧 𝐼𝑦𝑦 Per trovare la posizione dell’asse neutro è sufficiente trovare il luogo di punti (𝑦, 𝑧) che annullano la precedente equazione: 𝜎𝑥 = − 𝐹 𝐴 + (𝐹𝑒𝑦)𝑦 𝐼𝑧𝑧 − (𝐹𝑒𝑧)𝑧 𝐼𝑦𝑦 = 0 da cui: ( 𝑒𝑦 𝐼𝑧𝑧 ) 𝑦 + (− 𝑒𝑧 𝐼𝑦𝑦 ) 𝑧 + (− 1 𝐴 ) = 0 che non è altro che l’equazione di una retta del tipo: 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 Possiamo esprimere l’equazione sia in funzione di 𝑦: 𝑧 = ( 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑧 ) ( 𝑒𝑦 𝑒𝑧 ) 𝑦 − ( 𝐼𝑦𝑦 𝐴 ) 1 𝑒𝑧 che in funzione di 𝑧: 𝑦 = ( 𝐼𝑧𝑧 𝐼𝑦𝑦 )( 𝑒𝑧 𝑒𝑦 ) 𝑧 + ( 𝐼𝑧𝑧 𝐴 ) 1 𝑒𝑦 Se 𝑒𝑧 = 0 si ottiene: 𝑦 = ( 𝐼𝑧𝑧 𝐴 ) 1 𝑒𝑦 = 𝑟𝑧 2 𝑒𝑦 dove 𝑟𝑧 = √ 𝐼𝑧𝑧 𝐴 è il raggio polare calcolato rispetto all’asse z. In questa equazione è assente il segno negativo in quanto abbiamo assunto le eccentricità in valore assoluto. E’ inteso però che il piede del carico si trovi a destra dell’asse z. Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 16 Nel caso di sezione di forma rettangolare (vedi schemi precedenti): 𝐼𝑦𝑦 = 𝐻𝐵3 12 ; 𝐼𝑧𝑧 = 𝐵𝐻3 12 e di conseguenza: 𝑦 = ( 𝐼𝑧𝑧 𝐼𝑦𝑦 ) ( 𝑒𝑧 𝑒𝑦 ) 𝑧 + ( 𝐼𝑧𝑧 𝐴 ) 1 𝑒𝑦 = ( 𝐻 𝐵 ) 2 ( 𝑒𝑧 𝑒𝑦 ) 𝑧 + ( 𝐻2 12 ) 1 𝑒𝑦 Se 𝑒𝑧 = 0 si ottiene: 𝑦 = ( 𝐻2 12 ) 1 𝑒𝑦 In questo caso l’asse neutro risulta parallelo all’asse 𝑧; quando 𝑦 = 𝐻 2 , l’asse neutro passa per il bordo sinistro del rettangolo e ciò capita quando l’eccentricità vale: 𝑒 = 𝐻 6 dalla parte delle y negative. Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 17 Si consideri la mensola rappresentata in figura sottoposta ad un carico concentrato, trasversale all’asse ed applicato in punta. Il carico 𝐹 è inclinato dell’angolo 𝜗 rispetto all’asse verticale. E’ possibile scomporre la forza in due componenti, una verticale 𝐹𝑦 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜗), e una orizzontale 𝐹𝑧 = 𝐹 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜗). Ognuna di queste forze darà origine ad un momento flettente e ad un’azione di taglio. 𝑥 𝐹 𝜗 𝐿 𝑦 𝑧 𝑧 𝑦 𝐹 𝐹𝑦 𝐹𝑧 𝜗 𝑧 𝑦 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝐴 𝐵 𝐿 𝐹𝑦 𝑥 𝑦 𝐴 𝐵 𝐿 𝐹𝑧 𝑥 𝑧 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 20 Calcolo degli spostamenti trasversali della trave causati dalla flessione Ricordo la Legge di Eulero-Bernoulli: 1 𝑅 = 𝑑𝜗 𝑑𝑥 = 𝑀𝑧 𝐸𝐼𝑧𝑧 Ricordo inoltre la seconda ipotesi cinematica alla base della loro teoria:  le sezioni trasversali all’asse della trave indeformata, rimangono perpendicolari all’asse della trave deformata. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑔(𝜗) ≅ 𝜗 da cui: 𝑑𝜗 𝑑𝑥 = 𝑑[ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 ] 𝑑𝑥 = 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 = − 𝑀𝑧(𝑥) 𝐸𝐼𝑧𝑧 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 = − 𝑀𝑧(𝑥) 𝐸𝐼𝑧𝑧 Equazione della linea elastica Il momento positivo tende le fibre inferiori, quindi la concavità della funzione “spostamento trasversale 𝑣(𝑥)”, è negativa: questo giustifica l’aggiunta del segno negativo nell’equazione della linea elastica. 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝐴 𝐵 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑣(𝑥) 𝜗 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 21 ESEMPI Il momento flettente massimo vale: 𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝐿 e tende le fibre superiori della trave. Si utilizzi una trave rettangolare di base B ed altezza H; il suo momento d’inerzia rispetto l’asse z vale: 𝐼𝑧𝑧 = 𝐵𝐻3 12 Il campo degli sforzi assiali è il seguente: 𝜎𝑥 = 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧𝑧 Gli sforzi estremi si raggiungono dove 𝑦 = ± 𝐻 2 { 𝜎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = − 𝑀𝑧 𝐻 2 𝐼𝑧𝑧 = − 𝑀𝑧 𝑊𝑧 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑧 𝐻 2 𝐼𝑧𝑧 = 𝑀𝑧 𝑊𝑧 Il coefficiente 𝑊𝑧 si chiama “modulo di resistenza” e vale 𝑊𝑧 = 𝐼𝑧𝑧 𝑦𝑚𝑎𝑥 . Con una sezione rettangolare si ha: 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝐻 2 e quindi: 𝑊𝑧 = 𝐼𝑧𝑧 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝐵𝐻3 12 𝐻 2 = 𝐵𝐻2 6 . Quindi lo sforzo massimo vale: 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 6𝑀𝑧 𝐵𝐻2 𝑧 𝑦 𝐵 𝐻 𝑧 𝑦 𝐵 𝐻 𝜎𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝐴 𝐵 𝐿 𝐹 𝐴 𝐵 𝑀𝑧(𝑥) = 𝐹(𝑥 − 𝐿) Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 22 Se si utilizzano profilati normalizzati si fa ricorso alle tabelle; per esempio nel caso dei profilati metallici UPN normalizzati secondo le norme UNI 5680-73, le tabelle hanno la forma seguente: Assegniamo dei valori numerici ai parametri dell’esercizio: ipotizziamo una trave lunga 𝐿 = 1000 [𝑚𝑚] e un carico in B pari a F=10000 [N]: il momento massimo sarà pari a 𝑀𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝐿 = 107 [𝑁𝑚𝑚] = 10 [𝑘𝑁𝑚]. Ipotizziamo di utilizzare un profilo normalizzato del tipo UPN realizzato con un acciaio del tipo Fe 530 che ha uno sforzo di snervamento minimo garantito pari a 𝜎𝑠𝑛 = 355 [𝑀𝑃𝑎]; ipotizziamo infine di utilizzare un coefficiente di sicurezza 𝐶𝑆 rispetto allo snervamento pari a 2, di conseguenza lo sforzo massimo ammissibile varrà: 𝜎𝑎𝑚 = 𝜎𝑠𝑛 𝐶𝑆 = 355 2 = 177 [𝑀𝑃𝑎] Lo sforzo massimo che agisce sulla trave non deve superare il valore dello sforzo ammissibile; quindi è necessaria una sezione che abbia un modulo di resistenza superiore a: 𝑊𝑧 ≥ 𝑀𝑧 𝜎𝑎𝑚 = 107 177 = 56500 [𝑚𝑚3] = 56.5 [𝑐𝑚3] Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 25 Sarebbe stato possibile utilizzare due profilati di dimensione più piccole, uniti tra di loro con delle piastre saldate, per esempio: Nel profilato rappresentato a sinistra, i momenti d’inerzia calcolati rispetto all’asse orizzontale sono pari al doppio dei momenti d’inerzia del singolo profilato: in questo caso sarebbe possibile usare il profilato del tipo UPN100 che ha un modulo di resistenza pari a 𝑊𝑧 = 41.1 [𝑐𝑚 3]. In questo caso lo sforzo massimo vale: 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑧 𝑊𝑧 = 107 2 × 41.1 = 122 [𝑀𝑃𝑎] Di conseguenza il coefficiente di sicurezza vale: 𝐶𝑆 = 𝜎𝑠𝑛 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 355 122 = 2.9 Poiché il momento d’inerzia complessivo dei due profilati vale 𝐼𝑧𝑧 = 2 × 205 = 410 [𝑐𝑚4], lo spostamento verticale del punto B in questo caso vale: 𝑣(𝑥 = 𝐿) = 𝐹𝐿3 3𝐸𝐼𝑧𝑧 = 10000 ∙ (1000)3 3 ∙ 210000 ∙ 4100000 = 3.87 [𝑚𝑚] inferiore al valore precedente perché la sezione è più rigida. 𝑑 Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020 Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 26 Nel caso della sezione scatolare rappresentata a destra, è necessario procedere con il calcolo del momento d’inerzia della sezione composta. Il momento d’inerzia e il modulo di resistenza calcolati rispetto all’asse y della tabella UNI consentono di stabilire la posizione del baricentro della sezione: ℎ [𝑚𝑚] 𝑏 [𝑚𝑚] Area [ 𝑐𝑚2] 𝐼𝑦𝑦[ 𝑐𝑚 4] 𝑊𝑦[ 𝑐𝑚 3] 𝑥𝑚𝑎𝑥[ 𝑚𝑚] 65 42 9.03 14.0 5.05 27.72 80 45 11 19.4 6.35 30.55 100 50 13.5 29.1 8.45 34.44 Ipotizzando che i due profili siano montati come indicato in figura e che tra di loro la distanza sia 𝑑, il momento d’inerzia complessivo dell’intero profilato composto vale: 𝐼𝑧𝑧 = 2 × [𝐼𝑦𝑦 + 𝐴 (𝑥𝑚𝑎𝑥 + 𝑑 2 ) 2 ] Posto in tutti i casi 𝑑 = 5 [𝑚𝑚] si ottiene: ℎ [𝑚𝑚] 𝑏 [𝑚𝑚] 𝐼𝑧𝑧[ 𝑐𝑚 4] 𝐵 [𝑚𝑚] 𝑊𝑧𝑧[ 𝑐𝑚 3] 65 42 192.93 89 43.35 80 45 279.1 95 58.76 100 50 426.63 105 81.26 Nella tabella precedente 𝐼𝑧𝑧 indica il momento d’inerzia complessivo della sezione composta, 𝐵 = 2𝑏 + 𝑑 indica la sua altezza e 𝑊𝑧𝑧 il suo modulo di resistenza. Come detto, il modulo di resistenza deve essere superiore a 56.5 [𝑐𝑚3]. Quindi è possibile utilizzare due profili del tipo UPN80. In questo caso lo sforzo massimo vale: 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑧 𝑊𝑧 = 107 58760 = 170.2 [𝑀𝑃𝑎] Di conseguenza il coefficiente di sicurezza vale: 𝐶𝑆 = 𝜎𝑠𝑛 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 355 150 = 2.09 Poiché il momento d’inerzia complessivo dei due profilati vale 𝐼𝑧𝑧 = 279.1 [𝑐𝑚 4], lo spostamento verticale del punto B in questo caso vale: 𝑣(𝑥 = 𝐿) = 𝐹𝐿3 3𝐸𝐼𝑧𝑧 = 10000 ∙ (1000)3 3 ∙ 210000 ∙ 2791000 ≅ 5.7 [𝑚𝑚]