TEORIA di Geometria Analitica e Algebra Lineare (GAL), Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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HEORIA VETTORI PROPORZIONALI Se I è È tè e III è allora è e Ì sono proporzionali cioè stessadirezione IIITER I TÙ PRODOTTO SCALARE I È E LE I è è i È intuitivi cosa LISTA DI VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTE a mò a ntog min è linearmente indipendente 2 è emi non sonoproporzionali DISTANZA PUNTO PIANO dato it axtby.cz d o e il punto e È e a dcp.it axotbyotczoxdvaz.in SPAZI VETTORIALI SPAZIO VETTORIALE si dice spazio vettoriale reale un insieme munito di dueoperazioni detterispettivamente somma e prodotto perscolari Vx V V Ca vi uno Rover N tv chesoddisfano le seguenti proprietà 1 fra va E V rata Vatra commutativa 2 Annre v3 Er contratto va Vatra associativa 3 Aver 79 Uta ri elementoneutro 4 tu v'er av v v inverso 5 AVEV 1 Nev 6 AAME IR HUET ACMV AMIN 7 HAME IRHN.NET ACRINE AN ARE CAMIN ANIMO COMBINAZIONE LINEARE dato uno spaziovettoriale su un campo k e n vettori un_un ev e altrettanti scalari an an E K la combinazione lineare tra vettori e coefficienti scalari è il vettore ve non sarai_ turn SOTTOSPAZIO VETTORIALE sia V uno spazio vettoriale su un campo k un sottinsieme è uno sottospazio vettoriale di V Wav se valgono le seguenti proprietà 2 tre E W e tra E W Vitra E W W è chiusorispetto alla sommaI IL I µ a new w è chiusorispetto al prodotto DIMENSIONE DELLA BASE VETTORIALE la dimensione della base vettoriale è il numero di vettori un_un linearmente indipendenti della base dint IB dove IBI indica la cardinalità cenabase ALGORITMODI ESTRAZIONE METODO DEGLI SCARTI SUCCESSIVI METODO DELL'ELIMINAZIONE GAUSSIANA CON ILCRITERIO DEI MINORI TEOREMA DI GRASSMANN dim Un WI dim vetri e dim o dimmi se Un W o D V e vi sono in somma diretta MATRICE INVERTIBILE Una matricequadrata a di ordine n èdetta matrice invertibile se esiste una matricequadratadello stessoordine dellamatrice A solitamente indicatacon A tale che il prodotto rigapercolonna tra le duematrici restituisce lamatrice identità diordine n An invertibile CFD fa t.co A èdettamatriceinversadi a A AM A NUCLEO Il nucleo della matrice A è l'insiemedelle soluzionidelsistema Axel E un sottospazio vettoriale KEVA x E IR Ax e TEOREMA DELLE INVERSE A E Mn I II Eri il sistema Ax B ha soluzioneunica 1121,3141sono 3 Kera e equivalenti a le colonnedi A sonobasedi IR MATRICI TRIANGOLARI Unamatricequadrata non si dicetriangolare superiore o inferiore se tutti gli elementi sotto osopra la diagonaleprincipale sono nulli TEOREMA DI LAPLACE Posso sviluppare il determinanteungouna qualsiasi colonna ossia se AEMn data EChi ai detti PROPRIETÀ del DETERMINANTE 1 seunariga o una colonna è nulla allora data o 2 secambio 2righeo 2colonne allora il det cambiasegno 3 semoltiplica una rigao una colonna della matriceper 7 il det vienemoltiplicatoper 4 siano A2A2 A BC e rn det b al Asl Ian detlclaziasl lanl detlbtciaziasl.la s searigheo 2colonnesonouguali il data o 6 se sommo a una colonna un multiplo di un'altra colonna il det noncambia 7 Seunacolonna è combinazionelinearedellealtre allora il detA 0 dettaA A data Amatriceman AER TEOREMA DI BINET se AB EMn D det Abl deta detb TEOREMA se A EMr D A EGlen ED dotato RAHAGA e sia Ae un unamatrice man si definisce rango di una matrice uno scalarepari al più piccolonumero di righe e di colonne linearmente indipendenti se rgcatmincm.nl si diceche la matrice ha rangomassimo OPERAZIONI SU A CHE NON CAMBIANO ILRANGO 1 invertiredellecolonne 21 moltiplicareunacolonnaper 7 ato 3 sommarea una colonna unmultiplodiun'altra TEOREMA RANAO MASSIMO se A è man il rango di A è il massimo ordine di unminorenonnano di A ossia rga max p I A'CA con data o SISTEMI EQUIVALENTI duesistemi linearisonodetti equivalenti se hanno lostessoinsieme di soluzioni MATRICI SIMILI duematriciquadrate A e B sono simili a matriceinvertibile P te il prodotto tra l'inversa di p e lematrici B e P coincide con lamatrice a AB EMatcnn.nlmatrici simili ed a p e Glenk tic A P i B p dove Glenki indica il gruppo generalelineareformato datutte esolelematriciinvertibili di ordine n a elementi nel campo K 1 ognimatrice è simile a se stessa 21 se A B D B a 31 se A B BNC D Anc a 20piùmatricisimilihannostessodeterminantestessorangoe stessatraccia si 20piùmatricisimilihannostesso polinomiocaratteristico estessiautovalori manonvale il viceversa FORMULA CAMBIAMENTO DI BASE A Ma B ATMaine A Inatricatastèalatinia applicazione lineare relativa a labase B Cal Maic matricecambiamentodibase da B al basecanonica ha percolonne ivettoridi Bi Mouse Ma di MATRICI DIAGONALIZZABILI siaa unamatrice quadratadiordine n acoefficienti in uncampok Sidiceche a è unamatricediagonalizzabile se è simile ad unamatrice diagonale daiordine n stando alla definizionedimatrici simili ciòequivale ad affermare che a ematchnK èdiagonalizzabile se e solose esiste una matriceinvertibile p t.ci D pin A P ossia DP da la matrice P è detta matrice diagonalizzante di A TEOREMA DI IDIAGONALIZABILITÀ Il teoremadi diagonalizzabilità forniscedellecondizioni necessarie e sufficienti affinchéuna matricequadrata sia diagonalizzabile in un campo k Unamatricequadrataa è diagonalizzabile in uncampok ad valgono a autovaloridi A e k contaticon la loromolteplicità neordineunamatrice21 mgcani macan n lematricisimmetrichesonodiagonalizzabili 2 se Ann quadrata e ammetteesattamente n autovaloridistinti in k ed èdiagonaliz ink nemg ante macani COMEDIAGONALIZZARE UNAMATRICE D P n A P D èunamatricediagonale icuielementicenadiagonaleprincipalesonogli autovalori amamatrice p è lamatricediagonalizzante cheha comecolonne i vettori cheformano le basi degli autospazi relativi a ciascunautovalore SPETTRO l'insieme di tutti gli autovalori ripetuti con la rispettiva moneciplitàalgebrica ammettechealcunielementi siano ripetuti spettro a insieme degli autovalori 10CRITERIO DI DIAGONALIZZABILITÀ SpettAl an X 2 criterio di diagonalizzabilità 1 Pa totalmente decomponibile 2 autovettori regolari malti molti TEOREMA AEMn è diagonalizzabile chi esisteuna base di Irn formata da autovettori di a AUTOVALORI E AUTOVETTORI sia A una matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo 1k ossia a eManinnk si diceche lo scalare to E k è un autovaloredellamatrice quadrata A se esiste un vettore colonnanon nullo v e k t.ci Av dov Il vettore si è detto autovettore relativo all'autovalore to Gli autovettori relativi a uno stesso autovalore to di una matrice quadrata di ordine n insieme al vettorenano formano un sottospazio vettoriale di 1k detto autospazio relativo au autovalore to e si indica con Vo Va v Elk Av Dov come calcolare gli autovalori e autovettori s Gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico PACE detta AIda O 2 Percalcolaregli autovettori relativi a ann calcolo una basedello spazio delle soluzioni del sistema lineareomogeneo A anIda v O re Y o b TRACCIA somma deglielementi posti sulla diagonaleprincipale Trial È ai ER MATRICE ORTOGONALE Aeon A è ortogonale se il prodotto tra la matricestessa e la sua trasposta è la matrice identità A ortogonale ed at.A A.at Idm 1 Ian è ortogonale 1 se A è ortogonale ancheAt è ortogonale anchea è ortogonale2 se A è ortogonale det A 11I infieffagitana è anche AB è ortogonale A èinvertibile e A At 6 se A è ortogonale autovalori 11 autovettori traloro 7 se A è ortogonale colonne e righesonobaseortonormale in IR teorema 81 se A è ortogonale D a i Da Bsimmetrica VETTORI ORTOGONALI vi va.vn ortogonali ed ivi vi o vie VETTORI ORTONORMALI viva_in ortonormali ED ri ri o vie Il villan ti 1,2 n base ortogonale se formata da vettori Base ortonormale e ortogonali se formata da vettori ortonoinali TEOREMA DI OIRTIOGONALIZZAZIONE 7 ui wa _un er linearm indipendenti ortogonali tra loro te Spanuwa _wnt spanlvn.ve_Un www.mi.me assegnato un prodottoscalaredefinitopositivo X IR a wa wa Wn E V t.c 1 siano a due a due ortogonali cuimi o ti j 2 il sottospazio generato da va va_Un coincideconquello generato da ui wa Wn Spanun.ve on spanWiwa Wul ALGORITMO DI GRAM SCHMIDT Una v are va_ vawas Catwas he Ws V3 III un_Crewe wacurawas we va_ va un we v cnn.ws affar III w Un Un_ Unwaswe_Con cnn.ws cura Wa IIII ne_ _con un ns cnn.ua Wm Wi vi II IIII Wi con i E 2,3 n n Labaseortogonalepuòpoiessereresaortonormaledividento ciascun vettoreper la sua norma ENDOMORFISMO SIMMETRICO F V V è un endomorfismo simmetrico se e solose perogni va va er il prodotto scalare tra l'immaginedi un mediante e e il vettore va uguaglia il prodotto scalare tra va e l'immaginedi va mediante F F viv endomorfismo simmetrico ed fermiva con farai tvn.ve e v la matrice associata a un endomorfismo simmetrico è una matrice simmetrica TEOREMA SPETTRALE ogni matrice simmetrica A e Matcnn.ir è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale cioè 7 P ortogonale tic P tap Ddiagonale TI.IR SI TTRALE N A èdiagonalizzabile 2 autospazi relativi ad autovalori distinti sonoortogonali se aµ EspettiCal an Va LU 3 esiste unabase on di Ian formatada autovettori di A 4 esistono matrici Med tali che a M'AM D b D èdiagonale c ME och FORME QUADRATICHE si dice formaquadratica associata a y l'applicazione da v in IR che a ogni vettore ver associa quivi a V IR acri ycv.nl matrice ASSOCIATA A UNAFORMA QUADRATICA sia v uno spazio vettorialefinitamentegeneratosu IR sia B vava Un una suabase e sia 4 IR una formabilineare simmetrica sur ossia un prodottoscalare su v consideriamo la forma quadratica associata a y a X IR Qui youvi si dice matriceassociata alla forma quadratica a quella matrice a e Matcnn.ir te QUI TAX dove x è il vettorecolonnadellecoordinatedi u rispetto alla base B come calcolare la matrice associata a una forma quadratica 2 in es qui xe 3 7 2 exit 6tax In a GI I a coefficiente di xp azz coefficiente di a a metàdeicoeff.xi.az azz metàdeicoeff Xix E