Teoria e definizioni Analisi I, Appunti di Analisi Matematica I

Scarica Teoria e definizioni Analisi I e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! Funzioni Spazio metrico Limiti di successioni Limiti di funzioni di variabile reale Funzioni infinitesime Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme ✗ detto dominio , uno ed uno solo elemento gcx) e ✗ del codominio . Una funzione si dice iniettiva (Oneto one) < È> × , ≠ ✗a => fcx, > ≠ fcx» ( tly E Y ] al più 1 elemento ✗ C- ✗ I gcx> = y ) . Una funzione si dice suriettiva ( Oneto) < È> Ky c- Y 3- ✗ E ✗ I rfcx) = y . una funzione si dice biunivoca < È 8 è iniettiva e suriettiva . Se g è biunivoca è invertibile . sia f una funzione biunivoca , si dice funzione inversa f- ' da Y-> ✗ la funzione che associa ad ogni y E Y l' unico ✗ E ✗ I fcx) = y . dati due insiemi ✗ e Y , si dice che la Card ( X) ≥ card (Y) < È ] of suriettiva ✗ → Y = > f iniettiva da Y-> ✗ . Se la Cara Ca) ≥ Card CB) e Carol CB) ≥ Carol(A) = > 7 f biunivoca da A->B . I due insiemi hanno la stessa cardinalità . si chiama insieme dei maggiorenti di E ( dato E ≤ IR , e ≠ ∅ ) l' insieme B : = { yERI y ≥ × , ✗ EE} Si definisce spazio metrico una coppia ( X , d) formata da un insieme ✗ e da funzione d (distanza) d : ✗ ✗ ✗ → [ 0 , + a ] tale da soddisfare le seguenti condizioni : ① 01 (× , y) ≥0 . Ok✗ , y) =0 <⇒ x_-y-Vx.yEXi@dCX.y) = 01 ( y , ✗ ) ; ③ dcx , z ) ≤ 01 (✗ , y) + 01cg , z) (disuguaglianza triangolare) . ( ✗ , ok ) sia dato uno spazio metrico , si dice successione di elementi di ✗ e si indica con { ✗n } ne µ C X una funzione × : IN → ✗ (× . E ' . ✗Ci ) ) - > 1 - > ✗ ce) . Una successione si definisce convergente quando ti E >07 VEIN In ≥ ✓ = > Ok Cxn , e> < E dove e è il valore a cui la successione converge . Per cui fissato un numero positivo epsilon da un certo punto in poi la distanza tra ✗ne l è minore di E . Per E è possibile trovare in tale che la distanza sia minore . Sia (✗ , d) uno spazio metrico definiamo : - sfera aperta di centro ✗o e raggio E : B (✗o ,E) : = { ✗ E ✗ I 01 (× . ✗0) < E} ; - U ≤ ✗ si dice intorno di ✗◦ <È> 7 E >O I B.( ✗0 , E) ≤ U ; - U ✗◦ = { U ≤ ✗ I U è un intorno di ✗o } si dice famiglia di intorni di ✗0 ; - a ≤ ✗ si dice aperto < È> A è un intorno di ogni proprio punto ; - a ≤ ✗ si dice chiuso < È ✗ le è aperto ( il complementare di c è aperto) . E ≤ ✗ si dice parte interna di E e si indica con È : = { ✗ c- E I ✗ è interno ad E} . da parte interna di E è il più grande aperto contenuto in E . Chiusura di E : E- = { ✗ c-E I Bcx , E > ne ≠ ∅ ¥ E >o} . da chiusura di E è il più piccolo chiuso contenente E . Data {con}n si dice limon =L E IR < È> E>0 -3 ne In ≥ ✓ I an - li < E . una successione si dice limitata se e solo se 3- ME IR l tant < il ¥ ne IN . Una successione si dice strettamente crescente ↑ < = > anti > an an c- IN una successione si dice debolmente crescente <=> 0in+e ≥ 0in Un c- N . TEOREMI : SUCCESSIONI MONOTONE , UNICITÀ DEL LIMITE , CONFRONTO , PERMANENZA DEL SEGNO , SUCCESSIONI LIMITATE una successione si definisce divergente positivamente ( limon = +a) < È> A ME R 3- vi n ≥ si = > an > M . una successione si definisce divergente negativamente clip bn = - a) <È> MEIR Ju : n ≥ si = > an < M . sia {an }n I lirn an = + co e {bn}n limitata inferiormente = > lirnan + bn = + co . sia {an}n I limon = - co e { bn}, limitata superiormente = > limon + bn = - co . limon = + a linm bn = e = > limon+ bn = +a Cbn è convergente allora è anche limitata e perciò è limitato inferiormente) . sia f : E→ IR ed ✗o punto di accumulazione . Si dice fino fcx> = le IR < È> VE >o 7 S >0 : I ✗ -✗01 < S teoremi : un , e , ta . ☐e, e,µ ,te , confronto , permanenza del segno , ponte ✗e e } 1g(×, _ e i < E ✗≠ ✗0 f : E - > IR , ✗o punto di accumulazione per E si dice infinitesima per ✗→ ✗◦ < = > Tim gcx> =0 . ✗→✗o siano F , f infinitesime in ✗0 . F. f si dicono infinitesime dello stesso ordine <È> 7 K-10 e h infinitesime : F = fcxkhcx) -1K) A✗ E U(✗◦> ME . siano F. f infinitesime in ✗0 . F si dice di ordine superiore a f <È ] hcx) I F = f (X) . hcx) it ✗ E Ucxo) ne Successioni ricorsive Definizione di limite per x -> +infinito Tipi di discontinuità in X0 Insiemi compatti Massimo e minimo limite Funzioni uniformemente continue Successioni di Cauchy una successione di questo tipo è detta ricorsiva . { ☐◦ = b ott an+ e = ofcan) TEOREMI : PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI eim ✗→ +• fa> = l <È ¥ E >07 ME IR : × > te ✗ ≤e } => ' fa>- l' < E . Questo per f :-[→ R E non limitato superiormente . lim ✗→ +• 8(×> = +co < È> MEIR 3- MeE IR : × > Ma } => fcx) > il✗ E E eim ✗→ +• fa> = - co < È UNEIRZM , E IR : × > Me } => fcx> < il✗ C- E TEOREMI : ZERI , VALORI INTERMEDI ① Tim ✗→ ✗◦ fa> = e ≠ 8(✗07 discontinuità eliminabili ② Tim ✗ →✗ fcx) discontinuità a salto ✗→ ✗ó 8 ≠ eim ③ lim fcx) discontinuità essenziale ✗→ ✗0 ( X . d) spazio metrico , sia K≤ ✗ si dice compatto <È> a { ✗n}n 7 { ✗ nj}; ≤ {✗ n}n : lijm ✗nj = ✗ E K ( per ogni successione è possibile estrarre una sotto successione tale che converge a un punto K ) . sotto successione → funzione composta da : y : IN -> IN e × : yen) -> IR µ : IN→ IN 41 < 42<43 n - > 4cm) - > ✗ qcn) ✗41 , ✗ 42 , ✗43= ✗hit ✗ nz + ✗ n3 TEOREMI : WEIERSTRASS mnax liman = linm " an = linm = linmsupan È ing (sup an) = a Min liman = lim ' con = olim an = timingan È snap ( Ing an ) = i k n ≥K h n n n≤ K { - co se an non è limitato inferiormente Max liman = { + ° se ☐n non è limitato superiormente C- R in tutti gli altri casi mi neiman = E IR in tutti gli altri casi n n - co se limon = - co + o se limon = + a ✗ ≤ an ≤ ^ dati due spazi metrici ( ✗ , dx) , ( Y , dy) , una funzione si dice continuo in ✗◦ < È> V-E >o 3- S >0 : dxcx , ✗o> < S} dycgcx) , fcxo)) < E ✗ C-E si dice uniformemente continua in E < È KE>o -35 >0 : dxcx . g) < S } = > dycgcx) , fcy)) < E ✗ i Y C- E se f è uniformemente continua in E ⇒ è anche continua una successione è di Cauchy < È> VE>07 w : n ≥ si = > dcxn , ✗m ) < E . ogni successione convergente è di Cauchy .